Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ïðåäñòàâèì f (x) ïðèáëèæåííî: f (x) ≈ f (x̄k ) + f 0 (x̄k )(x − x̄k ) . Òîãäàïîãðåøíîñòü R ïðèáëèæåííî îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåìZxNR=r(x)eiωxdx ≈NXZxk0f (x̄k )k=1x0(x − x̄k )eiωx dx =xk−1¶µNωhkωhk2i X 0ωhk−coseiωx̄k ,= 2f (x̄k ) sinω222k=1ò.å. åñëè ïðîèçâåäåíèå ωhk ïîðÿäêà 1, òî ôîðìóëà Ôèëîíà èìååò íåáîëüøóþ ïîãðåøíîñòü, â ïðîòèâíîìñëó÷àå ïîãðåøíîñòü òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è çíà÷åíèå èíòåãðàëà.49Ãëàâà 5Ïîèñê ìèíèìóìà5.1 Ñëó÷àé îäíîé ïåðåìåííîé5.1.1 Ìåòîä çîëîòîãî ñå÷åíèÿÏóñòü Φ(x) : [a, b] → R è èçâåñòíî, ÷òî íà ïðîìåæóòêå [a, b] ôóíêöèÿ Φ èìååò õîòÿ áû îäèí ëîêàëüíûéìèíèìóì. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ èçëàãàåìîãî íèæå ìåòîäà çîëîòîãî ñå÷åíèÿ, îò ôóíêöèè Φ(x) íå òðåáóåòñÿäàæå íåïðåðûâíîñòü, äîñòàòî÷íî ëèøü êóñî÷íîé íåïðåðûâíîñòè.
Áóäåì ïîêà ñ÷èòàòü, ÷òî Φ èìååò íàïðîìåæóòêå ëèøü îäèí ëîêàëüíûé ìèíèìóì (îí æå è ãëîáàëüíûé).Ìåòîä îñíîâàí íà ñðàâíåíèè çíà÷åíèé ôóíêöèè â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ, ñ ïîñëåäóþùèì îòáðàñûâàíèåìïðîìåæóòêîâ, íà êîòîðûõ ìèíèìóì óæ òî÷íî íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ. ßñíî, ÷òî ÷òîáû îñóùåñòâëÿòü ïîäîáíóþ ïðîöåäóðó, íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, âîîáùå ãîâîðÿ, â 4-õ òî÷êàõ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòüa = x0 < x1 < x2 < x3 = b , è ïóñòü, ñêàæåì, â òî÷êå x2 çíà÷åíèå ôóíêöèè íàèìåíüøåå èç ýòèõ ÷åòûðåõ âåëè÷èí. Òîãäà ìèíèìóì Φ çàâåäîìî íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ íà ïðîìåæóòêå [x0 , x1 ] , è ïîýòîìó ýòîòïðîìåæóòîê ìîæíî îòáðîñèòü. Òåïåðü íà îñòàâøåìñÿ ïðîìåæóòêå [x1 , x3 ] íàì èçâåñòíû êðàéíèå çíà÷åíèÿôóíêöèè è çíà÷åíèå â îäíîé âíóòðåííåé òî÷êå.
Äîáàâëÿÿ íîâóþ òî÷êó x4 , ìû ìîæåì ïîâòîðèòü ñðàâíåíèåçíà÷åíèé Φ è âíîâü ñóçèòü äîïóñòèìûé ïðîìåæóòîê. Êàê íàèáîëåå ðàçóìíî ðàçìåùàòü äîáàâëÿåìûå òî÷êè? Ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì, ÷òîáû äåëåíèå îòðåçêîâ ïðîèñõîäèëî ïîäîáíî ïðåäûäóùåìó äåëåíèþ.x0x1x2x4x3Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî âíóòðåííèå òî÷êè äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ ñèììåòðè÷íî, òî åñòü|x1 − x0 | = |x3 − x2 | = h. Åñëè äëèíà èñõîäíîãî ïðîìåæóòêà ðàâíà l, òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåξ=hx1 − x0x2 − x1l − 2h===,lx3 − x0x3 − x1l−hîòêóäàξ=1 − 2 hlh1 − 2ξ==.hl1−ξ1− l50Ðàçðåøàÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ξ , ïîëó÷àåì ξ =√3− 52≈ 0, 38 , òî åñòü íà êàæäîì øàãå (çàèñêëþ÷åíèåì âû÷èñëåíèÿ ñòàðòîâûõ âíóòðåííèõ òî÷åê x1 è x2 ) îòðåçîê ñîêðàùàåòñÿ â 1/(1 − ξ) ≈ 1, 61ðàçà è ñõîäèìîñòü ìåòîäà ëèíåéíàÿ.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû íà÷àòü ïðîöåññ çîëîòîãî ñå÷åíèÿ, ê ãðàíè÷íûì òî÷êàì x0 = a èx3 = b äîáàâëÿþòñÿ äâå òî÷êè x1 = x0 + ξ(x3 − x0 ) è x2 = x3 − ξ(x3 − x0 ).
