Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Преобразованич указанного вида будем называть элементарными преобразованиями матриц. Нетрудно проверить, что всякое элементарное преобразование над строками равносильно умножению матрицы слева на некоторую неособенную матрицу специального вида.
Именно, операция а) равно- сильна умножению матрицы слева на матрицу ! а 1 (32) операция Ь') равносильна умножению слева на матрицу (33) операция Ь") равносильна умножению слева на матрицу 22 ОснОВные сВедения иа линейнОЙ АлГеБРИ 1гл. ! 23 МАТРИЦЫ 5 11 Например, ах ау аг х у г и а Ь с 1 0 0 0 ! 0 О а 1 у г о+ ау я+ах Ь с х у г и+ ах Ь с 1 0 0 О ! а 0 0 1 х у г 133) — ! е Т я '''тив с ненулевыми диагональными элементами тн. Действительно, каждое отдельное преобразование вида а) и Ь') равносильно умножению слева на некоторую треугольную матрицу указанного вида, а произведение двух или нескольких треугольных матриц одинакового строения есть снова треугольная матрица. Аналогично, результат нескольких преобразованиИ вида а) .и Ь") равносилен умножению слева на „правую треугольную" матрицу, т.
е. матрицу вида ' Ь Ь Ь Ьы ' Ьев 136) 0 О...Ь„„. Далее, результат нескольких преобразований вида а) и Ь') над столбцами равносилен умножению справа на правую треугольную Операции а), Ь"), Ь') над столбцами осуществляются посредством умножения на те же матрицы справа. В дальнейшем нам придется часто производить над матрицами преобразования вида а) и Ь').
Результат нескольких преобразований этого вида равносилен умножению матрицы слева на некоторую „левую треугольную" матрицу, т. е. матрицу вида 24 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ [гл, г матрицу, а результат нескольких преобразований вида а) и Ь") над столбцами равносилен умножению справа на левую треугольную матрицу. Отметим еще, что результат нескольких преобразований вида Ь') и Ь"), произведенных над столбцами, таких, что ко всем столбцам добавляются лишь элементы 1-го столбца (который сам остается без изменения), равносилен умножению данной матрицы справа на матрицу вида: 0 1 0 0 1. (37) тг, 2-2 тн тгг 0 О.
12. Разлоисение матрицы в произведение двух треугольных матриц. Треугольные матрицы обладают рядом удобных свойств. Так, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали; произведение звук треугояьных матриц одинакового строения есть снова треугольная матрица того же строения; неособенная треугольнзя матрица легко обращается, и ее обратная матрица имеет одинаковое с ней строение и т. д.
Поэтому интересна следующая теорема. Теорема 1.1. Матрицу аг, аж... агв ам агг ° ° аг~ А= агн а„г... аьв можно представить в виде произведении левой и правой треугольных матриц, при условии, что ан а„ агг чь О, чь О, ..., ( А ( чь О. а 2 2 агг Доказательство проведем методом математической индукции. Для и= 1 утверждение очевидно: (ац)=(дн)(сц), причем один из множителей может быть взят произвольно. Пусть теорема верна для матриц и — 1-го порядка. Покажем, что она верна для матриц и-го порядка, $11 25 млтгицы Разобьем матрицу А на клетки следующим образом: йп а„, ая А= а пп и! и а,„ а„, „ й„, й„,... а„„, й„„ и будем искать разложение А=СВ матрицы А в произведение матриц В и С требуемого вида, разбив эти матрицы на клетки подобно А: в-г я-в У По правилу умножения для клеточных матриц: С„,у = А.
ху+ с„„Ь„„ Поставленная цель будет достигнута, если мы определим матрицы С„,, В„,, х, у и числа с„„. Ььн так, что С„,В„, =А„, С„,у= и хВ„, =о ху+ сн„Ь„„= а„„. Первому требованию мои<но удовлетворить предположения. При этом из предположения, дует, что !С„,1+ О и ~В„,~ Ф О. Далее, у и х однозначно определяются по -1 1 У=С„,и, х = оВ„ы в силу индукционного что )Ав,) ф О, сле- формулам Таким образом, нам остается определить только диагональные Элементы с„„ и Ьвв из равенства ся„Ь„„= а„„вЂ” ху 26 основныв сввдвния из линвйной алгвввы [ГЛ.
1 А.= СЛВ, где Л = [ао ..., вв[, я; — диагональные элементы матрицы С, н сн — — 1. Легко проверить, что 1Аг[ Действительно, из проведенной конструкции следует, что [ А, ! = [ С; [ ° ! В; [ = си [ С;, [ 611 [ Вг, [ = аг [Сг, [ [ В;, [ = а; [ А; Нетрудно дать явные формулы для разложения матрицы в произведение двух треугольных. Обозначим через р12, 1 ( К минор матрицы А, составленный из первых 1 строк, первых 1 в 1 столбцов и л-го столбца. Соо1- ветственно через Тга обозначим минор матрицы А, составле>шый из первых 1 столбцов, первых 1 — 1 строк ил-и строки.
В этих обозначениахРаа= Таз= [Аз[. Далее, обозначим через р12, 1 ( л, алгебраическое дополнение 1-го элемента последней строки матрицы Аа, через Т21 алгебраическое дополнение 1-го элемента последнего столбца матрицы А„. В этих обозначениях раа = Ты = [ Аа-1[ Построим следующие матрицы: РН Р12 . Р!ь о ТнО ...О 121 Т22 ' . ° 0 в,= '2ьв ".
