Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495)
Текст из файла
ÑÀÍÊÒÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÊÀÔÅÄÐÀ ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÎÉ ÔÈÇÈÊÈÂ.À.ÁÓÑËΠ,Ñ.Ë.ßÊÎÂËÅÂ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ I.ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉÑÀÍÊÒÏÅÒÅÐÁÓÐÃ2001Óòâåðæäåíî íà çàñåäàíèè êàôåäðûâû÷èñëèòåëüíîé ôèçèêèïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèèôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓÀ Â Ò Î Ð Û : Â.À.ÁÓÑËÎÂ, Ñ.Ë.ßÊÎÂËÅÂÐ Å Ö Å Í Ç Å Í Ò : äîêò. ôèç.-ìàò. íàóê Ñ.Þ.ÑËÀÂßÍÎÂÊóðñ ëåêöèé ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé.
Íàñòîÿùàÿ ïåðâàÿ ÷àñòü ïîñâÿùåíà ÷èñëåííûì àïïðîêñèìàöèÿì ôóíêöèé è, ñâÿçàííûì ñ ýòèì âîïðîñàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ, âòîðàÿ ðåøåíèþóðàâíåíèé, â òîì ÷èñëå è äèôôåðåíöèàëüíûì. Èçäàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçëîæåíèå ââîäíûõ ëåêöèé ïî÷èñëåííûì ìåòîäàì, ÷èòàâøèõñÿ íà ïðîòÿæåíèè ðÿäà ëåò àâòîðàìè â ïåðâîì ñåìåñòðå II êóðñà ôèçè÷åñêîãîôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ. Ñ ýòèì ñâÿçàíî îãðàíè÷åíèå ìàòåðèàëà âîøåäøåãî â ó÷åáíèê, ïîñêîëüêó êî âòîðîìóêóðñó ñòóäåíòû åùå íå îáëàäàþò äîñòàòî÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêîé, íåîáõîäèìîé äëÿ ðåàëèçàöèèìíîãèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.  ÷àñòíîñòè, íå îñâåùåíû âîïðîñû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, íåêîððåêòíûõ çàäà÷ è ðÿäà äðóãèõ, îòíîñÿùèõñÿ ê ÷èñëåííûì ìåòîäàì, ïðåïîäàâàåìûì íà IV êóðñå ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà.
Òåì íå ìåíåå íåêîòîðûå âîïðîñû ââîäíîãî êóðñà÷èñëåííûõ ìåòîäîâ òðåáóþò ïðåäâàðèòåëüíûõ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè îá'åìà ìàòåìàòè÷åñêèõ ñâåäåíèé, ïîëó÷àåìûõ ñòóäåíòàìè íà I-ì è äàæå II-ì êóðñå, ïîýòîìó àâòîðû ñî÷ëè êàê íåîáõîäèìûì, òàê èâîçìîæíûì, âêëþ÷èòü â ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ áàçîâûå ñâåäåíèÿ èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ÷òîáû ñäåëàòü èçëîæåíèå ìàòåðèàëà â ðàçóìíûõ ïðåäåëàõ íåçàâèñèìûì îò àïðèîðíûõçíàíèé ÷èòàòåëÿ. ïîñîáèè ïðèíÿòà íóìåðàöèÿ ôîðìóë ïî ãëàâàì.
Ïðèâåäåííàÿ áèáëèîãðàôèÿ ÷àñòè÷íî ïðåäñòàâëÿåòñîáîé èñòî÷íèê ñïðàâî÷íîãî ìàòåðèàëà, íî, â îñíîâíîì, ðàññ÷èòàíà íà äàëüíåéøåå èçó÷åíèå ÷èñëåííûõìåòîäîâ.Àâòîðû ðàäû âîçìîæíîñòè âûðàçèòü ñâîþ áëàãîäàðíîñòü íàøåìó êîëëåãå Ñ.Þ.Ñëàâÿíîâó, ïðî÷èòàâøåìó ðóêîïèñü è ñäåëàâøåìó ðÿä öåííûõ çàìå÷àíèé, è ïðèçíàòåëüíû Ò.Â.Ôðîëîâîé çà ïîìîùü â íàáîðåòåêñòà.2Ãëàâà 1Ââåäåíèå.
