Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 2
Текст из файла (страница 2)
 êîëüöå áåç äåëèòåëåé íóëÿ èç ab = 0 ñëåäóåò, ÷òîëèáî a = 0, ëèáî b = 0, è äåéñòâóþò çàêîíû ñîêðàùåíèÿ. Åñëè êîëüöî R ñîäåðæèò è ëåâóþ è ïðàâóþåäèíèöû, òî îíè åäèíñòâåííû è ñîâïàäàþò, a R íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ñ åäèíèöåé. Àíàëîãè÷íî, åñëè ýëåìåíòîáëàäàåò è ëåâûì è ïðàâûì îáðàòíûì, òî îíè òàêæå åäèíñòâåííû è ñîâïàäàþò.Îïðåäåëåíèå.
Òåëî B êîëüöî ñ åäèíèöåé, â êîòîðîì äëÿ êàæäîãî íåíóëåâîãî ýëåìåíòà ñóùåñòâóåòìóëüòèïëèêàòèâíûé îáðàòíûé (ò.å. B \ {0} ãðóïïà ïî óìíîæåíèþ).Êîììóòàòèâíîå òåëî íàçûâàåòñÿ ïîëåì.Îïðåäåëåíèå. Íåïóñòîå ìíîæåñòâî L íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì èëè âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåìF, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1. L êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà ïî (âåêòîðíîìó) ñëîæåíèþ;2. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà α ïîëÿ F è ëþáîãî x ∈ L îïðåäåëåí ýëåìåíò αx ∈ L (çàìêíóòîñòü ïî îòíîøåíèþê óìíîæåíèþ íà ýëåìåíò ïîëÿ (ñêàëÿð)), ïðè÷åìà) α(βx) = (αβ)x (àññîöèàòèâíûé çàêîí äëÿ óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð);á) 1 · x = x;â) (α + β)x = αx + βx, α(x + y) = αx + αy (äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû).Åñëè â êà÷åñòâå ïîëÿ F âûñòóïàåò ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R èëè ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë C, òîðàçëè÷àþò, ñîîòâåòñòâåííî, äåéñòâèòåëüíûå (âåùåñòâåííûå) è êîìïëåêñíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà.Âñÿêóþ ôóíêöèþ f , çàäàííóþ íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L ñî çíà÷åíèÿìè â ïîëå F (f : L → F), ìûáóäåì íàçûâàòü ôóíêöèîíàëîì.
Ôóíêöèîíàë f íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ L è α, ∈ Fâûïîëíåíî:1) f (x + y) = f (x) + f (y) (àääèòèâíîñòü);2) f (αx) = αf (x) (îäíîðîäíîñòü).Ôóíêöèîíàë f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì â òî÷êå x, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn èç xn → xñëåäóåò, ÷òî f (xn ) → f (x). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî åñëè ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí â îäíîé òî÷êåx, òî îí íåïðåðûâåí è âî âñåì L. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü yn → y , òîãäà x + yn − y → x, è èç íåïðåðûâíîñòèôóíêöèîíàëà â òî÷êå x ñëåäóåò, ÷òî f (x + yn − y) → f (x), îòêóäà ïî ëèíåéíîñòè ôóíêöèîíàëà çàêëþ÷àåì,÷òî f (yn ) → f (y).
Îáû÷íî íåïðåðûâíîñòü ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà ïðîâåðÿþò â íóëå ( òî åñòü, åñëè äëÿëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn → 0⇒ f (xn ) → 0, òî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí).Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèîíàë f , çàäàííûé íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L ñî çíà÷åíèÿìè â R+ = [0, ∞),íàçûâàåòñÿ íîðìîé, åñëè1) f (x) = 0 ⇔ x = 0;2) f (αx) = |α|f (x);3) f (x + y) ≤ f (x) + f (y).Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîì çàäàíà íåêîòîðàÿ íîðìà, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàí-ñòâîì. Íîðìó ýëåìåíòà x ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü kxk.
