Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . , Mk=1aÇàìåòèì, ÷òî ýòî ñèñòåìà èç M +1 ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ íà L ÷èñåë λk . Îíà ñòàíîâèòñÿ îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìîé ïðè M = L − 1, ïîñêîëüêó îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà è, ñëåäîâàòåëüíî,îòëè÷åí îò íóëÿ, ïîýòîìó âåñà λk ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿâåñîâ èìååò âèäZb Y(x − xj )λk =ρ(x)dx ,(xk − xj )(7)a j6=k÷òî åñòåñòâåííî ñîâïàäàåò ñ (5) ïðè ρ(x) ≡ 1.Èòàê, àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè íå ìîæåò ïðåâûøàòü âåëè÷èíó 2L − 1, à ìîæåò ëè îíà ðàâíÿòüñÿýòîìó ÷èñëó? Äà, ìîæåò!Îïðåäåëåíèå. Êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû íàèâûñøåé àëãåáðàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè (M = 2L − 1) íàçûâàþòñÿ êâàäðàòóðíûìè ôîðìóëàìè Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ.Çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì ôîðìóë Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ. Åñëè óçëû óæå èçâåñòíû, òî âåñà ìîæíî λk îïðåäåëèòü èñïîëüçóÿ îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà ( è ïîëó÷èòü âûðàæåíèå (7)), íî ýòî ãàðàíòèðóåò àëãåáðàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòè ëèøü äî çíà÷åíèÿ M = L−1.
Çíà÷èò âîïðîñ çàêëþ÷àåòñÿ â "ðàçóìíîì"ðàñïîëîæåíèèóçëîâ xk . Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íàì ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ îá îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ(êîðíè êîòîðûõ è ÿâëÿþòñÿ óçëàìè êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ).4.3.2 Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìûÒåîðåìà. Ïóñòü çàäàíà âåñîâàÿ ôóíêöèÿ ρ ñî ñâîéñòâàìè 1)-3), òîãäà â L2,ρ ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííàïîëíàÿ ñèñòåìà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ Pn (x) :ZbPn (x)Pm (x)ρ(x)dx = δnm ||Pn ||2L2,ρ ,hPn , Pm iL2,ρ =aòàêàÿ ÷òî degPn = n .Íàïîìíèì,÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ {ϕi } íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà E , íàçûâàåòñÿ ïîëíîé åñëè íàèìåíüøåå çàìêíóòîå (ò.å. ñîäåðæàùåå âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè) ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå {ϕk } , åñòüâñå E .
 êîíå÷íîìåðíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå âñÿêîå ïîäïðîñòðàíñòâî àâòîìàòè÷åñêè çàìêíóòî. áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ýòî íå òàê. Íàïðèìåð, â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C[a,b] (ñî ñâîåéíîðìîé: ||f || = max |f (x)|) ïîëèíîìû îáðàçóþò ïîäïðîñòðàíñòâî, íî íå çàìêíóòîå. Îäíàêî, â ñèëó òåîðåìûx∈[a,b]Âåéåðøòðàññà, ñèñòåìà ôóíêöèé {xk }∞k=0 ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé â C[a,b] .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü áåç ïpîâåpêè ïîëíîòû.
Ïðåäúÿâèì ýòè ïîëèíîìû ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ÿâíî:39c0c1...cnc1c2...cn+1Pn (x) = An . . ..........cn−1cn. . . c2n−11x....xnÇäåñü, An íîðìèðîâî÷íûå êîíñòàíòû. Äëÿ ïðîâåðêè ñóùåñòâîâàíèÿ, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, â òîì ÷òîPn ⊥ xm , m < n. ÄåéñòâèòåëüíîZbc0c1...cnc1c2...cn+1............cn−1cn...c2n−11x...xnZbmmx Pn (x)ρ(x)dx = Anaxa= Anc0c1...cn............cn−1cn...c2n−1cmcm+1...cm+nρ(x)dx ==0,åñëè m ≤ n − 1 (îïðåäåëèòåëü ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòðîêàìè). Òàêèì îáðàçîì, îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìûñóùåñòâóþò.Ïîñêîëüêó ñòåïåíè xm ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû ìîæíî òàêæå ïîñòðîèòü èñòàíäàðòíîé ïðîöåäóðîé îðòîãîíàëèçàöèè (Ãèëüáåðòà-Øìèäòà):P0 =x − hx, 1iL2,ρ 11, P1 =,... ,||1||L2,ρ||x − hx, 1iL2,ρ 1||L2,ρxl −Pl =||xl−l−1Phxl , Pk iL2,ρ Pkk=1l−1P.hxl , Pk=1k iL2,ρ Pk ||L2,ρÏðîâåðèì òåïåðü åäèíñòâåííîñòü.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò äðóãîé ïîëèíîì Gk ñòåïåíè k , òàêîé ÷òî Gk ⊥ Pi ,kPci Pi . Äîìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî íà Pl è ïðîèíòåãðèðóåìi = 1, . . ., k−1. Ðàçëîæèì åãî ïî ñèñòåìå Pk : Gk =i=0ñ âåñîì ρ ïî îòðåçêó [a, b] (ò.å. ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå), òîãäà hgk , Pl i = 0 = cl ïðè l < k è,ñëåäîâàòåëüíî gk = ck Pk .Âîïðîñ: À ãäå ìû èñïîëüçóåì ñâîéñòâà ρ?Äåëî â òîì, ÷òî åñëè ρ óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì 1)-3), òî ôîðìàZbhf, giL2,ρ =f (x)ḡ(x)ρ(x)dxaäåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.404.3.3 Ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâÏóòü çàäàíà ñèñòåìà îðòîãîíàëüíûõ ñ âåñîì ρ ïîëèíîìîâ Pn (x) .
ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà. Âñå êîðíè Pn (x) âåùåñòâåííûå, ïðîñòûå è ïðèíàäëåæàò îòðåçêó (a, b) .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Pn (x) èìååò k âåùåñòâåííûõ êîðíåé xi íà îòðåçêå (a, b) íå÷åòíîé êðàòíîñòè.Ïîëîæèìk=0 1,kqk (x) =Q(x − xj ), k > 0,j=1ãäå êîðíè xi ∈ (a, b) âçÿòûå áåç ó÷åòà êðàòíîñòè, ò.å. âõîäÿò â ïðîèçâåäåíèå òîëüêî îäèí ðàç. Òîãäàïðîèçâåäåíèå Pn (x)qk (x) íå ìåíÿåò çíàê íà ïðîìåæóòêå (a, b) , è, ñëåäîâàòåëüíî,ZbPn (x)qk (x)ρ(x)dx 6= 0 .aÎäíàêî ïðè k < n èíòåãðàë äîëæåí ðàâíÿòüñÿ 0 â ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè Pn ïîëèíîìàì ìåíüøåéñòåïåíè.
Òàêèì îáðàçîì k = n.Òåîðåìà. Åñëè àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû c L óçëàìè xk ðàâíà 2L−1 ,òî óçëû xk ñóòü êîðíè îðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà PL (x) .LQÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü NL (x) =(x − xi ) , ãäå xi óçëû êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû è ïóñòü å¼ àëãåái=1ðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè ðàâíà 2L − 1. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = NL (x)Pm (x) , ãäå m ≤ L − 1 ,ÿâëÿþùóþñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé 2L − 1. Äëÿ òàêîé ôóíêöèè êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëàòî÷íà ïî óñëîâèþ, è, ñëåäîâàòåëüíî,Zbf (x)ρ(x)dx =aòî åñòüRbaLXf (xk )λk = 0 ,k=1NL (x)Pm (x)dx = 0, à çíà÷èò NL ⊥ Pm . Òàêèì îáðàçîì, NL ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìîìè â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ PL .Ïóñòü òåïåðü êîðíè xi îðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà PL (x) ÿâëÿþòñÿ óçëàìè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû.Ïîêàæåì, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ìîæåò ðàâíÿòüñÿ 2L − 1.
Ïðîàïïpîêñèìèpóåì ôóíêöèþ f (x) ïîëèíîìîì g(x) ñòåïåíè L − 1 ïî åå çíà÷åíèÿì â òî÷êàõ xi :g(x) =LXf (xi )Li (x) , Li (x) =i=1Ïóñòü I =Rbf (x)ρ(x)dx , J =aRbaLY(x − xj ).(xi − xj )j6=ig(x)ρ(x)dx . Òîãäà I = J , åñëè f ïîëèíîì ñòåïåíè äî L − 1âêëþ÷èòåëüíî, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå f = g .
Íî åñëè f ïîëèíîì ñòåïåíè äî 2L − 1 , òî ðàçíîñòüïîëèíîìîâ fè g òàêæå ïîëèíîì ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé 2L − 1 , ïðè÷åì (f − g) |x=xj = 0 , è,ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå f − g = PL qL−1 , ãäå qL−1 íåêîòîðûé ïîëèíîì ñòåïåíè äîL − 1 . ÒîãäàZbI −J =Zbρ(x)[f (x) − g(x)]dx =aρ(x)PL (x)qL−1 (x)dx = 0 ,a41òî åñòü àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ðàâíà 2L − 1 , åñëè å¼ óçëû êîðíèîðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà.
