Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 6
Текст из файла (страница 6)
=а,а) =О. Далее, сумма квадратов элементов 1») 1») второго столбца равна единице . Следовательно, а1') = 1 и т . д. Так иоследовательно заключаем, что все недиагональн ые элементы ма- трицы А(в - )) равны нулю, а все диагональные элементы равны единице. Симметричные матрицы, так же как и ортогональные матрицы, входят в более общий класс так называемых нормальных матриц. Вещественная матрица называется н о р и а л ь н о й, если она пере- становочна со своей транспонированной, т.
е. если А'А = АА', З7 мызины специального вида 3. Зрмитовы матрицы. Матрица с комплексными элементами называется зрмитовой, если а;7 = а~м (6) или в сокращенной записи А = А". Из определения следует, что диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны. Вещественные симметричные матрицы являются частным случаем эрмитовых. Многие свойства вещественных симметричных матриц сохраняются почти без изменений для матриц эрмитовых. В частности, произведение эрмитовых матриц будет эрмитовой матрицей тогда и только тогда, когда они перестановочиы.
Далее, для любой матрицы с комплексными элементами матрица А'А будет эрмитовой. 4. Унитарные матрицы, Матрица с комплексными элементами называется у н и т а р н о й, если суммы квадратов модулей элементов столбцов равны единице и суммы произведений элементов одного столбца на числа комплексно-сопряженные к элементам другого столбца равны нулю. Унитарные матрицы могут быть охарактеризованы матричным равенством А*А = Е.
(7) Ортогональные матрицы являются, очевидно, частным случаем унитарных. Свойства 1 — 4 ортогональных матриц сохраняются и для матриц унитарных. Определитель унитарной матрицы есть комплексное число, по модулю равное единице. Как эрмитовы, так и унитарные матрицы входят в более общий класс комплексных нормальных матриц, характеризуемых тем, что они перестановочны со своей сопряженной матрицей. К унитарным матрицам относятся элементарные унитарные матрицы вида се'т ...
— еегв сегя 1 Основные сведения из линейнОЙ АлГеБРы 1ГЛ. | исе'т — Ьэе|г ) О изе-'т~ + Ьсе-|т = О. )1ля этого достаточно взять с=— у|ар+~ы-' |а~ |у, =- — аги и; |эг = к — а ги Ь. "г~! и Р + ~ ь р (9) Это замечание позволяет доказать теорему: Теорема 2.2. Всякия невырожденния комплексная матрица А преобризуется посредством умножения слева на цепочку элементирных унитирных матриц с опреде,гителями, равными единице, в яровую треугольную матрицу, все диигонильные элеменл|ы которой, кроме, может быть, последнего, положительны.
Ясно, что аргумент это~о последнего элемента совпадает с аргументом определителя матрицы А. Из теоремы вытекают следующие следствия. Слэдствие 1. Всякия невырожденноя комплексная митрици представимо в виде произведения унитарной матрицы с определителем, равным единице, ни кривую треугольную, все диигонольные элементы которой, кроме, молсет быть, последнего. полозкительны. Следствие 2. Всякия унитарная митрици с определителем, ровным единице, есть произведение элементирных унитарных матриц с определителями, ривными единице..
б, Трехдиагоиальные матрицы. Т р е хд и а г о н а л ь н ой матрицей называется матрица вида О и„Ь,О...О с, аг Ьг...О О сг иг ° 0 (1О) О 0 О ... и„ , Ь„ , 0 0 О...с„, и„ Вещественная трехдиагональная матрица называется я к о б и ее о й, если Ьгс| ) О при 1 = 1, 2, ..., и — ! . Любая симметричная при с) О, з) О, сг+эг= — 1, |у,— |аз=|уз — ро Определитель такой матрицы равен ее |э 'т >.
Он равен единице в том и только в том слУчае, когда |ьг = — |У, и, следовательно, |ьг = — |Уг 1с точностью до кратных 2я). Если даны два комплексных не равных олновременно нулю числа и и Ь, то всегда можно подобрать такие с, Гь у, н ег, что 9 21 МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА трехдиагональная матрица с ненулевыми недиагональными элементами автоматически будет якобневой.
Трехдиагональные матрицы замечательны тем, что их характеристические полиномы вычисляются по несложным рекуррентным формулам. Пусть 1РА(1) есть нормированный характеристический полипом укороченной матрицы, т. е. матрицы а, Ь, с, ае Ь, АА= с„ , и» Тогда а1 — Г с, аа — Ь Ь, =( — 1)" .. ь,' Ь„, а„— Г ав,— 1 СА Раскладывая этот определитель по элементам последнего столбца, получим„при й)~ 3, Ь, а,— г пеа — (Ьва с„, = (С вЂ” а„) еа 1(Г) — Ь„,с„, рв а (1). (1 1) 1) А. Г. Кур ош. Курс высшей алгебры, 1949, стр.
