Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для определения компонент вектора Х, прежде все~о сравним в равенстве вХ1 = ЬНХ1 компоненты, начиная с 1+ 1-й. Это дает (13) (Ь$1 и 11 — Ь$$) х$1$ + Ь$, и 12х$ $2$ + .. ° + Ь$ $1$$х$$$ = О (Ь1+21 $2 Ьц) хг-$21+ ' ' ' + Ь$э2ихи1 (Ь„„— Ьц) х„с = О, откуда находим последовательно, что хщ — — О, х„ц —— — О,..., хг+„— — О.
Сравнение 1-х компонент в равенстве (13) дает томсдество (Ьц — Ьц) хц = — О, которое показывает, что компоненту хц можно взять произвольной. Возьмем для определенности хц —— 1. Тогда первые 1 — -1 компонен~ вектора х, определяются из треугольной системы (Ьц — Ьц) хц+ Ь, х„+... + Ьц,х; „= — Ьц (܄— Ьц) х„+...
+Ьы,хг „= — Ьы (Ь$-1$-1 Ь$$)х$-1$ = Ь1-ц. Таким образом, собственный вектор Хц принадлежащий собствен- номУ значению Ьц,' имеет все компоненты, начинал с 1+ 1-й, Равными нулю. Поэтому матрица К, столбцы которой состоят из компонент собственных векторов Х,, ..., Х„, будег правой треугольной матрицей. Аналогично устанавливается, что компоненты собственных векторов левой треугольной матрицы с попарно различными диагональными Элементами составляют левую треугольную матрицу, и 61 линзйныз опеглтоеы !О.
Приведение матрицы оператора к диагональной форме. Выясним вопрос об условиях, которым должен удовлетворять оператор для того, чтобы в прострзнстве существовал базис, состоящий из его собственных векторов. Это обстоятельство не всегда имеет место, как показывает пример, рассмотренный в п. 7. Базис из собственных векторов замечателен тем, что в нем. матрица оператора имеет диагональную форму ~Лы Лз, ..., Л„Б Действительно, если Х,, ..., Х„базис, состоящий из собственных векторов оператора А, н ), ),,, ..., Л„соответствующие собственные значения (среди которых могут бьжь равные), то АХ, = Л,Х,.. ..., АХ„=),„Х„, так что в этом базисе ю'-я координата векторз АХ, равна Ль а все остальные координаты равны нулю.
Следовательно, матрица оператора А в бааисе Х,, Х„будет 0...0 0 Л,...О 0 0 Обратно, если оператор А имеет в некоторол~ базисе По ..., Бв диагональную матрицу, то векторы этого базиса являются линейно- независимыми собственными векторами оператора А. Действительно, в столбце координат вектора АПе ненулевой будет лишь Г-я координата и потому АПг=Л;По Теорема О.,з. Собственные векторы, соответствуюисие попарно различным собственным значениям, линейно-независимы. Доказательство. Пусть Л,, ..., Л, попарно различные собственные значения оператора А, Х,. .., Х, какие-либо соответствующие нм собственные векторы. Допустим, что они линейно-зависимы. Без нарушения общности можно считать, что векторы Х,, ...,Хь гле 7 (з, линейно-независимы, а вектоРы Хр„, ..., Х, ЯвлЯютсЯ их линейными комбинациями.
В частности, пусть 3 Х, = ~~', сгХо 1 Тогда 3 3 АХ, = ~а с;АХ; = ~~ с~Л;Хо г-1 ' ' 1=о С другой стороны, АХ„= Л,Х, = ~е с;Л„Хо Отсюда '~ (Л, — Л,) с; Х; = 0 70 ОснОВные сВедения из линейнОЙ ллгеБРЫ [гл. ! В силу линейной независимости векторов Х; все коэффициенты 1>,,— )ч) с; = О и, так как по пРедположению л, Ф )ч пРи 1= 1, 2,...
у, все сс равны нулю и потому Х, = О, что противоречит тому, что Х, собственный вектор. Итак, векторы Х,, ..., Х, линейно- независимы. Теорема 6,4. Если хариктеристический полинам оператора имеет толысо простые корни, то в пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов оператора. Доказательство. По условию теоремы опера~ар имеет и различных собственных значений, где п размерность прострзнства. Соответствующие им собственные векторы Х,, ..., Хн, в силу теоремы 6. 3, линейно-независимы, и значит их можно принять за базис.
В терминах теории матриц эта теорема может быть перефразирована следующим образом. Если собственные значения,иатрицы А попарно разлаччы, то существует неособенная матрица С такая, чпго С 'АС=-Л, где Л= [),,, ..., ).и[. Действительно, рассмотрим оператор А с матрицей А относительно какого-либо базиса. Для оператора А существует базис из собственных векторов. В этом базисе оператору А соотносится диагональная матрица Л = [Л,, ..., ),„[. причем Л = С 'АС.
