Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 7
Текст из файла (страница 7)
fN +1 ¯¯...¯. ..¯ .¯¯. . . f2N −1 ¯¯¯. . . zN. . . fNÏðè ýòîì åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îáëàñòü F ⊆ R è êîíå÷íàÿ ìåðà µ (íàïîìíèì, ÷òî ìåðà åñòü ñ÷åòíîàääèòèâíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà, êîíå÷íîñòü ìåðû îçíà÷àåò ÷òî åå çíà÷åíèå íà âñåì ìíîæåñòâå F , ãäå îíà îïðåäåëåíà, êîíå÷íî: µ(F ) < ∞) , ÷òî âåëè÷èíû fk ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé åå ìîìåíòû, òîRåñòü fk = xk dµ(x), k = 0, 1 .
. . , òî ìíîãî÷ëåíû QN ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè ñ ìåðîé µ:FZQN (x)QM (x)dµ(x) = 0 , N 6= M .FÏîäðîáíåå îá îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ ñì. â ãëàâå "×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå". Ñàìà çàäà÷à î íàõîæäåíèè ìåðû µ ïî çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë fk íàçûâàåòñÿ ïðîáëåìîé ìîìåíòîâ.  çàâèñèìîñòèîò îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ F âûäåëÿþò 3 êëàññè÷åñêèõ ñëó÷àÿ:1) F = R ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà;2) F = [0, ∞) ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ñòèëüòüåñà;3) F = [0, 1] ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Õàóñäîðôà.ÿâëÿþòñÿ ìîìåíòàìè íåêîòîðîé ìåðû, òî âñå îïðåäåëèÎòìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî åñëè ÷èñëà {fk }∞0òàêîâà, ÷òî âñå Hn > 0 , òî ïðîáëåìàòåëè Õàíêåëÿ Hn áîëüøå íóëÿ.
Åñëè æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk }∞0ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà ðàçðåøèìà.28Ãëàâà 3×èñëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèåÅñòåñòâåííûì ñïîñîáîì ïðèáëèæåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå íå ñàìîé ôóíêöèè, à èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà èëè ñïëàéíà ïîñòðîåííîãî ïî åå òàáëè÷íûì çíà÷åíèÿì. Ìîæíî òàêæåäèôôåðåíöèðîâàòü àïïðîêñèìàöèè Ïàäå è âîîáùå ïðîèçâîëüíûå àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè, ïðîèçâîäíûå îòêîòîðîé ìû õîòèì îïðåäåëèòü. Âîïðîñ ëèøü â òîì, êàêîâû çàòðàòû è êàêîâà òî÷íîñòü òàêîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.3.1 Äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìàÑàìûì ïðîñòûì ñïîñîáîì ïðèáëèæåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà, ïîñòðîåííîãî ïî íåêîòîðîé ñåòêå åå çíà÷åíèé, êîòîðûé óäîáíî ïðåäñòàâèòü âôîðìå Íüþòîíàp(x) =NXf012 ... k Nk (x) =k=0NXf012 ...
kk−1Y(x − xi ) .i=0k=0Åãî n-àÿ ïðîèçâîäíàÿ èìååò âèänn£P¤p(n) (x) = n! f01...n +(x − xi ) f01...n+1 +i=0+X£ j=n+1o¤(x − xi )(x − xj ) f01...n+2 + . . . .(1)j>i≥0Ïîñêîëüêó ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà åñòüNf (x) − p(x) =f N +1 (ξ(x)) Y(x − xi ) ,(N + 1)! i=0òî ïîãðåøíîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îöåíèâàåòñÿ âûðàæåíèåì<f (n) (x) − p(n) (x) ∼ const||f (N +1) ||Cmax[x − xi ]N +1−n ,(N + 1 − n)! iòî åñòü, êàæäîå äèôôåðåíöèðîâàíèå íà îäèí ïîðÿäîê ñíèæàåò òî÷íîñòü. Åñëè æå â (1) îñòàâèòü òîëünPêî ïåðâûé ÷ëåí, òî ïîñêîëüêó ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûì îòáðîøåííûì ÷ëåíîì(x −xi )f01...n+1 , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíûõf(n)nh³X´i(x) ' n! f01...n + O(x − xi ).i=029i=0(2)Ïóñòü h = max hi , ãäå hi = xi+1 − xi . Èç (2) âèäíî, ÷òî ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü n-ãî ïîðÿäêà,iäîìíîæåííàÿ íà n! , àïïðîêñèìèðóåò ïðîèçâîäíóþ n-ãî ïîðÿäêà ñ òî÷íîñòüþ O(h) .
