Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Íàéäÿ èõ è ïðèðàâíèâàÿ â (7) êîýôôèöèåíòû ïðè 1, z, z 2 , · · · , z L ,íàõîäèì è êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà P :p0 = c0 ,p1 = c1 + q1 c0 ,p2 = c2 + q1 c1 + q2 c0 ,− − − − − − − − − − −,min(L,M )pL = cL +Xqi cL−i .i=1Ïîñëåäíèå äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ïàäå.Çàìå÷àíèå 1. Åñëè óêàçàííàÿ ñèñòåìà ðàçðåøèìà, òî òåéëîðîâñêîå ðàçëîæåíèå f ñîâïàäàåò ñ [L/M ]f ñòî÷íîñòüþ äî O(z L+M +1 ).Çàìå÷àíèå 2. Êîýôôèöèåíòû ci ìîãóò áûòü òàêèìè, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä (4) âåçäå ðàñõîäèòñÿ (ðàäèóññõîäèìîñòè ðàâåí íóëþ) è ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíûì.
Îäíàêî ïðè ýòîì, ñêàæåì, äèàãîíàëüíûå (L = M ) àïïðîêñèìàöèè Ïàäå ìîãóò ñõîäèòñÿ ïðè M → ∞ ê íåêîòîðîé ôóíêöèè F . Íà ýòîì îñíîâûâàåòñÿ èäåÿ îòîì, ÷òî ìîæíî ñ ïîìîùüþ àïïðîêñèìàöèé Ïàäå ïîñòðîèòü àíàëîã àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ. Òî åñòü,ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü çàäàíà â íåêîòîðîé îáëàñòè, à åå àïïðîêñèìàöèè Ïàäå ïðè ýòîì ñõîäÿòñÿ â áîëååøèðîêîé îáëàñòè.Çàìå÷àíèå 3. Îòðåçîê ðÿäà Òåéëîðà õîðîøî àïïðîêñèìèðóåò ôóíêöèþ ëèøü â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàçëîæåíèÿ, òîãäà êàê àïïðîêñèìàöèÿ Ïàäå çà÷àñòóþ õîðîøî ïðèáëèæàåò ôóíêöèþ â çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîéîáëàñòè.23Ïðèìåð.
Ïóñòüs1 + 12 z.1 + 2zf (z) =Îòðåçîê ðÿäà Òåéëîðà ôóíêöèè f èç òðåõ ÷ëåíîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàáîëó è íà âåùåñòâåííîé îñè ïðèz = x → ∞ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òîãäà êàê ñàìà ôóíêöèÿ f (z) îñòàåòñÿ ïðè ýòîì îãðàíè÷åííîé. [1/1]-àïïðîêñèìàöèÿ Ïàäå èìååò ïîãðåøíîñòü íèãäå íå ïðåâûøàþùóþ 8 ïðîöåíòîâ (â òîì ÷èñëå è íàáåñêîíå÷íîñòè).2.2.2 Äåòåðìèíàíòíîå Ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ ÏàäåÇàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (8) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí qi ïîçâîëÿåò ïðåäúÿâèòü íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí¯¯¯¯cL· · · cL−M +2 cL−M +1 ¯¯ cL+1¯¯¯¯cL+1· · · cL−M +3 cL−M +2 ¯¯ cL+2¯¯¯¯..Q̃[M/L]f (z) = ¯ · · ·¯,.·········¯¯¯¯¯ cL+M cL+M −1 · · ·¯ccL+1L¯¯¯¯M −1M¯¯ 1z···zzêîýôôèöèåíòû êîòîðîãî ýòîé ñèñòåìå óäîâëåòâîðÿþò. Îïðåäåëèì òåïåðü ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãî÷ëåí P̃ [L/M ]èç ñîîòíîøåíèÿQ̃[L/M ]f (z)∞Xci z i − P̃ [L/M ]f (z) = O(z L+M +1 ) .(9)i=0Èìåå쯯¯ cL+1¯¯¯ cL+2¯∞X¯[L/M ]fiQ̃(z)ci z = ¯¯ · · ·¯i=0¯ cL+M¯∞¯ P¯ci z i¯i=0cL···cL−M +2cL−M +1cL+1···...cL−M +3cL−M +2·········cL+M −1∞Pci z i+1······i=0cL+1∞Pi=0cLci z M +i−1∞Pi=0ci z M +i¯¯¯¯¯¯¯¯¯ .¯¯¯¯¯¯¯Äîìíîæèì ïåðâóþ ñòðîêó íà z L+1 è âû÷òåì åå èç ïîñëåäíåé ñòðîêè.