Âåñà ïðè ýòîì ðàâíûZbλk =Lk (x)ρ(x)dx =Zb YLa i6=ka(x − xi )ρ(x)dx .(xk − xi )Îòìåòèì, ÷òî êîðíè ñîñåäíèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ PL è PL−1 ðàçëè÷íû (íà ñàìîì äåëå ìåæäóäâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè êîðíÿìè xi è xi+1 ïîëèíîìà PL ëåæèò ðîâíî îäèí êîðåíü x̃i ïîëèíîìàPL−1 ). Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü fk (x) =PL (x)PL−1 (x)(x−xk ), òîãäà degfk = 2L − 1 è ôîðìóëà Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿñ óçëàìè xi , ÿâëÿþùèìèñÿ êîðíÿìè ïîëèíîìà PL , äëÿ òàêîé ôóíêöèè òî÷íà.
Îíà, êàê ëåãêî óâèäåòü,ïðèíèìàåò âèäZbλk PL0 (xk )PL−1 (xk ) =aPL (x)PL−1 (x)ρ(x)dx .(x − xk )Ïóñòü ai ñòàðøèå êîýôôèöèåíòû îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ Pi , òîãäàPL (x) = aLè ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåYY(x − xi ) , PL−1 (x) = aL−1 (x − x̃i ) ,PL (x)aL=PL−1 (x) + qL−2 (x) ,x − xkaL−1ãäå qL−2 (x) íåêîòîðûé ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå L − 2 . Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì îðòîãîíàëüíîñòè1λk = 0PL (xk )PL−1 (xk )ZbaaL ||PL−1 ||2L2,ρaL 2PL−1 (x)ρ(x)dx =,aL−1aL−1 PL0 (xk )PL−1 (xk )íî òàê êàê λk 6= ∞ (äëÿ âåñîâ óæå ïîëó÷åíî ÿâíîå âûðàæåíèå (7), äà è êðîìå òîãî, çíàÿ óçëû, âåñà ìîæíîîäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ÷åðåç îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà), òî PL−1 (xk ) 6= 0 , è çíà÷èò íè îäèí èç êîðíåéïîëèíîìà PL íå ìîæåò ÿâëÿòüñÿ êîðíåì ïîëèíîìà PL−1 . Ïîïóòíî ìû íàøëè è äðóãîå âûðàæåíèå äëÿâåñîâ λk .Ñâîéñòâà âåñîâ1) λk > 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü fk (x) =hNL (x)x−xki2.
Ýòî ïîëèíîì ñòåïåíè 2L − 2 , ðàâíûé 0 âî âñåõ óçëàõ, êðîìåx = xk , äëÿ íåãî ôîðìóëà Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ òî÷íà, ïîýòîìóZb ·aNL (x)x − xk¸2·ρ(x)dx = λkñëåäîâàòåëüíî λk > 0.2) ñâÿçü âåñîâ λk ñ ìîìåíòàìè cl =LXRbaNL (x) ¯¯x − xk x=xk¸22= λk [NL0 (xk )] > 0 ,xl ρ(x)dx :xlk λk = cl , l = 0 , 1 , . . . , 2L − 1 .k=1Ñâîéñòâî ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè ñîñ÷èòàòü èíòåãðàë ñ âåñîì îò ñòåïåíè xlÊpèñòîôåëÿ.LRbP3)λk = ρ(x)dx .k=1aÝòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ñâîéñòâà 2) ïpè l = 0 .42ïî ôîðìóëå Ãàóññà-4.3.4 Ïðèìåðû îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ1) Ïîëèíîìû Ëåæàíäðà Pn (x) ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè íà ïðîìåæóòêå (-1,1) ñ âåñîì ρ(x) = 1. Ñòî÷íîñòüþ äî íîðìèðîâêè äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå(−1)n dn(1 − x2 )n .2n n! dxnPn (x) = ÷àñòíîñòè P0 = 1 , P1 = x , P2 = 21 (3x2 − 1) .2) Ïîëèíîìû ×åáûøåâà ïåðâîãî ðîäàTn =[n/2]n X (−1)m (n − m − 1)!(2x)n−2m2 m=0m!(n − 2m)!îðòîãîíàëüíû íà òîì æå ïðîìåæóòêå [−1, 1] , ñ âåñîì ρ =√ 11−x2.23) Ïîëèíîìû Ýðìèòà Hn îðòîãîíàëüíû íà ïðîìåæóòêå (−∞, ∞) ñ âåñîì ρ(x) = e−x .