Äåéñòâèòåëüíî, åñëènPx ∈ [x0 , xn ] , òî ìàêñèìóì ìîäóëÿ ñóììû(x − xi ) äîñòèãàåòñÿ â îäíîé èç òî÷åê x = x0 èëè x = xn èi=0n(n+1)h2íå ïðåâîñõîäèò âåëè÷èíû h + 2h + . . . nh =.Ïîñêîëüêó ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü f01...n íå ñîäåðæèò ñàìîé ïåðåìåííîé x , òî âîçíèêàåò âîïðîñ: ïðîèçâîäíóþ â êàêîé òî÷êå îíà àïïðîêñèìèðóåò òî÷íåå âñåãî? Ýòà òî÷êà îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì ðàâåíñòâà íóëþnnPPïåðâîãî îòáðîøåííîãî ÷ëåíà, òî åñòü óñëîâèåì(x − xi ) = 0 , îòêóäà x∗ =xi /(n + 1) , è ïðåäñòàâi=0i=0ëÿåò ñîáîé ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ òî÷åê x0 , x1 , . . . , xn .  ýòîé òî÷êå ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïðèáëèæåííîéïðîèçâîäíîé n-ãî ïîðÿäêà íà åäèíèöó âûøå è ðàâåí O(h2 ) . Åñëè æå â (1) îñòàâèòü äâà ïåðâûõ ÷ëåíà,òî ïîðÿäîê òî÷íîñòè òàêîé ôîðìóëû ïðèáëèæåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ áóäåò O(h2 ) . Ïðè ýòîì â äâóõj=n+1Pòî÷êàõ, îïðåäåëÿåìûõ êàê êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ(x − xi )(x − xj ) = 0 , òî÷íîñòü áóäåò íà ïîðÿj>i≥0äîê âûøå.
Àíàëîãè÷íî, k -÷ëåííàÿ ôîðìóëà èìååò ïîðÿäîê òî÷íîñòè O(hk ) , òî÷êè ïîâûøåííîé òî÷íîñòèåñòü êîðíè óðàâíåíèÿ k -ãî ïîðÿäêà. Ðåøàòü òàêîå óðàâíåíèå âðÿä ëè öåëåñîîáðàçíî, îäíàêî, êàê íåòðóäíîçàìåòèòü, åñëè òî÷êà x òàêîâà, ÷òî óçëû x0 , x1 , . . . xn+k−1 ðàñïîëîæåíû îòíîñèòåëüíî íå¼ ñèììåòðè÷íîè k íå÷åòíî, òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïîâûøåííîé òî÷íîñòè. Ðàçóìååòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòêè,òàêîå óñëîâèå, êàê ïðàâèëî, íå ðåàëèçóåòñÿ. Îäíàêî òàêàÿ òî÷êà çàâåäîìî ñóùåñòâóåò (ïðè ïðîèçâîëüíîìk ), åñëè øàã ñåòêè ïîñòîÿííûé è íàõîäèòñÿ îíà ïîñåðåäèíå ìåæäó êðàéíèìè óçëàìè: x∗ = (x0 + xn+k−1 )/2.3.2 Êîíå÷íûå ðàçíîñòèÅñòåñòâåííûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ ïðèáëèæåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàðÿäó ñ ðàçäåëåííûìè ðàçíîñòÿìèÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.Ïóñòü f (x) ∈ C , îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆x = h ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà.Îïðåäåëåíèå.