Âòîðóþ ñòðîêó äîìíîæèì íà z L+2 èòàêæå âû÷òåì èç ïîñëåäíåé ñòðîêè è ò.ä. M -óþ ñòðîêó äîìíîæèì íà z L+M è âû÷òåì èç ïîñëåäíåé ñòðîêè. ðåçóëüòàòå â êàæäîé ñóììå â ïîñëåäíåé ñòðîêå áóäóò îòñóòñòâîâàòü ÷ëåíû ñî ñòåïåíÿìè z ðàâíûìè L + 1,L+2, · · ·, L+M . Åñëè òåïåðü âûäåëèòü èç ïîñëåäíåãî îïðåäåëèòåëÿ âñå ÷ëåíû äî ñòåïåíè z L âêëþ÷èòåëüíî,òî îí ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèä寯 c¯ L+1¯¯ c¯ L+2¯¯¯ ···¯¯¯ cL+M¯¯ PL¯ci z i¯i=0cL···cL−M +2cL−M +1cL+1···...cL−M +3cL−M +2·········cL+M −1L−1Pci z i+1i=0······cL+1L−MP+1i=0ci z M +i−1cLL−MPi=0ci z M +i+O(z M +L+1 ) = P̃ [L/M ]f (z) + O(z M +L+1 ) .24¯¯¯¯¯¯¯¯¯+¯¯¯¯¯¯¯Èòàê, äîêàçàíî ïðåäñòàâëåíèå (9). Èíà÷å ãîâîðÿ äîêàçàíà∞PÒåîðåìà.
Äëÿ ëþáîãî ðÿäàci z i ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëèíîìû P è Q ñòåïåíåé íå âûøå L è M , ñîîò-âåòñòâåííî, ÷òîi=0Q(z)∞Xci z i − P (z) = O(z L+M +1 ) .(10)i=0Çàìåòèì, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ (7) ìû íèãäå íå ïîëüçîâàëèñü òåì âûðîæäåíàèëè íå âûðîæäåíà ìàòðèöà ñîñòàâëåííàÿ èç êîýôôèöèåíòîâ ci .Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèòåëü¯¯cL¯¯¯¯ cL+1Q̃[L/M ] (0) = ¯¯¯···¯¯¯ cL+M −1cL−1···cL−M +2cLcL−M +3······...cL+M −2···cL+1···¯¯cL−M +1 ¯¯¯cL−M +2 ¯¯¯¯···¯¯¯cLíàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì Õàíêåëÿ.Îòìåòèì, ÷òî èç íàøèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåé òåîðåìû.Òåîðåìà.
