Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 10
Текст из файла (страница 10)
+с„П,, + ... +с,„,~,И, е,+ ... + с„,П„»=0. Введем обозначения: с1П1 + ... + сэр„ = У, се„,+гПе» г-ю+ ° + се»П» = т» Тогда чггг~ Р; и 0= У, + ... +У». Но все надпространства Р; содержат нулевой вектор и 0=0+ ... +О. В силу единственности Разложения векторов из К по подпространствам Р,, ..., Р», лгы заключаем, что У, = ...
= т»=0. Следовательно, и все коэффициенты сп ... сп, ..., с +,, ..., с„равны нулю. Линейная независимость векторов Вп ..., П,. доказана. Тем самым доказана необхо'» димость условия. Предположим теперь, что векторы Вы ° ° Пе,' ° ° ° ' Пе» г+' ° ° °, Ю,». составляющие базисы подпространств Р,, Р„, образуют базис К.
Тогда для любого вектора Х~ К имеем Х = с~0, +... + сжП„, + ... + с,~,~~ П,„~~г+ ... + с,»У,„= =т + +т» основные свпдвния из лннзйной ллгввгы [гл. ! где '!'! = с![)!+ ... + с,[),, ~ Р! У»=с „!1),„„!-[- ... +с,, [),, ~Р». Это представление однозначно, ибо если х = у', + ... +. у'„ при УзЕР,, то Х = ст[)г+ ... +с'„1),, + ... + с' ь![)е» ь!+ ... + с' [)е», где 'т',=с,'[),+ ...
+с'Ие В силу единственности разложения вектора Х по базисным векторам, заключаем, что с = е', ..., с == с,, ..., с = с' ! !' '''' " "'' '''' е»-г+1 '»-г+!' ..., с, =с', и потому тт= У,, ..., т'»=У„. Теорема доказана и в части достаточности. Теорема В.В. Гели пространство К есть векторная сумма подпросвгранств Р,, ..., Р„и размерность К равна сумме размерностей Р,, ..., Р», та К есть прямая сумма Рг, ..., Р». Доказательство. Векторы пространства К являются линейными комбинациями базисных векторов всех надпространств Р,, ..., Р».
Следовательно, размерность К не превосходит сумл!ы размерностей надпространств Р,, ..., Р» и равна этой сумме только если совокуш<ость всех базисных векторов всех Р; линейно-независима. Но в этом случае, в силу теоремы 5.7, пространство К есть прямая сумма подпространств Р,, ..., Р». Из последней теоремы следует, в частности, что векторная сумма двух надпространств будет прямой суммой в том и только в том случае, если пересечение этих надпространств имеет размерность О, т. е.
состоит только нз нулевого вектора. Это последнее утверждение легко доказывается и непосредственно. 5 6. Линейные операторы 1. Функция от векторного аргумента. Функцией от векторного аргумента с областью значений 2 называется закон сопоставления каждому вектору пространства К (нли некоторого его подмножества) элемента из ьв. Если областью значений 2 является совокупность чисел, то функция от векторного аргумента называется функционалом, если 69 линвйныв опвввтогы $61 областью значений ы' является совокупность векторов того же пространства, то функция от векторного аргумента называется преобразованием или оператором.
Примерами функционалов могут служить скалярное произведение (Х, тв) при фиксированном векторе Уы длина вектора Х, квадратичная форма от координат вектора в некотором базисе. Вообще, если в пространстве зафиксирован базис, то функционалом будет любая функция от а переменных, именно от а координат переменного вектора в этом выбранном базисе. Очевидно, что при изменении базиса функция от координат вектора, задающая функционал, должна быть подвергнута соответствующему преобразованию переменных. Функционал Ф называется линейным, если Ф (с,Х, + с,Хз) = с,Ф (Х ) + с Ф (Х,).
(1) Ясно, что общий вид линейного функционала есть Ф(Х)=Ф(х,(),+ ... + х„Щ= а,х,+- ... + а„х„, где а,, ..., а„ вЂ” числа, именно а, = Ф ((3,), ..., а„ = Ф (()„); здесь 11,, ..., ()„ выбранный базис, ло х,, ..., хл координаты вектора Х в этом базисе. В дальнейшем важную роль будут играть квадратичные функционалы н некоторые другие.