Âûðàæåíèå ∆h f = ∆f (x) = f (x + h) − f (x) íàçûâàåòñÿ ïåpâîé ðàçíîñòüþ (èëè êîíå÷íîéðàçíîñòüþ ïåðâîãî ïîðÿäêà) øàãà h ôóíêöèè f (x) .Êîíå÷íûå ðàçíîñòè âûñøèõ ïîðÿäêîâ îïðåäåëèì åñòåñòâåííûìè ðåêóððåíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè. Èìåííî, ïîëîæèì ∆nh1 h2 ...hn f = ∆hn (∆hn−1f ) êîíå÷íàÿ ðàçíîñòü n-ãî ïîðÿäêà. Ýòî îïðåäåëåíèå íå1 h2 ...hn−1çàâèñèò îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðèìåíåíèÿ ñäâèãîâ hi :∆nh1 h2 ...hn f = ∆nhi1hi2 ...hin f ,ãäå {i1 , i2 , .
. . , in } ïðîèçâîëüíàÿ ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ 1, 2, . . . n.Îòìåòèì ñâÿçü êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ñ ìíîãî÷ëåíàìè. Ïóñòü p(x) = aN xN + aN −1 xN −1 + . . . + a0 ïîëèíîì ñòåïåíè N , òîãäàa)∆Nh1 h2 ...hN p(x) = N !aN h1 h2 . . . hN = const;+1á)∆Nh1 h2 ...hN +1 p(x) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî∆kh1 h2 ...hk xN = N (N − 1) . . . (N − k + 1)h1 h2 . . . hk xN −k ,Äåéñòâèòåëüíî,∆h1 xN = (x + h1 )N − xN =NXk k N −kNh xk=030k≤N .− xN = N h1 xN −1 + . .
. .Ïðèìåíèì òåïåðü ∆h2 ê ∆h1 xN :∆2h1 h2 xN = ∆h2 (∆h1 xN ) = N (N − 1)h1 h2 xN −2 + . . . ,è òàê äàëåå.Çàìåòèì, ÷òî ýòè ñâîéñòâà àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì ñâîéñòâàì ðàçäåëåííûõ ðàçíîñòåé: p01...N =const , p01...N +1 = 0 . Óêàçàííîå ñõîäñòâî ðàçäåëåííûõ è êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé íå îãðàíè÷èâàåòñÿ ýòèì.Ïóñòü øàã h ïîñòîÿííûé, îáîçíà÷èì ∆k = ∆khh . . .
h , òîãäà| {z }k∆k f0,hkk!f01...k =(f1 −f0 )(x1 −x0 )ãäå ∆k f0 = ∆k f (x)|x=x0 . Äåéñòâèòåëüíî f01 ==∆f0h. Äàëåå ïîñòóïèì ïî èíäóêöèè. Ïóñòü ïðèèíäåêñå ðàâíîì k − 1 ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, òîãäàf01...k =1(∆k−1 f1(k−1)!hk−1f12...k − f01...k−1=xk − x0− ∆k−1 f0 )kh=∆k f0.k!hkÇàìåòèì, ÷òî íàïðàøèâàþùååñÿ îáîáùåíèå äëÿ íåðàâíîìåðíîé ñåòêè (íåïîñòîÿííîãî øàãà), à èìåííî ðàâåíñòâî âåëè÷èíû k!f01...k îòíîøåíèþ∆kh1 h2 ...kk f0h1 h2 ...hk, î÷åâèäíî, íå èìååò ìåñòà. Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ óáå-äèòüñÿ â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî (áåç âñÿêèõ âû÷èñëåíèé!).Èòàê ââåäåí îïåðàòîð ∆ äåéñòâóþùèé íà ôóíêöèþ f (x) ïî ïðàâèëó ∆f (x) ≡ f (x+h)−f (x) .
Îòìåòèìäàëüíåéøèå ñâîéñòâà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé:1) Ëèíåéíîñòü: ∆(αf + βg) = α∆f + β∆g ;2) ∆k (∆l f ) = ∆k+l f = ∆l (∆k f );3) Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé:ddx=1∆x ln(1+ ∆) .Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ôîðìàëüíîå è ïîíèìàòü åãî íóæíî â ñëåäóþùåì ñìûñëå∆f = exp{hd}f − f ,dxãäå ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî f àíàëèòè÷åñêàÿ, ò.å., â ÷àñòíîñòè, ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà è ñîâïàäàåòñ íèì â íåêîòîðîì êðóãå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñò赶n∞Xdd1hf (x) = exp{h }f (x) .f (x + h) =n!dxdxn=0Òàêèì îáðàçîì îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ìîæíî ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè àïïðîêñèìèðîâàòü êîíå÷íûìè ðàçíîñòÿìè:ln(1 + ∆)1d==dxhhµ¶∆2∆3(−1)n+1 ∆n∆−++ ...