Çàòåì, ïîñëå îòáðàñûâàíèÿ òî÷åêè äîáàâëåíèÿ íîâûõ, íà ïîñëåäóþùèõ øàãàõ íîìåðà òî÷åê ïåðåìåøàíû áåñïîðÿäî÷íî. Äàäèì èì íîìåðàj ,k ,l,m , è ïóñòü, ñêàæåì, Φ(xj ) < Φ(xk,l,m ) . Ïðè äåëåíèè ïî çîëîòîìó ñå÷åíèþ îòáðàñûâàåòñÿ îòðåçîêîäíèì, èç êîíöîâ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ òî÷êà íàèáîëåå óäàëåííàÿ îò xj . Ïóñòü ýòîé òî÷êîé ÿâëÿåòñÿ xk(î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îäíà èç êðàéíèõ òî÷åê). Çàòåì íàäî äîáàâèòü íîâóþ òî÷êó xn . Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòèxk < xj < xm . Òîãäà â ñèëó ñèììåòðèè ðàñïîëîæåíèÿ âíóòðåííèõ òî÷åê îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìxn = xk + xm − xi (ò.å.
ñóììà êðàéíèõ òî÷åê ìèíóñ âíóòðåííÿÿ).Åñëè ôóíêöèÿ Φ èìååò íà èñõîäíîì ïðîìåæóòêå íåñêîëüêî ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ, òî ìåòîä çîëîòîãîñå÷åíèÿ âñ¼ ðàâíî ñîéäåòñÿ ê îäíîìó èç íèõ, íå îáÿçàòåëüíî ê ãëîáàëüíîìó.5.1.2 Ìåòîä ïàpàáîëÅñëè ôóíêöèÿ îáëàäàåò äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòüþ (èìååò âòîpóþ ïðîèçâîäíóþ) òî åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòüýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðè ïîèñêå ìèíèìóìà.
 ýòîé òî÷êå Φ0 (x) = 0, è ìîæíî èñêàòü íóëü ïåpâîé ïðîèçâîäíîé,ñêàæåì ìåòîäîì Íüþòîíàxn+1 = xn −Φ0 (xn ).Φ00 (xn )Ýòó ôîðìóëó ëåãêî ïîëó÷èòü è íåïîñðåäñòâåííî ðàçëîæèâ Φ(x) â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êå xn è îãðàíè÷èâøèñüòðåìÿ ÷ëåíàìè, ò.å. àïïðîêñèìèðóÿ êðèâóþ ïàðàáîëîéΦ(x) ≈ Φ(xn ) + (x − xn )Φ0 (xn ) +(x − xn )2 00Φ (xn ) .2Ìèíèìóì ýòîé ïàðàáîëû íàõîäèòñÿ êàê ðàç â òî÷êå xn+1 .  ñâÿçè ñ ýòèì ìåòîä è íàçûâàåòñÿ ìåòîäîìïàðàáîë.Âû÷èñëÿòü è ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ íà êàæäîì øàãå äîâîëüíî íàêëàäíî.
