Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕйНОй АЛГЕБРЫ 1гл. 1 В силу известной теоремы Лапласа определитель квазидиагональной матрицы равен произведению определителей диагональных клеток. 6. Обратная и союзная матрицы. Квадратная матрица А=(аы) называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю; в противном случае матрица называется ос обе н н ой. Введем теперь важное понятие обратной матрицы.
Матрицу В назовем о б р а т н о й к квадратной матрице А, если АВ=Е. (1б) Докажеи, что необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является неособенность матрицы А. Необходимость сразу вытекает из теоремы об определителе произведения двух матриц. Действительно, если АВ = Е, то ! А ! ~ В ! = 1 и, следовательно, )А ) чь О. Допустим теперь, что ~ А ~ + О.
Для построения обратной матрицы рассмотрим предварительно так называемую с о ю з ну ю и а т р и цу, т. е. матрицу Ап А, ... А„, Аи Аез .. Аиг (17) А,„АБ„... ААИ Здесь Аы — алгебраическое дополнение элемента а;~ в определителе матрицы А. Докажем, что союзная матрица обладает следуюшим свойством: АС = ) А ~ Е. (18) Действительно, вычисляя обший элемент матрицы АС по правилам умножения матриц, получим, что он равен НГ,Ауг+а;ЕА~Я+ ... +а;„А,„, т. е.
равен нулю при )Фу' и определителю матрицы А при 1=/, в силу известной теоремы о разложении определителя. Таким же образом устанавливается равенство СА = ( А ) Е. (18') Союзная матрица имеет смысл для любой квадратной матрицы А. Из равенства АС=/А1Е следует, что матрица В= — С 1А! есть обратная для неособенной матрицы А. Действительно. АВ=А — С= — АС=Е, 1А1 1А1 Ф 1) 17 МАТРИЦЫ Построенная матрица обладает также свойством ВА=Е, (20) что следует из равенс~ва СА = ) А ) Е. Докажем, наконец, единственность обратной матрицы.
Положим, что существует такая матрица Х, что АХ=Е. Умножая это равенство на В слева, получим, что Х= В. Если положить„что г'А =Е, то, умножая справа на В. получим г'=В. Матрица, обратная к матрице А, обозначается А '. Очевидно, что )А )=(А/ '. Далее (А ') =А. Это следует непосредственно из равенства А А = Е. Заметим еще, что матрица, обрзтная к произведению двух матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке, т. е. (А,Аа) = А А, (21) Действительно, АаАаА А, = АаАг = Е, (22) В силу ассоциативного закона безразлично, как в этом произведении расставить скобки, и потому мы их опускаем. Из определения ясно. что А"Л =А"+ ) ( 4в)ве Авва (23) Отсюда следует, что степени одной и гной же матрицы перестаноеочны.
Выражение вида авА" +а,А" + ... +и„Е, где а, а,,..., и„комплексные числа, называется .и о л и н о м о и о т матрицы или матричным полиномом. Полипом от матрицы можно рассматривать как результат подстановки матрицы А вместо переменной 1 в алгебраический полипом /я=«Г+ ат--а+ ... +и.. (24) 2 зак, 974, Д. х. Фаддеев в В, н. Фаддеева Равенство (19) дает возможность вычисления обратной матрицы. Однако вычисление союзной матрицы настолько трудоемко, что упомянутое равенство важно лишь в теоретическом отношении. Задзча численного нахождения обратной матрицы есть одна из важнейших вычислительных задач линейной алгебры, и мы к ней будем неоднократно возвращаться в последующих главах. 7.
Полиномы от матриц. Определим теперь целую положительную степень квадратной матрицы, полагая и Раа А"=А ... А. 18 основныз сведения из линейной ллгзвгы (гл. ~ Важно отметить, что правила действий над полиномами от матриц ничем не отличаются от правил действий над алгебраическими полиномами. Именно, если р(1) =ф(1) + Х(О ~ (г) = ф (г) х (г), (26) то р(А) = ф(А) + у (А) ш(А) =ф(А) у(А). Это следует из перестановочности степеней матрицы.
8. Характеристический полинам. Соотношение Кели — Гамильтона. Минимальный полипом. Вековым, или ха р акте р истичес к им, уравнением матрицы А =(аы) называется уравнение — аж а,„ ам а„— 1 ... а,„ (26) Левая часть этого уравнения„которую можно записать сокращенно в виде1А — 1Е(, носит название характеристического полин о м а матрицы. Вековые уравнения часто встречаются в приложениях. Непосредственное вычисление характеристического полннома представляет значительные технические трудности.
действительно, если ф (1) = ~ А — 1Е ~ = ( — 1)" 11" — р,Г" ' — р 1" а —... — р„), (27) то р,=ац+а„+ ... +а„„ р„= ( — 1)"-' ~ А ~, (28) )т+)т+... +),„=р,=ам+ага+... +а„„) (28) Л,),... Л„= ( — 1)"-'р„= ~ А~. а остальные коэффициенты рь суть взятые со знаком( — 1) ' суммы всех миноров определителя матрицы А порядка 7г, опирающихся на главную диагональ. Число таких миноров равно числу сочетаний из л по а. Корни Л; характеристического полинома называются собственными значениями Нли характеристическими числами матрицы. Из известной теоремы Виета, дающей связь корней уравнения с его коэффициентами, следует, что 19 $1) МАТРИЦЫ Величина р,=-а,г+ ... +а„„называется следом матрицы А и обозначаешься Бр А.