2б9, Последняя формула остается верной и для й = 2, если положить ре=1. Ясно, что р1(1)=1 — а,. Полагая а=2, 3, ..., и, мы последовательно определим полиномы Ра(1) Тз(а) ° °" 9в(Г) где ФВ(Г) характеристический полипом данной трехдиагональной матрицы. Для матрицы Якоби последовательность полиномов ее, 1111(1), ... ..., у„(1) является последовательностью Штурма '). Так как старшие коэффициенты всех этих полиномов положительны, то, согласно теореме Штурма, все корни этих полнномов вещественны, причем корни двух соседних полиномов разделяются.
Итак, все собственные значения якобиевой матрицы вещественны и различны. 40 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ Лнияйиай АЛГЕБРЫ (ГЛ Изложим один прием для решения с трехдиагональной матрицей. Пусть а,х, + азха с1Х1 + а2 12 + азха с,х, + а,х,-+ 1<зхз системы линейных уравнений св,х„з-<- аи,х„, + <2„(х„=(„ с„,х„, + а„х„= („ Допустим, что (2(+ О. 1=1, 2, ..., л — 1. Если это условие не выполнено, то из системы выделяется сис~ема с меньшим числом неизвестных. Отбросим последнее уравнение и найдем два решения х<ю и х(0 оставшейся системы из и — ! уравнений, положив х, =О, х, = 1.
(о( <и Для этого придется дважды решить систему с треугольной матрицей. Очевидно, что столбец х<">+С(х(н — х<о() при любом С будет давать решение срезанной системы. Найдем С так, чтобы удовлетворялось и отброшенное ранее последнее уравнение. Для этого нужно решить уравнение <о( ( <ц (о( т <о( с <1( <оп со 1 хи-1+ си 11 тхи — 1 хо-1<+ аохо +аоС (хв хо ) =Уж откуда г(01 нв где г<о> и с(11 невязки последнего уравнения при подстановке решео и ний х(ш и х(н.
6. Почти треугольные матрицы. Матрица называется (правой) почти треугольной, если она имеет вид а!в ац а1, аш...а„,, ам азз азз ° аз~-1 азо 0 азз азз аи -1 ази (12) О 0 0 ави , ави ан ам...а,з а„а„... аы 0 0 ... авл (й = 1, 2, ..., Л), Определитель почти треугольной матрицы связан простым рекуррентным соотношением со своими главными минорами. Именно, если положить Ьо —— 1 и обозначить 41 АксиОмы линайного ИРОстРАнствА ТО Ь»=а»»Ь»,— а»й, ай 1»Ь» 2.+а»й,а»,й,а», „Ь» 2+ + ...
+( — 1)~-'а»» 1а»-1» 2 ... а»1аып,. (13) В этом легко убедиться посредством разложения определителя Ь» по элементам последнего столбца. Применение этой формулы к вычислению определителя требует л» выполнения примерно — умножений, что, как мы увидим далее, не- 6 сколько меньше, чем число операций для вычислений определителя общего вида.
Формула (13) может быть применена к рекуррентному построению характеристического полинома почти треугольной матрицы, именно уй(Г) =(à — а»й) ср» 1(Г) — а»„, а», » 1р»,(1)— Ой» вЂ” 1 П1 -1 й — 2 пй — 2 й 1Р» — 2 (~) ' ' и»» — пй — »-2 ' ' ' л21 П1»' (1 1) Здесь г' — ин — - а„... — а,й — а„а — аы ... — а2» (г) 21 21 (1=1, 2; ..., и). О ... 1 — а»» й 3. Аксиомы линейного пространства Как известно, методы аналитической геометрии дают возможность сопоставлять одному из важнейших геометрических объектов — вектору пространства — тройку вещественных чисел — проекций вектора на выбранные оси координат.
Такое сопоставление делает возможным, с одной стороны, исследовать свойства геометрических объектов средствами алгебры и, с другой стороны, интерпретировать геометрическими образами некоторые алгебраические задачи, Например, совместное решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными интерпретируется как задача о пересечении трех плоскостей в пространстве. Это обстоятельство делает разумным и целесообразным введение геометрической терминологии в линейную злгебру.
Ясно, что для возможности геометрической трактовки линейной алгебры понятие вектора должно быть надлежащим образом обобщено. Это обобщение осуществляется посредством введения так называемого линейного пространства. Мы введем это понятие аксиоматически. Линейным пространством называется совокупность математических (или физических) объектов, для которых определены два действия — сложение и умножение на любые вещественные или любые (гл.
л 42 основныв сведения из линейной ллгввгы комплексные числа, причем эти действия удовлетворяют следующим требованиям (аксиомам): 1) Х+У=У+Х (переместнтельный закон); 2) (Х+ У)+ Е=Х.+(У+У) (сочетательный закон); 3) существует „0", т. е. такой элемент, что Х+О=Х при любом Х; 4) для любого Х существует противоположный элемент „ — Х".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