Ïîýòîìó èõ ïðèáëèæåííî çàìåíÿþò ðàçíîñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, âû÷èñëåííûìè ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíîãî øàãà h :Φ0 (xn ) →Φ00 (xn ) →Φ(xn + h) − Φ(xn − h),2hΦ(xn + h) − 2Φ(xn ) + Φ(xn − h),h2è ìåòîä ïðèíèìàåò âèäxn+1 = xn −Φ(xn + h) − Φ(xn − h)h.2 Φ(xn + h) − 2Φ(xn ) + Φ(xn − h)Êñòàòè, ýòîò ïîäõîä ýêâèâàëåíòåí çàìåíå êðèâîé íà èíòåðïîëÿöèîííóþ ïàðàáîëó, ïîñòðîåííóþ ïî òðåìòî÷êàì xn − h, xn , xn + h ñ ïîñëåäóþùèì íàõîæäåíèåì ìèíèìóìà ýòîé ïàðàáîëû (òî÷êè xn+1 ).51Çàìå÷àíèå. Óìåñòíî ñðàâíèòü ìåòîäû ïîèñêà ìèíèìóìà è ìåòîäû ïîèñêà êîðíÿ óðàâíåíèÿ. Òàê ìåòîä çîëîòîãî ñå÷åíèÿ ïîäîáåí äèõîòîìèè. È â òîì è äðóãîì íà ôóíêöèþ íàêëàäûâàþòñÿ ìèíèìàëüíûåîãðàíè÷åíèÿ.
Îíè ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòû è íàäåæíû, ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè â îáîèõ ìåòîäàõ ëèíåéíûé. Ìåòîäïàðàáîë â ýòîì ñìûñëå ïîäîáåí ìåòîäó Íüþòîíà. Îò ôóíêöèè òðåáóåòñÿ áîëüøå, ñõîäèìîñòü áûñòðåå. Ïîèñêìèíèìóìà ïî ìåòîäó ïàðàáîë ñîîòâåòñòâóåò ïîèñêó êîðíÿ ïî ìåòîäó ñåêóùèõ.5.2 Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ2Ïóñòü Φ : M → R ; M ⊂ RN è ïóñòü Φ ∈ CM.
 òî÷êàõ ìèíèìóìà∂Φ∂xi= 0 , i = 1 , . . . , N , êàê, âïðî÷åì, è âòî÷êàõ ìàêñèìóìà, à òàêæå â ñåäëîâûõ òî÷êàõ. Íî ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè íåâûðîæäåííîéòî÷êè ìèíèìóìà x∗N1 X ∂2ΦΦ(x) = Φ(x ) +∆xi ∆xj + . . .2 i,j=1 ∂x2i∗NP∂2Φ∆xi ∆xj∂x2iïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà (íàïîìíèì, ÷òî êâàäPðàòè÷íàÿ ôîðìà íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, åñëèaij zi zj ≥ γ||z||2 , γ > 0, ãäå z =âûäåëåíî òåì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìài,j=1(z1 , z2 . .
. , zN )T ).5.2.1 Êîîðäèíàòíûé ñïóñêÏðîöåäóðó êîîðäèíàòíîãî ñïóñêà ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ Φ(x.y). Ïóñòü (x0 , y 0 ) íåêîòîðàÿ òî÷êà. Çàôèêñèðóåì ïåðåìåííóþ y è íàéäåì ìèíèìóì ôóíêöèè Φ(x, y 0 ) êàêèì ëèáî èç óæå èçâåñòíûõ ñïîñîáîâ ïîèñêà ìèíèìóìà ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî (ñïóñê ïî ïåðâîé êîîðäèíàòå). Ïóñòü ýòîòìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå x1 . Çàôèêñèðîâàâ ýòî çíà÷åíèå íàéäåì ìèíèìóì ôóíêöèè Φ(x1 , y) (ñïóñê ïîâòîðîé êîîðäèíàòå).