Ïðîñòðàíñòâà ñ ìåòðèêîé ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ êàê ïðàâèëî ïðèáëèæåííî. Ïîëó÷àåìîå ïðèáëèæåíèå â òîì èëè èíîì ñìûñëå äîëæíî áûòü "áëèçêî ðàñïîëîæåííûì"ê èñòèííîìó ðåøåíèþ, ïîýòîìó ïîíÿòèþáëèçîñòè íåîáõîäèìî ïðèäàòü ÷åòêèé ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë, ÷òîáû èìåòü êðèòåðèé ñðàâíåíèÿ è âîçìîæíîñòü óòâåðæäàòü, ÷òî òàêîå-òî ïðèáëèæåíèå åñòü "õîðîøåå"ïðèáëèæåíèå, à òàêîå-òî íåò. Âñå îá'åêòû,êîòîðûå èçó÷àþòñÿ â ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ, ïðèíàäëåæàò íåêîòîðûì ïðîñòðàíñòâàì (ïðîñòðàíñòâàì ôóíêöèé, âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâàì) ñ ðàçëè÷íûìè ñâîéñòâàìè.
Îáùèì äëÿ âñåõ ýòèõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ ìåðîé áëèçîñòè ýëåìåíòîâ. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî íà÷àòü èçó÷åíèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ñ íàèáîëåå îáùåãî ïðîñòðàíñòâà, äëÿ ëþáîé ïàðû ýëåìåíòîâ êîòîðîãî îïðåäåëåíîðàññòîÿíèå. Òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü M íåêîòîðîå ìíîæåñòâî è ρ áèíàðíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåìàÿ ìåòðèêîé, ρ :M × M → R+ = [0, ∞), òàêàÿ ÷òî äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M âûïîëíåíî1)ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y ;2)ρ(x, y) = ρ(y, x);3)ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà,òîãäà ïàðà (M, ρ) íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.Çàìåòèì, ÷òî åñëè íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå M îïðåäåëèòü äðóãóþ áèíàðíóþ ôóíêöèþ ñ óêàçàííûìèñâîéñòâàìè, òî ìû áóäåì èìåòü, ñîîòâåòñòâåííî, è äðóãîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.Ñòðóêòóðà ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâäàííîãî ïðîñòðàíñòâà.
Èìåííî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xi íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ (ïî ìåòðèêå) ê ýëåìåíòó xåñëèlim ρ(xi , x) = 0 .i→∞Íà ïðàêòèêå æå, èìåÿ äåëî ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè ïðèáëèæåíèé xi ê òî÷íîìó ðåøåíèþ x ïîñòàâëåííîéçàäà÷è, ïðîâåðÿòü âûïîëíåíèå ýòîãî óñëîâèÿ çà÷àñòóþ íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì, ïîñêîëüêó ñàìî ýòîðåøåíèå, êàê ïðàâèëî, íåèçâåñòíî, è åñòü ëèøü âîçìîæíîñòü ñðàâíèâàòü ïðèáëèæåíèÿ xi ìåæäó ñîáîé, òîåñòü âûÿñíÿòü ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíîé (ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè). Íàïîìíèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xi íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè ∀ ² > 0 ∃N ∀i, k > N ρ(xi , xk ) < ².Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë, ïðèíàäëåæàùèé ýòîìó æå ïðîñòðàíñòâó, íàçûâàåòñÿ ïîëíûì. Êàê èçâåñòíî, ëþáîå íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðî-3ñòðàíñòâî (M, ρ) ìîæíî ïîïîëíèòü [15] åäèíñòâåííûì îáðàçîì ñ ñîõðàíåíèåì ðàññòîÿíèÿ, åñëè ïîíèìàòüïîä ýëåìåíòàìè ïîïîëíåíèÿ (M ∗ , ρ∗ ) êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ äðóã äðóãó ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } è {yn } íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ρ(xn , yn ) → 0 ïðè n → ∞), à âêà÷åñòâå íîâîé ìåòðèêè ρ∗ ïðèíÿòü ñëåäóþùóþ: ρ∗ (x∗ , y ∗ ) = lim ρ(xk , yk ), ãäå ýëåìåíòû xk , yk ÿâëÿþòñÿ k k→∞ìè ýëåìåíòàìè èç ïðîèçâîëüíûõ ïðåäñòàâèòåëåé {xn } è {yn } êëàññîâ ýêâèâàëåíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé,îòâå÷àþùèõ ýëåìåíòàì x∗ è y ∗ ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðè ýòîì ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà (M, ρ) âñþäó ïëîòíû â(M ∗ , ρ∗ ).