++ ... .23n(3)Îáðåçàÿ ýòî âûðàæåíèå íà òîé èëè èíîé ñòåïåíè ∆ , ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé âòî÷êå x ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. Èç ýòîé ôîðìóëû, â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîåðàâåíñòâîdfdx'∆fh=f (x+h)−f (x)h1df'dxhµ, à îñòàâëÿÿ äâà ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷àå춵¶∆21f (x + 2h) 3∆−f=2f (x + h) −− f (x) .2h22Âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ âûñøèõ ïîðÿäêîâ âûâîäÿòñÿ èç (3), ñêàæåì âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ èìååòñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèåd1f = 2 ln(1 + ∆)ln(1 + ∆)f .dxh314) Âûðàæåíèå ïîñëåäîâàòåëüíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè ÷åðåç êîíå÷íûå ðàçíîñòè:f (x + kh) =kXCks ∆s f (x).s=0Äîêàçàòåëüñòâî: Äåéñòâèòåëüíîf (x + h) = f (x) + ∆f (x) = (1 + ∆)f (x) ,f (x + 2h) = (1 + ∆)f (x + h) = (1 + ∆)2 f (x) ,...
,f (x + kh) = (1 + ∆)k f (x) ,kP(1 + ∆)k =è, ðàñêëàäûâàÿ ïî áèíîìós=0âûðàæåíèå.Cks ∆s , ãäåCks =k(k−1)...(k−s+1)s!=k!(k−s)!s!, ïîëó÷àåì èñêîìîå5) Âûðàæåíèå êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ÷åðåç çíà÷åíèÿ ôóíêöèè:∆k f (x) =kXCks (−1)s f (x + (k − s)h) .s=0Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì ∆ = (1 + ∆) − 1, òîãäà∆k f (x) = [(1 + ∆) − 1]k f (x) =kXCks (1 + ∆)k−s (−1)s f (x) =s=0=kXCks (−1)s f (x + (k − s)h),s=0èëè, ðàñïèñûâàÿ ïîäðîáíî:∆k f (x) = f (x + kh) − Ck1 f (x + (k − 1)h) + Ck2 f (x + (k − 2)h)++ . . .
+ (−1)k f (x).6) Ôîðìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà:∆k f (x) = (∆x)k f (k) (x + Θk∆x) ,ãäå 0 < Θ < 1 è f ∈ C k .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ìû áóäåì ïðîâîäèòü ïî èíäóêöèè. Áàçà èíäóêöèè ∆f = ∆xf 0 (x+Θ∆x)èìååò ìåñòî â ñèëó òåîðåìû Ëàãðàíæà î ñðåäíåì çíà÷åíèè ïðîèçâîäíîé (íàïîìíèì, ÷òî äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîé íà îòðåçêå [x, x+∆x] ôóíêöèè òåîðåìà Ëàãðàíæà óòâåðæäàåò, ÷òî íà ýòîì æå ïðîìåæóòêå íàéäåòñÿòî÷êà ξ , òàêàÿ ÷òî∆f∆x=f (x+h)−f (x)∆x= f 0 (ξ) , ãäå ξ ∈ [x, x + ∆x] ). Äàëåå, ïóñòü ïpè èíäåêñå ðàâíîì kôîðìóëà ñïðàâåäëèâà:∆k f (x) = (∆x)k f (k) (x + Θk∆x) .Òîãäà∆k+1 f (x) = ∆(∆k f ) = ∆[f (k) (x + kΘ∆x)]∆k x == ∆k x[f (k) (x + ∆x + kΘ∆x) − f (k) (x + kΘ∆x)] .32Ïðîäîëæèì ýòî ðàâåíñòâî èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ëàãðàíæà= (∆x)k+1 f (k+1) (x + kΘ∆x + Θ0 ∆x) = (∆x)k+1 f (k+1) (x + (kΘ + Θ0 )∆x) .Çäåñü Θ0 < 1 (pàâíî êàê è Θ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