Здесь С— матрица преобразования координат при переходе от исходного базиса к базису, состоящему из собственных векторов. Следовательно, ее столбцы состоят из координат собственных векторов по отношению к исходному базису. Теорема 6.б. Для того чтобы существовал базис из собственных векторов оператора А, необходимо и достаточно, чтобы каждому собственному значению соотвепсствовало столько линейно-независимых векторов, кикова его кратность. Доказательство. Пусть )ч, ..., ),, все различные собственные значения оператора А и пусть Йо ..., А, их кратности как корней характеристического полинома, А,+... +-я, = и. Обозначим через 1; число линейно-независимых собственных векторов, отвечающих собственному числу )ч.
Пусть Хц, ..., Хи,. эти собственные векторы. Покажем, что векторы Х. ° ..Х,„...,Х„,...,Х„ линейно-независимы. Положим сцХц+... + сы,Хы +... + с„Х„+... + сгз Хвг — — О. [14) Обозначим У,=с„Х,+... +сн,Хн,, ...,'т'е=сюХ, +... +смеХ,г,. (14') Тогда (14в) Уг-+ ° +)[в=О, 71 й 71 КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЖОРДАНА Каждый из векторов г'г есть или нулевой вектор, или собственный вектор, принадлежащий собственному значению Л;.
В силу теоремы 6.3, равенство (14в) возможно, только если все векторы >г>...., в>г, равны нулевому вектору. Но тогда, в силу (14') и линейной независимости векторов Хп, ..., Хц,. при каждом 1, ааключаем. что Сц —— ... — — сп, —— ... = св> .. — свгв О, так что равенство (!4) возможно только прн нулевых коэффициентах. Тем самым доказана линейная независимость векторов Хн, ... ..., Х,г„ ..., Х„...,, Хы„. Таким образом, максимальное число линейно-независимых векторов, соответствующих всем собственным значениям, равно 1, + ...-+ 1,.
Поэтому для существования базиса из собственных векторов необходимо и достаточно, чтобы 1, + ... ... + 1, =-- л, что будет выполнено, только если все 1, = ян й 7. Каноническая форма Жордана В предыдущем параграфе мы видели, что если матрнцз не имеет кратных собственных значений, то она всегда может быть приведена к диагональной форме преобразованием подобия.
Однако, если кратные значения имеются, то преобразования к диагональному виду может не существовать. Это обстоятельство является исключительным в том смысле, что многообразие матриц, имеющих кратные собственные значения, имеет меньшую размерность, чем пространство всех матриц. Тем не менее исследование строения таких матриц представляет очень большой интерес для прило>кений как теоретического, так и практического характера. В вычислительной математике, в обстоятельствах, когда элементы матриц задаются неточно, резкая грань между случаями простых и кратных собственных значений стирается, так как при малых деформациях элементов матрицы всегда можно перейти от матрицы с кратными собственными значениями к матрице с простыми собственнымн значениями.
Поэтому в вычислительной алгебре исследование матриц с кратными собственными значениями важно преимущественно для правильной ориентировки в структуре матриц, имеющих очень близкие, но различные собственные значения. С такими же матрицами приходится встречаться очень часто в прило>кениях. Настоящий параграф посвящен изучению структуры матриц, не приводящихся к диагональной форме, и в частности, установлению некоторой простейшей канонической формы, обобщающей диагональную, к которой может быть приведена преобразованием подобия уже совершенно произвольная матрица.
основныв сведения из линвйной ллгвввы ггл. ~ П Инвариантные подпространства. Пусть А оператор, действующий в и-мерном пространстве К. Подпространство Р пространства К называется и н в а р и з н т н ы и по отношению к оператору А, если векторы из Р преобразуются оператором снова в векторы из Р, т. е. из Х~Р следует, что и АХ~Р (или в сокращенной записи АРг=Р). Из данного определения следует, что если Р инвариантное подпространство для А, то оио будет инзариантным и для операторау(А). где у (г) любой полипом. Действительно, если Х ~ Р и Р инвариантно, то АХ~ Р, А'Х~ Р, ..., и, следовательно, г"гА)Х~ Р.
Отметим, в частности, что подпространство„инвариантное относительно оператора А, инвариантно н относительно оператора А — РЕ прн любом числе )ь. Верно и обратное утверждение: если подпространство инвариантно относительно оператора А — РЕ, то оно инвариантно относительно А, ибо А = А — рЕ + РЕ. Очевидно, что все пространство и пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