Ïðîñòûì ïðèìåðîì íåïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñëóæèò, íàïðèìåð, îòðåçîê (0, 1] c ìåòðèêîéρ(x, y) = |x−y|. Ýòî ïðîñòðàíñòâî íåïîëíîå, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1/n, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, íî åå ïðåäåëîì ÿâëÿåòñÿ 0, è îí íå ïðèíàäëåæèò îòðåçêó (0,1]. Ïîïîëíåíèåì ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûéîòðåçîê [0,1]. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà, ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì îáñòîÿòåëüñòâîì äëÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîìó êëàññó îáúåêòîâ, ìîæåòèìåòü ïðåäåë ýòîìó êëàññó íå ïðèíàäëåæàùèé è, ñëåäîâàòåëüíî, íå îáëàäàòü òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè.Êàê ïðàâèëî, â ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ çàäà÷à ïîèñêà ðåøåíèÿ x ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèéìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà â âèäå çàäà÷è î íàõîæäåíèè íåïîäâèæíîé òî÷êè íåêîòîðîãî ñæèìàþùåãîîòîáðàæåíèÿ A :Ax = x .(1)Íàïîìíèì, ÷òî òî÷êà x íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ A çàäàííîãî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, åñëè âûïîëíåíî (1).
Ñàìî æå îòîáðàæåíèå A íàçûâàåòñÿ ñæèìàþùèì èëè ñæàòèåì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî 0 < α < 1 , ÷òî äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâàρ(Ax, Ay) ≤ αρ(x, y) .(2)Çàìåòèì, ÷òî âñÿêîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå íåïðåðûâíî, ïîñêîëüêó åñëè xn → x, òî èç (2) ñëåäóåò, ÷òîAxn → Ax. Âàæíûì ñâîéñòâîì ñæèìàþùåãî îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå íåïîäâèæíîé òî÷êè.Èìåííî, ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà (ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé).
Âñÿêîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå â ïîë-íîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå èìååò îäíó è òîëüêî îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = Axn−1 . Ïîêàæåì, ÷òî îíà ôóíäàìåíòàëüíàÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî m ≥ n,òîãäàρ(xn , xm ) = ρ(An x0 , Am x0 ) ≤ αn ρ(x0 , xm−n ) ≤≤ αn {ρ(x0 , x1 ) + ρ(x1 , x2 ) + . . . + ρ(xm−n−1 , xm−n )} ≤= αn ρ(x0 , x1 ){1 + α + α2 + . . . + αm−n−1 } = αn ρ(x0 , x1 )≤ αn ρ(x0 , x1 )1 − αm−n≤1−α1−→ 0 .1 − α n→∞Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ôóíäàìåíòàëüíàÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâàèìååò ïðåäåë.
Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç x. Óáåäèìñÿ, ÷òî x ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Äåéñòâèòåëüíî, èçíåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ AAx = A lim xn = lim Axn = lim xn+1 = x .n→∞n→∞4n→∞Îñòàëîñü óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé. ÏóñòüAx = x ,Ay = y ,òîãäà èç (2)ρ(x, y) = ρ(Ax, Ay) ≤ αρ(x, y) ,îòêóäà ρ(x, y) = 0, ÷òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà îçíà÷àåò, ÷òî x = y .  äàëüíåéøåììû áóäåì íåîäíîêðàòíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé.Îïðåäåëèì òàêæå ïîíÿòèå ïîðÿäêà ñõîäèìîñòè.