Задача численного нахождения корней характеристического поли- нома является одной нз важнейших задач линейной алгебры. Практически удобные методы определения коэффициентов и корней характеристического полинома будут разобраны в дальнейшем. Старший коэффициент характеристического полннома равен ( — !)". Иногда вместо характеристического полинома рассматривается нормированный характеристический полинам. отличающийся от обычного множителем ( — 1)и. Старший коэффициент нормированного характеристического полинома рзвен единице. Лля любой матрицы имеет место следующее замечательное соотношение, известное под названием соотношения Кели — Гамильтона: если у(Т) есть характеристический полинам матрицы А, то е(А)=0, т, е.
говоря условно, матрица является корнем своего характеристического полинома. г(ля доказательства рассмотрим матрицу В, союзную с матрицей А — ГЕ. Так как каждое алгебраическое дополнение в определителе (А — ГЕ( является полнномом от Г степени не выше и — 1-й, то союзную мзтрицу можно представить в виде В=В„,+В„,Р+ ... +В,Т"-', где В„,,.... Вв некоторые матрицы, не зависящие от Ф. В силу основного свойства союзной матрицы имеем: (В„,+В„,Г+ ... +В,Г"-)(А ГЕ)=~А —.ГЕ1Е= =( — 1)" (Г" — ргь' — ... — рн) Е. Это равенство равносильно системе равенств В, 1 ( 1)нэ' Вп — гА Вь — г =( 1) Рп-гЕ В,А — В, = ( — 1)""р,Е ВО = ( — 1)"Е.
Умножив этн равенства справа на Е, А, А'...., А" ', А" и сложив, получим в левой части нулевую матрицу, а в правой части ( — 1)" 1 — ЄŠ— р„,А — р„гА' — ... +А"1 =ьг(А). (30) Итак, у(А)=0, что и требовалось доказать. Соотношение Кепи — Гамильтона показывает, что для данной матрицы существует полинам, корнем которого она является. 20 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИВ НЗ ЛИНЕйНОй АЛГЕБРЫ (гл.
1 Очевидно, что такой полинам не единственный, ибо если ф(Р) обладает этим свойством, то им обладает и всякий полинам, делящийся на ф(1). Полинам наименьшей степени, обладающий тем свойством, что матрица А является его корнем, называется минимальным поли- номом матрицы. Докажем, что характеристический полипом делится на минимальный полинам. Пусть д(Г) н г(1) целая часть и остаток при делении характеристического полинома ф(Р) на минимальный полипом ф(т).
То~да ф (г) = ф (С) а (Г) + г (С), причем степень г(() меньше степени ф(Г). Подставив в это равенство А вместо Г, получим г(А)=ф(Л)-— — ф(А) д(А) = О. Таким образом, матрица А оказывается „корнем" полинома г(Г). Отсюда следует, что г(()= — О, так как иначе ф(() не был бы минимальным полиномом. Следовательно, ф(() действительно делится на ф(Г).
Точно так же доказывается, что любой полинам в И), аннулирующий матрицу А, т. е. удовлетворяющий требованию ш (А) = О, делится на минимальный полипом. 9. Подобные матрицы. Матрица В называешься и о д о б н о й матрице Л, если существует такая неособенная .мзтрнца С, что В=С 'АС. Говорят прн этом, что матрица В получена из матрицы А преобразованием подобия. Преобразовзние подобия обладает следующими свойствами: С 'А,С+С 'АаС+ ... +С АНС=С (А,+Л + ... + А„)С С-'А,С. С-'Л,С ...
С-'Л„С = С-'(Л,Л,... Л„) С. (З)) В частности (С 'АС)"=С 'А"С. Далее у'(С 'АС) =С 'г'(А)С для любого полинома г" (т). Из последне~о свойства сразу вьтекает, что минимальные поли- номы подобных матриц одинаковы. Покажем, что подобные матрицы имеют также одинаковые характеристические палинамы.
Действительно, ~ — ГЕ~=~С 'АС вЂ” ~Е~=!С 'АС вЂ” ~С ЕС~= = )С) '~А — (Е С)= (А — (Е!. 10. Собственные значения полинома от матриц. Пусть А — матрица с собственными значениями Х,,,... ),„, среди которых могут быть равные, и пусть у(т) =аз+а,г+ ... +а т"в данный полинам. 21 Ф 11 МАТРИЦЫ Покажем, что собственными значениями матрицы г"(А) будут числа У(Л,), ..., У(Л„). Предварительно вычислим определитель матрицы У (Л). С этой целью разложим полинам ) (1) на линейные множители г'(1) = ащ (1 — р,)...
(1 — р,„). где рг, ..., р корни полинома у(1). Тогда у(А) = а, (А — р,Е)... (Л вЂ” р,„Е) и, следовательно, ! У (А) ! = аА ) А — Ц~Е !... ! А — р„,Е ! = а" р (р д)... р (р,„), где р(г) есть характеристический полинам матрицы А. Но Р(Г)=(Л,— 1)...
(Лв — Г). Поэтому /У(А)!=а„",ИП(Ла рг)=Ц(а П(Лг — р,) 1=НУ(Л;). га-г . ~=гь таг / г=г равенство )У (А) ( = ((Лг)... У'(Л„) есть тождество относительно коэффициентов полинома )(1). Применив это тождество к полиному у(1) — и, получим /у'(Л) — иЕ / = (у (Лг) — и)... (г'(ЛА) — и). Это и значит, что собственные значения матрицы у'(А) суть числа г.(л,),..., У(Л„). Отметим, в частности, что собственные значения матрицы А суть Л,,...,Л„. 11, Элементарные преобразования. Часто над матрицами нужно совершать .следующие операции: а) умножение элементов какой-либо строки на число; Ь') добавление к элементам какой-либо строки чисел, пропорциональных элементам какой-либо предыдущей строки; Ь") добавление к элементам какой-либо строки чисел, пропорциональных элементам какой-либо последующей строки. Иногда такие преобразования приходится делать над столбцами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