Âñÿêàÿ íîðìà ïîðîæäàåò â L è ìåòðèêóρ(x, y) = ||x − y|| ,6òî åñòü ïðåâðàùàåò íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî â ìåòðè÷åñêîå. Îáðàòíîå íåâåðíî. Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, ïîëíîå ïî ìåòðèêå ïîðîæäåííîé íîðìîé, íàçûâàåòñÿ Áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì.Ïðèìåðû íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ1. Ïðèìåðîì íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæåò ñëóæèòü ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé Lp[a,b] , 1 ≤ p < ∞:deff ∈ Lp[a,b] ⇔ ||f ||p =³ Zb|f (t)|p dt´ p1<∞.(5)a2.
Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C[a,b] ñ íîðìîé||f || = max |f (t)| .a≤t≤b(6)Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïîëíî ïî ìåòðèêå, ïîðîæäåííîé ýòîé íîðìîé.Åùå áîëåå ñîäåðæàòåëüíûì îá'åêòîì ÿâëÿþòñÿ åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà ïðîñòðàíñòâà ñî ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì.  äåéñòâèòåëüíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê áèíàðíàÿ ôóíêöèÿ íà L (â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àåìàÿ h·, ·i) ñî çíà÷åíèÿìè â R, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèìóñëîâèÿì:1) hx, yi = hy, xi;2) hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi;3) hx, xi ≥ 0, ïðè÷åì hx, xi = 0 ⇔ x = 0.Äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ôèêñèðîâàííûì â íåì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿäåéñòâèòåëüíûì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâîì.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â êîìïëåêñíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L ýòî áèíàðíàÿ ôóíêöèÿ h·, ·i, îïðåäåëåííàÿ äëÿ ëþáîé ïàðû ýëåìåíòîâ x, y ∈ L, ñî çíà÷åíèÿìè â C, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1) hx, yi = hy, xi;2) hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi;3) hx, xi ≥ 0, ïðè÷åì hx, xi = 0 ⇔ x = 0.Óñëîâèÿ 2) è 3) ñîâïàäàþò äëÿ êîìïëåêñíûõ è äåéñòâèòåëüíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñîâïàäàþò, ðàçëè÷èå ëèøü â óñëîâèè 1).Íàêîíåö, åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì, åñëè îíî ñåïàðàáåëüíî (ò.å.
â íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíûé áàçèñ (íàïîìíèì, ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè ìåæäó íèì è ìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ÷èñåë ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå)) è ïîëíî ïî ìåòðèêå, ïîðîæäåííîé ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì. Ïðîñòðàíñòâî L2 ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì [15].7Ãëàâà 2Àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèéÒåðìèí àïïðîêñèìàöèÿ îçíà÷àåò ïðèáëèæåíèå. Ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèåé ôóíêöèè g , åñëè îíàâ òîì èëè èíîì ñìûñëå áëèçêà ê g (ñêàæåì, ïî òîé èëè èíîé íîðìå).  ñèòóàöèè, êîãäà ôóíêöèÿ f èùåòñÿòàê, ÷òîáû îíà ñîâïàäàëà g â êîíå÷íîì íàáîðå òî÷åê, òî åå, ðàâíî êàê è ñàì ïðîöåññ ïîèñêà, íàçûâàþòèíòåðïîëÿöèåé. Ïðè ýòîì, åñëè èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè g (ò.å. çíà÷åíèÿôóíêöèè f ), íàõîäÿùèåñÿ âíå îòðåçêà ñ çàäàííûì íàáîðîì òî÷åê (ýòî êàñàåòñÿ ëèøü âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé, ðàçóìååòñÿ), òî íàðÿäó ñ òåðìèíîì èíòåðïîëÿöèÿ óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæå òåðìèí ýêñòðàïîëÿöèÿ.2.1 Èíòåðïîëÿöèÿ2.1.1 Çàäà÷à èíòåðïîëÿöèèÏóñòü çàäàíà òàáëèöà ÷èñåë {xi , fi }Ni=0 , i = 0 , 1 , ...
