Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Теорема 4.2. В и-мерном пространстве не существует более чем п линейно-независимых векторов. Доказательство. Действительно, в п-мерном пространстве существует базис, состоящий из и векторов Во ..., !!„. Любая система из т) п векторов булет состоять из линейно-зависимых векторов в силу теоремы 4.!. Следствие. Число векторов базиса пространства не зависит шп выбора базиса и совпадает с размерностью пространства. Лействительно, базис и-мерного пространства не может состоять меньше чем из и векторов по определению размерности и больше чем из и векторов в силу теоремы 4.2.
Из теоремы 4.2 следует, что размерность арифметического пространства, составленного из и-компонентных векторов, действительно равна и, ибо з этом пространстве существует естественный базис ем ..., е„, состоящий ровно из и векторов. Произвол в выборе базиса выясняет следующзя теорема. Теорема 4,3. Любая система из и линейно-незавасимых векторов образует базис и-мерного пространства. Доказательство. Пусть Бы .... !!„система из и линейно- независимых векторов и Х вЂ” любой вектор пространства.
По теоРеме 4.! вектоРы Бы ..., !!„. Х линейно-зависимы, ибо каждый из них является линейной комбинацией базисных векторов, число которых равно и. Следовательно, найдутся не равные одновременно нулю числа сь, сп ..., с„такие, что сьХ+сг!!,+ ... +ся!!и — — О. 4В основные сведения из линейной АЯГеБРы (ГЛ, Г При этом свФО, ибо если сз О, то с,(),+ ... +с„()„=0, что противоречит линейной независимости векторов Во ....
Ц„. Следовательно, х= — — и,— ... — — и„. СГ С„ со со Итак, мы доказали, что любой вектор пространства есть линейная комбинация векторов А)Г, ..., ()„, откуда следует, что векторы ()о ..., ()„образуют базис. Доказанная теорема позволяет указать следующую конструкцию для построения базиса. Возьмем вектор ()Г произвольным, только отличным от нуля. Вектор Ц, возьмем произвольно, но неравным линейной комбинации векторз (3, (такой вектор найдется, если п ) !).
Далее, аа вектор Ва примем произвольный вектор, не являющийся линейной комбинацией первых двух и т. д. В силу определения размерности эта конструкция позволит нам построить систему из и векторов Во Ц, ..., ()„, которые будут линейно-независимыми в силу самой конструкции.
Из описанной конструкции также следует, что любую систему линейно-независимых векторов можно дополнить до базиса пространства. 3. Координаты векторов. Пусть Вн ..., ()„ какой-либо базис пространства. Тогда каждый вектор Х является линейной комбинацией векторов Вп ..., П„, именно Х =х,и,+ ... +х„и„. (3) Коэффициенты в этом разложении однозначно определяются вектором Х, ибо если Х = х,(), + ... + х„()в = х,'(), + ....+ х„'(3„, то (х,— х,')(),+ ... +(х„— х„')()„=О, и, следовательно, х — х = ... =х — х =О / Р 1 1 ''' я я в силу линейной независимости векторов Во ..., П„.
Коэффициенты х,, ..., х„называются координатами вектора Х в базисе Вп ..., ()„. В арифметическом пространстве компоненты вектора х,, ..., х„ являются, очевидно, его координатами в ест~стасиком базисе. Введение координат дает возможность каждому вектору Х общего линейного и-мерного пространства сопоставить столбец Х= — — (хн ..., х„)' из его координат.в выбранном базисе Вп ..., ()ь. При этом любой столбец Х=(х,, ..., х„)' окажется сопоставлен некоторому вектору, именно вектору Х =- х,()Г-+ ...
+ х„()„. Если вектору Х сопоставлен столбец Х, то вектору сХ будет сопоставлен столбец сХ, если векторам Х и У сопоставлены столбцы Х и У, то вектору Х+ У будет сопоставлен столбец Х+ У. Построенное соответствие, очевидно, взаимно однозначное. $ 4) БАзис и коогдиилты Таким образом, каждый выбор базисз определяет представление векторов л-мерного пространства в виде столбцов из их координат. Каждое. такое представление взаимно однозначно.
Произведение числа на вектор представляется произведением того же числа на столбец, представляющий вектор. Сумма векторов представляется суммой столбцов, представляющих слагаемые, иначе говоря, эти представления являются изоморфными — действиям над векторами соответствуют одноименные действия над представляющими их столбцами.
Для арифметического пространства в частности, естественный базис порождает представление векторов арифметического пространсгва в виде столбцов из их компонент. Такое представление мы будем называть естественным. Однако другие выборы базиса дают другие представления векторов арифлгетического пространства в виде столбцов. Из приведенных рассуждений ясно, что общее линейное пространство размерности и изоморфно арифметическому пространству той не размерности.