Ïóñòü îí íàõîäèòñÿ â òî÷êå y 1 . Òåïåðü íàéäåì ìèíèìóì ôóíêöèè Φ(x, y 1 ) (ñëåäóþùèéñïóñê ïî ïåðâîé êîîðäèíàòå) è ò.ä. Òàêîé ìåòîä ïîèñêà ìèíèìóìà íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûì ñïóñêîì. Âçàâèñèìîñòè îò ñâîéñòâ ôóíêöèè è ïîëîæåíèÿ íà÷àëüíîé òî÷êè ïðîöåññ ìîæåò ñîéòèñü ê ýêñòðåìàëüíîé òî÷êå èëè íåò. Îòìåòèì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè êîîðäèíàòíîãî ñïóñêà. Åñëè Φ äâàæäû íåïðåðûâíîNP∂2Φ∆xi ∆xjäèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè M , ñîäåðæàùåé òî÷êó ìèíèìóìà x∗ è êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà∂x2∗i,j=1iïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè x ìåòîä êîîðäèíàòíîãî ñïóñêà ñõîäèòñÿ ê óêàçàííîìó ìèíèìóìó.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü Φxx ≥ a , Φyy ≥ b , |Φxy | ≤ c,ãäå a, b, c > 0 è ab > c2 â îáëàñòè M (ýòî îçíà÷àåò â ÷àñòíîñòè, ÷òî ìàòðèöà âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êà A = (x0 , y 0 ) ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå ñïóñêà ïî ïåðåìåííîéy , ò.å. Φy (A) = 0 . Ïóñòü |Φx (A)| = ζ1 .  òî÷êå B = (x1 , y 0 ) îáðàùàåòñÿ â íóëü Φx , à ìîäóëü Φy ðàâåííåêîòîðîìó ÷èñëó η . Òàêèì îáðàçîìζ1 = |Φx (A) − Φx (B)| = |Φxx (ξ)|ρ(A, B) ≥ aρ(A, B) ,η = |Φy (A) − Φy (B)| = |Φxy (ξ 0 )|ρ(A, B) ≤ cρ(A, B) ,îòêóäà52cζ1 ≥ aη .(1) òî÷êå C = (x1 , y 1 ) : Φy = 0, è Φx = ζ2 , ïðè ýòîìζ2 = |Φx (C) − Φx (B)| = |Φxy (τ )|ρ(C, B) ≤ cρ(C, B) ,η = |Φy (C) − Φy (B)| = |Φyy (τ 0 )|ρ(C, B) ≥ bρ(C, B) ,è, ñëåäîâàòåëüíî,cη ≥ bζ2 .Èç (1) è (2) çàêëþ÷àåì, ÷òî ζ2 ≤ qζ1 , ãäå 0 ≤ q ≤c2ab(2)< 1.
Òàêèì îáðàçîì, ñ êàæäûì öèêëîì Φxóìåíüøàåòñÿ êàê ìèíèìóì â q ðàç. Àíàëîãè÷íî óáûâàåò è ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî ïåðåìåííîé y . Òàêèìîáðàçîì êîîðäèíàòíûé ñïóñê äåéñòâèòåëüíî ñõîäèòñÿ ê òî÷êå ìèíèìóìà.5.2.2 Íàèñêîðåéøèé ñïóñêÑïóñê ìîæíî îñóùåñòâëÿòü íå òîëüêî âäîëü êîîðäèíàòíûõ îñåé, à âîîáùå âäîëü ëþáîãî íàïðàâëåíèÿ. Ïóñòüa ïðîèçâîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð, çàäàþùèé íàïðàâëåíèå. Ôóíêöèÿ ϕ0 (t) = Φ(r0 + at) åñòü ôóíêöèÿîäíîé ïåðåìåííîé, åå ìèíèìóì ÿâëÿåòñÿ ìèíèìóìîì ôóíêöèè Φ(r) íà ïðÿìîé r0 + at . Åñëè âûáðàòüa = a0 = −gradΦ|r0 , òî a áóäåò ÿâëÿòüñÿ íàïðàâëåíèåì íàèáîëüøåãî óáûâàíèÿ ôóíêöèè Φ â òî÷êå r0 .Îñóùåñòâèì ñïóñê âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ (òî åñòü íàéäåì ìèíèìóì ôóíêöèè ϕ(t) ).
Ïóñòü îí íàõîäèòñÿâ òî÷êå r1 . Òåïåðü â ýòîé òî÷êå âûáåðåì íîâîå íàïðàâëåíèå a1 = −gradΦ|r1 è îñóùåñòâèì ñïóñê âäîëüíåãî, è ò.ä. Çàìåòèì, êñòàòè, ÷òî âåêòîðû a0 è a1 îðòîãîíàëüíû. Îïèñàííûé ìåòîä ñïóñêà íàçûâàåòñÿíàèñêîðåéøèì.Õîòÿ ïðè íàèñêîðåéøåì ñïóñêå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò âäîëü íàïðàâëåíèÿ íàèáîëüøåãî óáûâàíèÿ ôóíêöèè â òåêóùåé òî÷êå rk , îäíàêî ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè îñòàåòñÿ òàêèì æå, êàê è ïðè ïîêîîðäèíàòíîì ñïóñêå(ïðè ýòîì ïðèõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå rn çàíîâî ñ÷èòàòü ãðàäèåíò). Äåëî çäåñü â òîì, ÷òî ïðè ñäâèãå îòòî÷êè rn íàïðàâëåíèå íàèáûñòðåéøåãî óáûâàíèÿ ôóíêöèè Φ èçìåíÿåòñÿ.
