Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Разложим Х по векторам выбранного базиса Х=с,и,+ ... +. и„+й,Ч,+ ... +й„ычв „. Следовательно, У = й,АУ, -+ ... + А1я ыАУи ибо А))1= — ... — — — А)) .-О. Итак, мы доказзли, что размерность образа АК оператора А равна и — т, где т размерность ядра. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что ядро состоит из нулевого вектора в том и только в том случае, когда размерность АК равна и, т. е.

когда оператор певырожденный. Заметим, что если ядро и образ оператора имеют нулевое пересечение, то все пространство является их прямой суммой. Однако это Обстоятельство выполняется далеко не всегда. В терминах теории матриц содержание теоремы может быть сформулировано следуюнгим образом. Максимальное число линейнонезависи.мых решений системы и линейных однородных уравнений с п неизвестными равно и — г, где г ранг матрийы, составленной из позффиииентов систелсы. Действителю1О, пусть дана система сну,+ ... +а,„у„=б (6) а„,у,+ ...

+а„„у„— О Эта система равносильна векторному равенству АУ=О, тле А — оператор с матрицей ан... а„, А= вл ''' еи а ... а 64 основные свидания из линейной ллгввгы [гл. г т' — вентор с координатами у,, ..., у„. Поэтому каждое решение системы (6) есть вектор из ядра Я оператора А, и обратно, коорди- наты любого вектора У~ье образуют решение системы (6), так что максимальное число линейно-независимых решений равно размер- ности Я.

По теореме 6.1 размерность О равна л — г, где г есть размерность образа оператора А, т. е, ранг матрицы А. 6. Обратный оператор. Как мы видели, образ невырожденного опе- рзтора есть все пространство, так что невырожденный оператор осу- ществляет отображение пространства на себя. Это отображение взаимно однозначно. Лействительно, если АХ = Х и А т' = Х, то А (Х вЂ” т') = О, откуда следует Х= т', тзк как ядро невырожденного оператора состоит только из нулевого вектора. Поэтому для каждого невы- рожденного оператора А существует обратный оператор А, сопо- ставляющий каждому вектору Х ~ и однозначно определенный век- тор Х, такой, что АХ = Е. Линейность оператора А ' очевидна. Из определения обратного оператора следует, что А 'А = =АА =Е. В любом базисе взаимно обратным операторам А и А ' соот- ветствуют взаимно обратные матрицы.

7. Собственные векторы и собственные значения оператора. Собственным значением (или собственным числом) опера- тора А называется такое число ), что для некоторого ненулевого вектора Х имеет место равенство АХ=ЛХ. (7) Любой ненулевой вектор Х, удовлетворяющий равенству (7), назы- вается с о б с т в е н н ы м в е к т о р о м оператора А, соответствующим (или принадлежащим) собственному значению Л. Спектром оператора называется совокупность всех его соб- ственнык значений.

Собственные векторы и собственные значения оператора нахо- дятся следующим образом. Пусть оператор А в каком-либо базисе представляется матрицей А = — (аы); пусть координаты собственного вектора в этом базисе суть х,, ..., х„. Тогда координаты вектора АХ будут аглха, ..., л, а„лх„, ьг ь, и потому для определения координат х,, ., х„ и собственного значения ):, мы получим систему уравнений: апх,+ агзха-+ .: . + а,„х„= )х, аз,х,+ ажхз-+ ... + аелх„= )хз (8) а„,х, +а„,х,+ ... + а„„х„=).х„ 65 $61 линвйные опввлтовы или (а„— Л)х, + а„х, + ....+ а,„х„= О а„х,+(а„— Л)х,+ ... +азах„=О (9) а„,х, + а„,х, + ... -+ (а„„вЂ” ) ) х„= О. Эта система однородных относительно х,, х, ..., х„уравнений будет иметь ненулевое решение в том и только в том случае, если аы — Л а,а, а,„ а„а.„— Л ..., ам, (10) а„, а„, ..., аи„— ) т.

е. если Л будет корнем характеристического полннома матрицы. Таким образом, верна следующая Теорема о.2. Собслгвенные значения 'оператора совладают с корняхи характеристического полинома .иатрииы, представляющей оператор. Вспомним, что матрицьп представляющие один и тот же оператор в различных базисах, подобны между собой, н, следовательно, их характеристические полнномы совпадают. Это дает основание наавать характеристический полинам любой матрицы, представляющей оператор, характеристическим полиномом оператора.

Если ф(~) характеристический полинам оператора А и А какая- либо представляющая его матрица, то, в силу соотношения Кели— Гамильтона, ф(А) = О. Следовательно, и и(А) = О, так как ф (А) представляется нулевой матрицей и(А). С оператором естественно связывается также и минимальный валином, который определяется как полинам наименьшей степени среди полиномов, аннулирующнх оператор. Ясно, что минимальный полинам оператора является также и минимальным полиномом для матрицы, сопоставляемой опера~ору в произвольном базисе. Характеристический полинам делится на минимальный.