2. Линейные операторы. Оператор называется ли ней ны и, если он удовлетворяет следующим условиям линейности. 1. А (аХ) = аАХ при любом комплексном числе а. 2 А(Хг+Ха)=АХ,+АХ,. Здесь через АХ обозначен результат применения операторз А к вектору Х. Определим действия над линейными операторами. П р о и з в едением АВ линейных операторов А и В назовем оператор С. состоящий в последовательном применении сначала линейного оператора В, а затем линейного оператора А. Произведение линейных операторов А и В, как легко видеть, снова есть линейный оператор. Действительно, С(Х,+Х,) = А(В(Х,+Ха)) = А(ВХ,+ВХ,) = = А(ВХ,) + А(ВХ,) = СХ,+ СХ,.
Умножение операторов ассоциативно, что непосредственно следует из определения. Оператор Е, сопоставляющнй каждому вектору Х этот же вектор, называется ели н и ч ны и оператор о м. Ясно, что единичный оператор линеек и ЕА = АЕ = А при любом операторе А. Суммой А+В линейных операторов А и В назовем опера- тоР.С, сопоставляющий вектору Х вектор АХ+ВХ. основные сведения из линейной ллгеввы (гл. ~ .Г (А) = аРА" + а,А" + ... + а„,А+ арЕ, у(г) = арг +ад + ... + а„,г+а„, где В дальнейшем мы будем иметь дело только с линейными операторами и потому слово линейный будем опускать.
3. Представление оператора матрицей. Выберем в пространстве К некоторый базис Во Вю ..., ()я. Оператор А соотносит векторам базиса векторы А(),. А()ю ..., АЯ()„. Пусть векторы АВо А()а..., А()„заданы своими координатами в базисе ()и ()з, ..., ()„, т. е. пусть АП, = а,1П, + аз,Ва + ... +ашУ„ АЦ =аж(), +аж()з+ ... +а„,()„ А()„= — а,„(), + азв()з+ ....+ а„„()„. Рассмотрим матрицу А, столбцы которой состоят из координат век- торов АВн АПа, ..., АП„: аы а„... а,„ аж а„... аа„ а и1 авз ° арр Покажем, что матрица А ') вполне определяет оператор А. Действительно, если для оператора А известна матрица А, то тем самым известны значения оператора А на базисных векторах ()и Пм ..., ()„и, в силу линейности оператора, легко определить его значение для любого вектора.
Именно, если Х = х,(), + ... ... +х„П„, то АХ = х,А(), + ... + х„АП„. 1) Огкетнм, что матрица коэффициентов в соотношениях (2) образует матрицу, транспонированную к той, которую мы связываем с операторор: Оператор О, отображающий все векторы пространства на нулевой вектор, называется нулевым оператором. Ясно, что нулевой оператор лииеен н А + 0 = 0+ А = А при любом операторе А.
Произведением аА линейного оператора А на число а назовем оператор. сопоставляющнй вектору Х вектор а(АХ). Очевидно, что сумма линейных операторов, а также произведение оператора на число суть линейные операторы. Данные определения действий позволяют естественным образом определить степень оператора как произведение равных сомножителей и полипом от оператора согласно формуле 61 $6] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Отсюда легко находятся координаты преобразованного вектора. Именно, й я я я У = АХ = ~ уазов = ~~'., х1АЦ = ~2 ~~.', а21х1Ва, В-1 1-1 1-1 2-1 откуда УА = ~~ ЛЫХ1 1 ! или, в матричной записи, где Г и Х суть столбцы из координат векторов У и Х.
Обратно, произвольная матрица А может быть связана с неко- торым оператором, Действительно, преобразование, задаваемое формулой 'г'= АХ, где У и Х по-прежнему столбцы из координат векторов У и Х, линейно при любой матрице А. установленное одно-однозначное соответствие между операторами и матрицами сохраняется при действиях над операторами. Именно, матрица суммы операторов равна сумме матриц слагаемых, матрица произведения операторов равна произведению матриц, соответствующих сомножителям. Короче, совокупность операторов и-мерного пространства изоморфна совокупности матриц порядка и, и такой изоморфизм осуществляется посредством сопоставления каждому оператору соответствующей ему матрицы в некотором фиксированном базисе пространства.