Îáû÷íî ñïóñê ïðîèçâîäÿò íåòî÷íî äî ìèíèìóìà, à íåñêîëüêî ìåíüøå. Òî åñòü, åñëè ϕn (t) = Φ(rn + an t), à ìèíèìóì ôóíêöèè ϕn (t)äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå tn , òî ñïóñê îñóùåñòâëÿåòñÿ äî òî÷êè αtn , ãäå α < 1 .  "èäåàëå"ìîæíî ñïóñêàòüñÿíà áåñêîíå÷íî ìàëóþ âåëè÷èíó è çàíîâî êîððåêòèðîâàòü íàïðàâëåíèå. Ïðè ýòîì êðèâàÿ ñïóñêà r(t) áóäåòóäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþdr(t)= −gradΦ(r(t)) .dtÎäíàêî èíòåãðèðîâàíèå òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòäåëüíóþíåïðîñòóþ çàäà÷ó.5.2.3 Ìåòîä ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé îêðåñòíîñòè òî÷êè ìèíèìóìà ôóíêöèÿ Φ(r) âåäåò ñåáÿ îáû÷íî êàê êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ.
Áóäåìñ÷èòàòü äëÿ íà÷àëà, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ â òî÷íîñòè êâàäðàòè÷íîé, ò.å.53Φ(r) = hr, Ari + hr, bi + c .Çäåñü b ∈ RN (Cn ), c ∈ R, A ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Ïîñêîëüêó A ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåíà, òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìàhx, yiA = hx, Ayióäîâëåòâîðÿåò âñåì ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ââåäåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ {ei }Ni=1 â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ñ íîðìîé h·, ·iA .
Áóäåì íàçûâàòü íàïðàâëåíèÿ, çàäàâàåìûå èì, ñîïðÿæåííûìè. ÅñëèNPr0 íåêîòîðàÿ òî÷êà, òî ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà r ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå r = r0 + αi ei . Òîãäà1XXX® ®Φ(r) = r0 +αi ei , Ar0 +αi Aei + r0 +α i ei , b + c == Φ(r0 ) +NX£ 2¤αi + 2αi hei , r0 i + αi hei , bi .i=1 ýòîé ñóììå îòñóòñòâóþò ïåðåêðåñòíûå ÷ëåíû, òàêèì îáðàçîì, ñïóñê âäîëü ëþáîãî íàïðàâëåíèÿ ei ìèíèìèçèðóåò ëèøü ñâîé ÷ëåí ñóììû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îñóùåñòâèâ ñïóñê ïî êàæäîìó èç ñîïðÿæåííûõíàïðàâëåíèé ëèøü îäèí ðàç, ìû â òî÷íîñòè äîñòèãàåì ìèíèìóìà.  ñàìîé æå òî÷êå ìèíèìóìà∂Φ= 2αi + 2hei , Ar0 + b/2i = 0 , i = 1, 2, .
. . N ,∂αiîòêóäà αi = −hei , Ar0 + b2 i.Ïîñòðîåíèå áàçèñà ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé è ñïóñê ïî íèìÏóñòü r1 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà è e1 ïðîèçâîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ r = r1 + αe1 èíàéäåì âäîëü ýòîé ïðÿìîé ìèíèìóì ôóíêöèè ϕ(α) = Φ(r1 + αe1 ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óêàçàííûé ìèíèìóìäîñòèãàåòñÿ êàê ðàç â òî÷êå r1 , òî åñòü 0 = α1 = −he1 , Ar1 + b/2i. Àíàëîãè÷íî, ïóñòü íà ïðÿìîé r2 + αe1ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå r2 (0 = α2 = −he1 , Ar2 + b/2i). Òàêèì îáðàçîì,α2 − α1 = he1 , A(r2 − r1 )i = he1 , (r2 − r1 )iA = 0 ,è åäèíè÷íûé âåêòîð e2 =r2 −r1kr2 −r1 kAîêàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê e1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