Поэтому каждый корень минимального полинома является корнем характеристического полинома. Справедливо и обратное утверждение. Именно, каждое собственное значение оператора, т. е. каждый корень характеристического полинома, является тзкже и корнем минимального полинома оператора. Действительно, пусть Л собственное значение оператора, Х соответствующий ему собственный вектор, ф(~) минимальный полипом оператора. По теореме Безу ф(г)=р(Г)(Š— Л)+ф(Л). Следовательно, ф(А)Х=р(А)(А — ЛЕ)Х-+ф(Л)Х.

Но (А — ЛЕ)Х=О и ф (А) Х =- ОХ = О. Поэтому ф (Л) Х = О и ф (Л) = О. 5 зеж ать д. К. Фаддеев в В. н. Фаалеевв 66 основные свкдзния нз линзйной ллгвьвы )гл. ~ Таким образом, корни характеристического и минимального полиномов оператора совпадают в совокупности и могут отличаться лишь кратностями. На основании так называемой основной теоремы высшей алгебры нзм известно, что каждый полипом имеет хотя бы один корень. Следовательно, оператор имеет по крайней мере одно собственное значение, которое может быть комплексным, даже если матрица оператора вещественна.

Для каз<дого собственного значения соответствующий собственный вектор (точнее векторы) определяется из системы (9) после подстановки в нее вместо буквы Л найденного численного значения. Собственных векторов, отвечающих собственному значению Л, бесконечно много, и они образуют подпространство пространства К. Действительно, все собственные векторы, отвечающие собственному значению Л, образуют ядро оператора А в ЛЕ. Размерность г' этого подпространства, т. е.

число линейно-независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению Л, равно л — г, где г ранг оператора А — ).Е. Покажем, что г не превосходит кратное~и л числа Л как корня характеристического полинома оператора. Действительно, пусть Х,, ..., Х, линейно-независимые собственные векторы, соответствующие собственному значению Л. Построим базис пространства Х,, ....

Х„, взяв за первые 1 векторов векторы Х,, ..., Хп В этом базисе рассматриваемый оператор представляется матрнцей, первые 1 столбцов которой имеют вид: ЛО...О ОЛ... О 00.. Л 00... 0 ибо АХ,=ЛХ,, ..., АХ~ =ЛХп Характеристический полипом этой матрицы делится на (г — Л)', и, следовательно, Л имеет кратность К не меньшую чем А т. е, ~~(л. Естественно было бы предполагать, что г'=л, т. е.

что кратным корням характеристического полинома соответствую~ А линейно-независимых собственных векторов. Однако на самом деле это не так. Именно, число линейно-независимых векторов может быть меньше, чем кратность собственного числа. Подтвердим скззанное примером. Рассмотрим оператор с матрицей А= [ Тогда ! А — ~Е ) =- (г — 3)а, следовательно, Л = 3 является двойным корнем характеристического полинома, 67 $ б] линвйныв опвевтовы Система уравнений для определения координат собственно~о вектора оператора А будет Зл,+х,=Зх, Зх, = Зл„ откуда х,=О, и по~ому все собственные векторы рассматриваемого оператора суть (хп 0) =х,(1, 0). Таким образом, двойному собственному числу в данном примере соответствует только один лннейнонезависимый собственный вектор, так что здесь ! строго меньше и.

Важно отметить, что если и = 1, т. е. если Л есть простой корень характеристического полинома, то ! = и = !. В свмом деле, 1 ( 1 н ! ) О, ибо хоть один собственный вектор, принадлежащий собственному значению Л, существует. 8. Собственные векторы матрицы. Собстве иным вектор о м м а т р и ц ы А называется ненулевой столбец, удовлетворяющий условию АХ= ЛХ, (! 1) где Л вЂ” некоторое число.

Ясно, что собственный вектор матрицы А есть столбец из координат собственного вектора оператора А, которому сопоставлена в избранном базисе данная матрица А. Заметим, что если собственное значение вещественной матрицы комплексно, координаты собственного вектора также будут комплексными. Вектор, координаты которого комплексно сопряжены с координатами собственного вектора вещественной ма~рицы, тоже является собственным вектором этой матрицы, принадлежащим комплексно- сопряженному собственному значению.

Лля того чтобы в этом убедиться, достаточно в равенстве АХ.= ЛХ заменить все числа комплексно-сопряженными. Выше было установлено, что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические полиномы и, следовательно, одинаковые спектры собственных чисел. Мы выяснили геометрическую причину этого обстоятельства, именно, подобные матрицы можно рассматривать как матрицы одно~о и того же оператора, отнесенного к различным базисам. Поэтому „собственные векторы" подобных матриц являются столбцами нз координат собственных векторов рассматриваемого оператора в различных базисах и, следовательно, связаны соотношением Х'=С 'Х, ! ~) где С есть матрица преобразования координат.

Это обстоятельство проверяется и формально: если АХ=ЛХ, то 1С 'АС)!С 'Х)=ЛС 'Х. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ НЗ ЛННВйНОй АЛГЕбРЫ (ГЛ. 1 9. Собственные венторы треугольной матрицы, Пусть Ь ' ' ' Ьач О Ь 22 †прав треугольная матрица, диагональные элементы которой попарно различны. Очевидно, что эти диагональные элементы будут собственными значениями матрицы В, Найдем соответствующне им собственные векторы. Пусть Хз=(хц, ..., хщ)' есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению Ьц.

Характеристики

Список файлов книги