, N ; x0 < x1 < ... < xN .Îïðåäåëåíèå. Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f (x) òàêàÿ, ÷òî f (xi ) = fi , i = 0 , 1 , ... , N , íàçûâàåòñÿ èíòåðïîëèðó-þùåé (èíòåðïîëÿöèåé) äëÿ òàáëèöû {xi , fi }Ni=0 .Çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè ñîñòîèò â îòûñêàíèè (ïîñòðîåíèè) èíòåðïîëèðóþùåé ôóíêöèè (ò.å. ïðèíèìàþùåéâ çàäàííûõ óçëàõ èíòåðïîëÿöèè xi çàäàííûå çíà÷åíèÿ fi ), ïðèíàäëåæàùåé çàäàííîìó êëàññó ôóíêöèé.Ðàçóìååòñÿ çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè ìîæåò èìåòü èëè íå èìåòü ðåøåíèå (è ïðè òîì íå åäèíñòâåííîå), âñå çàâèñèò îò "çàäàííîãî êëàññà ôóíêöèé".
Íåîáõîäèìî âûÿñíèòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ çàäà÷à èíòåðïîëÿöèèáûëà áû êîppåêòíî ïîñòàâëåíà. Îäèí èç ñïîñîáîâ èíòåðïîëÿöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî èíòåðïîëèðóþùàÿ ôóíêöèÿ èùåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íåêîòîðûõ êîíêðåòíûõ ôóíêöèé. Òàêàÿ èíòåðïîëÿöèÿ íàçûâàåòñÿëèíåéíîé. Òîëüêî ëèíåéíûå èíòåðïîëÿöèè ìû è áóäåì ðàññìàòðèâàòü â äàëüíåéøåì.2.1.2 ×åáûøåâñêèå ñèñòåìû ôóíêöèéÏóñòü {ϕi (x)}Ni=0 íåêîòîðûé íàáîð ôóíêöèé íà [a, b] , ñêàæåì ϕi (x) ∈ C[a,b] .
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþNNWPîáîëî÷êó H =ϕi (x), îíà ïî îïðåäåëåíèþ ñîñòîèò èç ôóíêöèé ïðåäñòàâèìûõ â âèäåai ϕi (x), ãäåi=0i=0ai íåêîòîðûå ÷èñëà. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è èíòåðïîëÿöèè â êëàññå ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõH. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ϕi (x) ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ôóíêöèè (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè ðàçðåøèìà, òî åå ðåøåíèå çàâåäîìî íå åäèíñòâåííî). Îäíàêî îäíîãî ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ äëÿ8îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè íåäîñòàòî÷íî.Ïðèìåðû. Ïóñòü çàäàíà òàáëèöàxi01fi01.1. Âîçüìåì â êà÷åñòâå H îáîëî÷êó ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé H =H ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå f (x) =NPk=0NWk=0sin(πkx). Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èçak sin πkx, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåå f (0) = 0 , f (1) = 0, ò.å.
îíà íåóäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó óñëîâèþ òàáëèöû: f (1) = 0 6= 1, òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèé íåò.NWxk è N ≥ 2 , ñêàæåì N = 2.2. Ïóñòü òåïåðü H ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñòåïåííûõ ôóíêöèé: H =k=0Òîãäàf (x) = a0 + a1 x + a2 x2 .Ïîñêîëüêó f (0) = 0 , òî a0 = 0. Äàëåå, f (1) = 1 è çíà÷èò a1 + a2 = 1, è ðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî, ëèøüáû âûïîëíÿëîñü ïîñëåäíåå óñëîâèå .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âî âòîðîì ïpèìåpå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå H ôóíêöèè âèäà a0 + ak xk . Òî åñòü äëÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è èíòåðïîëÿöèèåñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå: ÷èñëî óçëîâ äîëæíî ðàâíÿòüñÿ ðàçìåðíîñòè èíòåpïîëèpóþùåãî ïðîñòðàíñòâà.
Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåò ïåðâûé ïðèìåð, äëÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è èíòåðïîëÿöèèè ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ íåäîñòàòî÷íî.Âûÿñíèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè ðàçðåøèìà îäíîçíà÷íî. Çàäà÷à ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïóñòü f ∈ H , ãäå H ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà íåêîòîðûõ ôóíêöèéϕi (x), i = 0, 1, 2, · · · , N ; íåîáõîäèìî óäîâëåòâîðèòü ñèñòåìå ðàâåíñòâf (xi ) = fi =NXak ϕk (xi ) .(1)k=0Òî åñòü òðåáóåòñÿ íàéòè íàáîð ÷èñåë {ak }Nk=0 òàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ f (x) óäîâëåòâîðÿëà çàäàííîé òàáëèöå{xi , fi } . Ñëîâî "ëèíåéíàÿ"â ôîðìóëèðîâêå îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè ϕi âõîäÿò â (1) ëèíåéíûì îáðàçîì (èëè,÷òî òî æå ñàìîå, ôóíêöèÿ f ïðèíàäëåæèò ëèíåéíîé îáîëî÷êå ôóíêöèé ϕi ).
Îáîçíà÷èì ìàòðèöó {ϕk (xi )}÷åðåç Φ. Ïóñòü f âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè fi , è a = (a0 , a1 , . . . , aN )T , òîãäà ñèñòåìà (1) ýêâèâàëåíòíàçàäà÷åΦT a = f .Åñëè det Φ 6= 0 , òî ýòà ñèñòåìà ðàçðåøèìà åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé {ϕi }, äëÿ êîòîðîé det Φ 6= 0, íàçûâàåòñÿ ÷åáûøåâñêîé.Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ÷åáûøåâñêàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé àâòîìàòè÷åñêè ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Âàæíûì ïðèìåðîì ÷åáûøåâñêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû.2.1.3 Èíòåðïîëÿöèÿ ìíîãî÷ëåíàìèÎñîáîå ìåñòî ìíîãî÷ëåíîâÂûäåëåííîñòü ìíîãî÷ëåíîâ (ïîëèíîìîâ) îáóñëîâëåíà öåëûì ðÿäîì îáñòîÿòåëüñòâ.1) Ïîëèíîìû pn (x) ëåãêî âû÷èñëÿòü.2) Ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C[a,b] , â ñèëó òåîðåìû Âåéåðøòðàññà, ôîðìóëèðîâêó êîòîðîé ìû ïðèâåäåì.9Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ C[a,b] è äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå n èòàêîé ïîëèíîì pn (x) , deg pn (x) = n , ÷òî ||f − pn ||C[a,b] < ε.3) Ïîëèíîìû ÿâëÿþòñÿ ÷åáûøåâñêîé ñèñòåìîé äëÿ ëþáîé ñèñòåìû íåñîâïàäàþùèõ óçëîâ.2N ñàìîì äåëå, ïóñòü {ϕi (x)}Ni=0 = {1 , x , x , .
. . , x } , òîãäà det Φ ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëèòåëåì Âàíäåð-ìîíäà1x0x20...xN01∆(x0 , x1 , . . . , xN ) = ...x1...x21.........xN1...1xNx2N...xNNY=(xk − xm ) ,N ≥k≥m≥0êîòîðûé, î÷åâèäíî, íå ðàâåí íóëþ åñëè xk 6= xm ïðè k 6= m. Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ïðåäñòàâëåíèÿîïðåäåëèòåëÿ Âàíäåðìîíäà ïî èíäóêöèè [16]. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü äëÿ èíäåêñà ðàâíîãî N − 1 ïîñëåäíÿÿôîðìóëà âåðíà. Âû÷òåì â îïðåäåëèòåëå ∆(x0 , x1 , . . . , xN ) èç êàæäîãî ñòîëáöà ïðåäøåñòâóþùèé, óìíîæåííûé íà x0 , òîãäà100...01∆(x0 , .
. . , xN ) = ...x1 − x0...x21 − x1 x0.........N −1xNx01 − x1=...1xN − x0x2N − xN x0...N −1xNx0N − xN1x1x21...−1xN11= (x1 − x0 )(x2 − x0 ) . . . (xN − x0 ) ...x2...x22.........−1xN2...1xNx2N...= (x1 − x0 )(x2 − x0 ) . . . (xN − x0 )YN ≥k≥m≥1(xk − xm ) ==−1xNNY(xk − xm ).N ≥k≥m≥0Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè äëÿ òàáëèöû {xi , fi }Ni=0 ðàçðåøèìà åäèíñòâåííûì îáðàçîì â ëèíåéíîéNWkîáîëî÷êå ñòåïåííûõ ôóíêöèé H =x .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