В тех рассуждениях, в которых базис пространства заранее фиксируется, имеет смысл отождествление оператора с соответствующей ему мзтрицей. подобно указанному выше отождествлению вектора н столбца из его координат. При таком отождествлении результат воздействия оператора на вектор совпадает с результатом умножения матрицы на столбец. 4. Связь между матрицами оператора в различных базисах. Выясним теперь, как изменится матрица оператора при изменении базиса пространства.
Положим, что от базиса Вы Ва...,, 0 мы перешли к базису 1' 2' '''' В ы1, В, ..., В„. Координаты любого вектора пространства при этом изменяются по формулам Х= СХ'. где Х столбец из координат вектора Х в базисе $31...., Ц„, Х вЂ” столбец из координат в базисе 0', ..., Ц', С вЂ” матрица пре- 1' ''" Ф' образования координат. 62 основные сведшшя из линейной ллгезвы [гл. ~ Рассмотрим теперь оператор А, и пусть в базисе Ц, ..., [)„ему соответствует матрица А, а в базисе [3,', ..., [3'„матрица В. Пусть У = АХ, У и У' столбцы из координат вектора У в базисах $),, ..., О„ и О,', ..., [)„' соответственно.
Тогда У = АХ У' = ВХ'. Но Х=СХ', У=СУ' и потому С У' = АСХ', откуда У =С 'АСХ и, следовательно, В=С АС. [5) Таким образом, одному и тому же оператору в различных базисах соответствуют подобные матрицы. При этом матрица, посрелством которой осушествляется преобразование полобия, совпадает с матрицей преобразования координат. 5. Ранг оператора. Совокупность АР векторов АХ, где А данный оператор, а Х вектор, пробегаюший неко~орое подпространство Р и-мерного пространства К, образует подпространстзо. Действительно, если У,~АР, У,~АР, то У,=АХ,, У,=АХа, гле Хг и Х некоторые векторы из Р, н, слеловательно, с,У, + саУа = =А(с,Х,+с Х)~ АР, ибо сХ,+ саХа~ Р.
В частное~и, АК является полпространством К. Это подпространство называется о б р а з о и оператора А. Размерность этого полпространства называется р а н г о м оператора А Очевидно, что АК есть подпространство, натянутое на векторы АВы ..., Аб„, гле Во ..., [)„базис К. Поэтому, согласно теореме 5.2, ранг оператора равен рангу матрицы, сопоставляемой оператору в базисе [)н... П„. Заметим, что, так как раамерность подпространства АК не зависит от выбора базиса. ранги всех матриц, сопоставляемых оператору А в различных базисах, равны между собой.
Следовательно, ранен подобных матриц равны. Образ АК совпадает со всем прострзнством в том и только в том случае, когда ранг оператора А равен и, т. е. когда определитель его матрицы не равен нулю. В этом случае оператор называется н е выр о ж д е н н ы м. Оператор, ранг которого меньше размерности пространства, называется вырожденным. Совокупность Я векторов У~К, таких, что АУ=О, есть также подпространство.
Действительно, если У,~Я и Уз~Я, то АУ,= =АУа=О и А(с,У,+сзУ,)=с,АУ,+с,АУ,=О н, слеловательно, с,У,+ саУа ~ ье. Подпространство ьг называется ядром оператора А. 63 э 6) ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Теорема 6.А Сумма размерностей ядра оператора и его образа равна размерности всего пространства. Доказательство.
Пусть ))1, ..., В, базис ядра Я оператора А. Дополним его до базиса пространства )с векторами Ч,, ..., Ч„ Покажем, что векторы АЧ,, .... АЧ„составляют базис образа АК оператора А. Докажем сначала линейную независимость этих векторов. Пусть с, АЧ, + ... + с„АУн = О. Тогда А(с,Ч1+...+с„тУч т)=О, т. е. с1Ч1+. -)-сп-1пЧи-яхье Но это возможно только при с,.=- ... =с„=О, ибо векторы Ч,, ..., Ч„ы линейно-неаависимы относительно ь). Пусть теперь У ~ Ай. Тогда У = АХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