В вычислительных задачах линейной алгебры подлежащие определению совокупности неизвестных и совокупности чисел, входящих в исходные данные, следует объединять в столбцы. Оказывается целесообразным рассматривать их как векторы арифметического пространства в их естественном представлении, а при решении задач переходить к другим представлениям, находящимся в той или другой связи со спецификой задачи. 4. Преобразование координат.
Выясним, как изменятся координаты вектора при изменении базиса. Пусть Вм Вю ..., Ув и Б;, $3.'„ ..., Б„' два базиса и пусть Б,, =а„0,+~,,02+ ... -+~„,Ув (4) Свяжем с преобразованием координат матрицу, столбцы которой состоят из координат векторов 0,'. У',.... У„в базисе Ц, Па,..., 0„, т. е. матрицу ац аж ... а,„ П21 П22 ''' П2 А= П 2 ПВ2 ...
П Матрица А неособенная, ибо она имеет обратную матрицу, посредством которой векторы Вм Па, ° ° °, 0 выражаются через векторы и', и,', . „и„'. 4 звв. 9м. д. к, Фаддеев в В. н. Феддеевв 50 основныв сввдвния из линвйной алгввгы [гл. г Обозначим через х,, хе, ..., х„координаты вектора Х в базисе [[о Ц, ..., Ц,, через х,', х,', ..., х' координаты в базисе О,, с[и ..., У„. Найдем зависимость между старыми и новыми координатами. Имеем Х = — х,[[, + хд[а + ...
-[- х„с[„=— = х,'с[,'+ х,',У,'+ ... +х„'У„= + х,', [а,„[[,+ а,,„Оа+ ... +а„А[я)+ +х'(а„,с[,+а,„,33,,+ ... +а„„[.[в) = +(а,х',+а„,х',+ ... +а„вх„) [[„. Отсюда, в силу линейной независииости векторов [[и с[,, .... У„, Последние равенства можно записать в матричной форме Х= АХ', где — Р х, и Х'=- и х' суть столбцы, составленные из координат вектора Х з базисах [[,, с[а, ..., [[„и [[', О,,', ..., О„'.
й. 5. Подпространстпи 1. Определение надпространства, размерность, базис. П о ли р о с т р з н с т в о м пространства й называется множество векторов Х ~ К такое, что любая линейная комбинация векторов множества снова й б! 1шдпеостелнствь является вектором множества. Очевидно, что множество, состоящее только из нулевого вектора, так же как и все пространство, являются подпространствами в смысле этого определения. Мы будем называть их тривиальными подпространствами. Ясно, что совокупность векторов, образующих надпространство, удовлетворяет аксиомам 1 †' 8 линейного пространства, так что подпространство, рассматриваемое само по себе, является линейным пространством. Нетрудно убедиться в том, что подпространство и-мерного пространства будет конечно-мерным и его размерность не превосходит числа п.
Действительно, в подпространстве (как и во всем пространстве) может существовать не более чем п линейнопезавнсимых векторов. В каждом подпространстве, очевидно, существует свой базис, причем число векторов базиса (размерность подпространства) не более чем и. Если размерность подпространства равна и, то оно совпадает со всем пространством.
В самом деле, базис По ..., 1)„ подпространства состоит из линейно-независимых векторов в количестве, равном размерности всего пространства и, следовательно, является базисом всего пространства. Теорема б.1. Любой базис Вы ..., Ум надпространства может быть дополнен до базиса всего пространства. Догсазательство. За первые т базисных векторов можно взять векторы Вы ..., Пю, ибо они линейно-независимы, а, как мы видели выше, любая система линейно-независимых векторов может быть дополнена до базиса всего пространства. 2. Подпространство, натянутое на данную систему векторов. Если дана совокупность векторов Х,, ..., Х линейно-независимых или даже линейно-зависимых, то, очевидно, множество всевозможных их линейных комбинаций образует подпространство.
Так построенное подпространство называют подпространством, натянутым на систему векторов Х,... Хю. Теорема б.е. Размерность надпространства, натянутого на данную систему векторов Х,, ..., Х,„, равна рангу матрицы, составленной из координат этих векторов по отношению к любому базису. Доказательство. Пусть .хп ... х,т хм ... х„„ хвч ... х„т матрица, столбцами которой являются, соответственно, координаты данных векторов Х,, ..., Х относительно некоторого базиса. Пусть ранг этой матрицы равен г.
Тогда, по определению ранга, существует отличный от нуля минор порядка г матрицы А, а все миноры 52 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ [гл. ! порядков г+ 1 и выше равны нулю или не могут быть составлены. Без нарушения общности (в случае необходимости можно изменить нумерацию данных векторов Х,, ..., Хгв и базисных векторов, что равносильно изменению нумерации столбцов и строк матрицы Я) можно принять, что отличным от нуля минором является Хп,..., Х,г 6= х„,..., х„ ,Оокажем, что векторы Х,, ..., Хг образуют базис подпространстза Р, натянутого на векторы Х,, ..., Хм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