Ра. 0 0 К 112 ΠР— Т91 ТИ2 Тн О Т21' Т22 Са —— В2 = 0 0 Тш Тьа ° Тьи Это, очевидно, всегда возможно, причем одному из чисел сьв или Ьвв можно приписать произвольное отличное от нуля значение, и тогда второе число определится однозначно. Тем самым теорема доказана. Из хода доказательства следует, что разложение матрицы в произведение двух треугольных будет единственным, если мы заранее предпишем диагональным элементам одной из треугольных матриц фиксированные значения. Удобно считать, например, что 121 — — 1, 1'.= 1, 2, ..., л. Если при этом нз строк матрицы С вынести диагональные элементы, то мы придем к разложению $1] МАТРИЦЫ Из влементарных свойств определителей следует, что АВ1 — — С1; С1А = Вм <зй) Лалее, введем в рассмотрение диагональные матрицы 51 =!ЯР11 пгаг ° пгпв! =1!11 "!11 '$ьэ! =!!А ! 1Аа! ° !Аз !1 51 = Рп 111 ' йгяе1= 1тп' "!11' ' ' ' Упп)= 11 1А1! ' !Ая-111.
Введем обозначения В=5, В, С= С,5 5=--5,51 '= 5. 15, В =В15;' С =5 'С. Очевидно, матрицы В, С, Ве и Сэ имеют единичные диагональные элементы. Из равенств !38) слелует СоА = 5В. АВ„= С5; откуда А=С5Во =Со 5В. — 1 Матрицы С н Се являются левыми треугольными матрицами -1 с единичными диагональными элементами, матрицы же 5В и 5Вв суть правые треугольные матрицы. В силу однозначности разложения матрицы в произведение треугольных матриц с предписанными диагональными элементами для одного из сомножителей заключаем, что С=С1,' и 5В„'= 5В, откуда В=Вэ'. Таким образом.
А =С5В. (зй) 28 основныв сведания из линвйной ллгввгы [гл. г Ясно, что — 1 Тм Ты О (40) О 18. Разложение клеточной матрицы в произведении двух квазнтреугольных. Клеточная матрица с квадратными диагональными клетками называется правой квазитреу гольной, если она имеет вид В„В,, В,„ 0 Вг...Вгв ОО...В„„ и левой квазитреугольной, если она имеет вид сц о ...о с„с„...
о с„, с„,... с„„ Очевидно, что определитель квазитреугольной матрицы равен произведению определителей ее диагональных клеток. Имеет место следующая теорема. Теорема 1,2 Если матрицы А, Агн- А„ А„„ А неособенныс, то матрица Аы А„... А,„ А„А„... Агв А= Агц А„г ... Аев ~ Аы Ам А,=А,г, Аг=~ гг гав ~ А Тт Ть Ты Тгг 1 !и ' ггь ры г 'В ргг 5 1) мьтгицы может быть представлена в виде произведения левой и правой квазитреугольных матриц, причем диагонильные клетки одной из них можно взять равными любым наперед виданным неособенным матрицам соответствующих порядков. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.1.
Допустим, что для матрицы А„, уже получено искомое разложение А„, =-С„,В„,.Так как)А„,)+ О, то )С„,! ~ О и )В„,~ чь О. Далее положим и будем искать квазитреугольные матрицы В и С в виде Матричное равенство СВ=А распадается на равенства С„,В„, = А„, С„У (У ХВ„,=У ХУ+ С„„В„„= А„„.
Первое из этих равенств выполняется автоматически, из второго и третьего находим У= — С1~,К Х=(гВ„~ь из последнего находим В„„=- С,, (А „— ХУ) (или С„„= (А„„— ХУ) В,,„'), взяв в качестве С„„(или В„„) любую неособенную матрицу.
14. Матричная запись системы линейных уравнений. Рассмотрим систему п линейных уравнений с и неизвестными: аых,+а„х,+ ... +и,„х„=У', аггх, + аьгх, + ... + аг„х„= Гг (41) аюгхг+ аььха 1 ' ' +пиит Ун Воспользовавшись матричными обозначениями, в частности правилом умножения матриц, мы можем записать систему (41) в виде одного матричного равенства Ах =у; (41') Здесь А обозначает матрицу из коэффициентов системы, г' — столбец свободных членов, х — столбец, элементами которого являются знаЧения неизвестных, (гл. ! основныв свядвния из линвйной алгввгы Если матрица А неособенная, мы сразу получаем решение си.
стемы умножением равенства (41') на А ' слева. Именно, х=А у= — Ву, 1 ~А! (42) где В матрица союзная с А. Покажем, что последняя формула представляет собой матричную запись известных формул Крамера ~ Аг~ х = —, (А1' где А; матрица, которая получается из матрицы А путем замены элементов 1-го столбца через свободные члены. Действительно, матричное равенство (42) равносильно л равенствам АыУ! + АмУз+ .
+ АвгУв х! !А( Так как Аг; суть алгебраические пополнения элемента аш в опреде- лителе матрицы А. мы получаем. очевидно, что А!сгг+Агсгз+ ... +А„с!'„=~А, ~, что доказывает наше утверждение. 1б. Матричная запись квадратичной формы. Во многих разделах математики существенную роль играют квадратичные формы, т. е. однородные полиномы второй степени от нескольких переменных. Ясно, что квалратичная форма состоит из слагаемых двух видов, именно: квадратов переменных и попарных произведений переменных, взятых с некоторыми коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