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ: lim xn = x èn→∞d = limn→∞ln ρ(xn+1 , x).ln ρ(xn , x)(3)Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë (3), òî îí è íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ñõîäèìîñòè. Âûðàæåíèå (3) ìîæíîçàïèñàòü è â äðóãîé ôîðìå. Èìåííî:limn→∞ρ(xn+1 , x)=C ,ρd (xn , x)(4)ãäå C íåêîòîðàÿ îòëè÷íàÿ îò 0 è íå ðàâíàÿ áåñêîíå÷íîñòè êîíñòàíòà. Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî ÷åìâûøå ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè d, òåì áûñòðåå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó.Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì îáùèì ïîíÿòèåì. Êàê ïðàâèëî, îá'åêòû, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî, îáëàäàþò ñâîéñòâàìè íå òîëüêî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, íî è ðÿäîì äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ.
Íàïîìíèì ïðåäâàðèòåëüíî íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ èç àáñòðàêòíîé àëãåáðû [20].Îïðåäåëåíèå. Êëàññ G îá'åêòîâ (ýëåìåíòîâ) a, b, c, . . . íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè îïðåäåëåíà áèíàðíàÿîïåðàöèÿ, êîòîðàÿ êàæäîé ïàðå ýëåìåíòîâ a, b ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îá'åêò (ðåçóëüòàò îïåðàöèè)a · b òàê, ÷òî:1) a · b ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì êëàññà (çàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ·);2) a · (b · c) = (a · b) · c (àññîöèàòèâíîñòü);3) G ñîäåðæèò (ëåâóþ) åäèíèöó e òàêóþ, ÷òî äëÿ ëþáîãî a èç G, e · a = a;4) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ G â G ñóùåñòâóåò (ëåâûé) îáðàòíûé ýëåìåíò a−1 òàêîé, ÷òî a−1 · a = e.Îïåðàöèþ ·, îïðåäåëÿþùóþ ãðóïïó, íàçûâàþò (àáñòðàêòíûì) óìíîæåíèåì è ÷àñòî îïóñêàþò ïðè çàïèñè: ab = a · b. Ãðóïïà êîììóòàòèâíà èëè àáåëåâà, åñëè ëþáûå åå ýëåìåíòû ïåðåñòàíîâî÷íû.
Îïðåäåëÿþùóþîïåðàöèþ â êîììóòàòèâíîé ãðóïïå ÷àñòî íàçûâàþò (àáñòðàêòíûì) ñëîæåíèåì, îáîçíà÷àÿ åå +, à åäèíè÷íûé ýëåìåíò íàçûâàþò íóëü è îáîçíà÷àþò 0. Îáðàòíûé ýëåìåíò ê a çàïèñûâàþò êàê −a; ïðè ýòîì ïèøóòa + (−b) = a − b.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êàæäàÿ ãðóïïà èìååò åäèíñòâåííóþ ëåâóþ è ïðàâóþ åäèíèöû, è ýòè åäèíèöûðàâíû, ðàâíî êàê êàæäûé ýëåìåíò èìååò åäèíñòâåííûé ëåâûé è ïðàâûé îáðàòíûå, è ýòè ýëåìåíòû ðàâíû.Îòñþäà ñëåäóþò çàêîíû ñîêðàùåíèÿ (ab = ac ⇒ b = c; ca = cb ⇒ b = c) è ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãîðåøåíèÿ x óðàâíåíèÿ ax = b (èëè xa = b), ò.å.
îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî "äåëåíèå".Îïðåäåëåíèå. Êëàññ R îá'åêòîâ (ýëåìåíòîâ) a, b, c, . . . íàçûâàåòñÿ êîëüöîì, åñëè îïðåäåëåíû óæå äâåáèíàðíûå îïåðàöèè, îáû÷íî íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì, òàêèå, ÷òî:1) R åñòü àáåëåâà ãðóïïà ïî ñëîæåíèþ;2) ab ∈ R (çàìêíóòîñòü ïî îòíîøåíèþ ê óìíîæåíèþ);3) a(bc) = (ab)c (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ);54) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc (äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû).Çàìåòèì, ÷òî a·0 = 0·a = 0. Äâà ýëåìåíòà a 6= 0 è b 6= 0, äëÿ êîòîðûõ ab = 0, íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî,ëåâûì è ïðàâûì äåëèòåëÿìè íóëÿ. Íàïðèìåð, íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå îáðàçóþòêîììóòàòèâíîå êîëüöî, ñîäåðæàùåå äåëèòåëè íóëÿ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