Ñ òî÷íîñòüþäî íîðìèðîâêè îíè èìåþò âèäHn (x) = (−1)n ex4) Ïîëèíîìû Ëàãåpðà Ln2dn −x2e.dxnîðòîãîíàëüíû íà ïðîìåæóòêå [0, ∞) ñ âåñîì ρ(x) = e−x . Èõ ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå1 x dn n −xe(x e ) .n! dxnLn (x) =4.3.5 Ïîãðåøíîñòü êâàäðàòóðíûõ ôîðìóëÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) ïðîèíòåðïîëèðîâàíà ïî å¼ çíà÷åíèÿì f (xi ) â L òî÷êàõ xi , i = 1, 2, . . . , L,ïîëèíîìîì gL−1 :f (x) = gL−1 (x) + r(x) , gL−1 (x) =LXf (xj )i=1LY(x − xj ).(xi − xj )j6=iÏîãðåøíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ R ïðè çàìåíå f (x) èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì gL−1(îíà æå ïîãðåøíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû) èìååò âèäZbR=Zbf ρdx −aZbgL−1 ρdx =aZbr(x)ρdx =aaN (x) =LYf (L) (ξ(x))N (x)ρ(x)dx ,L!(x − xi )i=1è åñëè f ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå L − 1 , òî f (L) ≡ 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà òî÷íà.Äëÿ ñëó÷àÿ pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ xi − xi−1 = h èìååì:·¸1|NL (x)|≤ hL max≤ hL ,kL!CLkçíà÷èòZbL|R| ≤ h ||f(L)||Cρ(x)dxaè ïpè ρ = 1|R| ≤ hL ||f (L) ||(b − a) .Ýòî äîâîëüíî ãðóáàÿ îöåíêà, îäíàêî îíà ïîêàçûâàåò ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî h .43 ñëó÷àå, åñëè óçëû íå ïðîèçâîëüíûå, à êîðíè îðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà PL , òî êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëàòî÷íà äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé 2L − 1, õîòÿ ïîëó÷åííàÿ îöåíêà ýòîãî è íå "÷óâñòâóåò".×òîáû óëó÷øèòü îöåíêó â ýòîì ñëó÷àå ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü f ∈ C 2L . Ðàçëîæèì åå â ðÿäÒåéëîðà â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè x∗ :f (x) =2L−1Xk=0|f (k) (x∗ )(x − x∗ )k f (2L) (x∗ )(x − x∗ )2L++ q(x) ,k!(2L)!{z}{z} |f2 (x)f1 (x)òîãäàZbR=Zb[f − gL−1 (x)]ρ(x)dx =aZb[f1 − gL−1 (x)]ρ(x)dx +a|{z}f2 (x)ρ(x)dx .a=0Ïóñòü âåñ ρ = 1, îöåíèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë îòáðîñèâ îò ôóíêöèè f2 (x) îñòàòîê q(x) è âûáðàâ â êà÷åñòâåòî÷êè ðàçëîæåíèÿ x∗ òî÷êóZbaa+b2 ,òîãäàf (2L) (x∗ )(x − x∗ )2L||f (2L) ||Cdx ≤ 2L(b − a)2L+1 ,(2L)!2 (2L + 1)!òî åñòü ïîãðåøíîñòü R âåäåò ñåáÿ êàêR∼||f (2L) ||C(b − a)2L+1 .+ 1)!22L (2L4.4 Ïðèìåðû êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë ýòîì ïóíêòå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåñ ρ = 1 , è, ÷òî L ÷èñëî óçëîâ íà [a, b] .4.4.1 ×èñëî óçëîâ L = 1a) Ôîðìóëà ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ: x1 = a,á) Ôîðìóëà ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ: x1 = b,â) Ôîðìóëà ñðåäíèõ (ïðÿìîóãîëüíèêîâ)Rbaf (x)dx ≈ (b − a)f (a) .Rbf (x)dx ≈ (b − a)f (b) .a ôîðìóëà íàèâûñøåé àëãåáðàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè (îíà äîëæíà áûòü òî÷íîé äëÿ ïîëèíîìîâ íå ïðåâîñõîäÿùèõ ñòåïåíè 2L − 1 = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