Åñëè Q̃[L/M ] (0) 6= 0, òî ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ) ìíîãî÷ëå-íû P (z) è Q(z) ñòåïåíåé íå âûøå L è M ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå ÷òî∞Xci z i −i=0P (z)= O(z M +L+1 ) .Q(z)Ïðèìåð (íåäîñòàòêè íàèâíîãî ïîäõîäà). Ïîñòðîèì [1/1]-àïïðîêñèìàöèþ äëÿ f (z) = 1 + z 2 . Òðåáóåòñÿäîáèòüñÿ ðàâåíñòâàp0 + p1 z= 1 + z 2 + O(z 3 ) ,q0 + q1 zîòêóäàp0 + p1 z = q0 + q1 z + q0 z 2 + O(z 3 ) ,è q0 = p0 ,p1 = q1 , òî åñòü [1/1] = 1 è ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ðåøåíèé íå èìååò. Îáðàòèìñÿ òåïåðü êäåòåðìèíàíòíûì ôîðìóëàì.Q̃[1/1]P̃ [1/1]¯¯¯ c2= ¯¯¯ 1¯ ¯¯ ¯c1 ¯ ¯ 1¯=¯¯ ¯z ¯ ¯ 1¯¯¯c2= ¯¯¯ c0 + c1 z¯¯0 ¯¯=z ,¯z ¯¯ ¯¯ ¯c1 ¯ ¯ 1¯=¯¯ ¯c0 z ¯ ¯ 1¯¯0 ¯¯=z .¯z ¯Óáåäèìñÿ, ÷òî ðàâåíñòâî (7), òåì íå ìåíåå, èìååò ìåñòî:z(1 + z 2 ) − z = z 3 = O(z 3 ) .Äàäèì òåïåðü ñòðîãîå îïðåäåëåíèå àïïðîêñèìàöèé Ïàäå.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü P è Q ïîëèíîìû ñòåïåíåé íå âûøå L è M , ñîîòâåòñòâåííî, Q(0) 6= 0 èP− f (z) = O(z L+M +1 ) ,Qòîãäà îòíîøåíèå P/Q íàçûâàåòñÿ [L/M ]-àïïðîêñèìàöèåé Ïàäå.25Îòìåòèì íåêîòîðûå ëåãêî ïðîâåðÿåìûå ñâîéñòâà àïïðîêñèìàöèé Ïàäå.Òåîðåìà.
Ïóñòü g = f −1 è f (0) 6= 0, òîãäà [M/L]g = [L/M ]f , ïðè óñëîâèè, ÷òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõàïïðîêñèìàöèé ñóùåñòâóåò.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, ñêàæåì, ñóùåñòâóåò àïïðîêñèìàöèÿ [L/M ]f , òîãäà [L/M ]f (z) =PL (z)QM (z)è ïî óñëî-âèþ PL (0) 6= 0, ïîñêîëüêó [L/M ]f (0) = f (0) 6= 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,g(z) −QM (z)PL (z) − f (z)QM (z)== O(z L+M +1 ) ,PL (z)f (z)PL (z)÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Òåîðåìà (èíâàðèàíòíîñòü äèàãîíàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé ïðè äðîáíî-ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñîõðàíÿþùèõ íà÷àëî êîîðäèíàò). Ïóñòü w =az1+bz .Ïîëîæèì g(w) = f (z), òîãäà [M/M ]g (w) = [M/M ]f (z) ïðèóñëîâèè, ÷òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ àïïðîêñèìàöèé ñóùåñòâóåò.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò àïïðîêñèìàöèÿMP[M/M ]g (w) =MPak wk= g(w) + O(z 2M +1 ) .bk wkÂâåäåì ïîëèíîìû AM è BM ïî z ñòåïåíè íå âûøå M :A(z) = (1 + bz)MMXòîãäàµakaz1 + bz¶kB(z) = (1 + bz)M,MXµbkaz1 + bz¶k,AM (z)= f (z) + O(z 2M +1 ) ,BM (z)ïîñêîëüêó 0 ïåðåõîäèò â 0.Òåîðåìà(èíâàðèàíòíîñòü äèàãîíàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé îòíîñèòåëüíî äðîáíî-ëèíåéíûõ ôóíêöèé). Ïóñòüg(z) =a+bf (z)c+df (z)è c + df (0) 6= 0, òîãäà[M/M ]g (z) =a + b[M/M ]f,c + d[M/M ]fåñëè [M/M ]f ñóùåñòâóåò.Äîêàçàòåëüñòâî.a + b[M/M ]f (z)PM (z)=,c + d[M/M ]f (z)QM (z)ãäå PM è QM ïîëèíîìû ñòåïåíè íå âûøå M , ïðè÷åì QM (0) 6= 0.
Ñëåäîâàòåëüíî,PM (z)(bc − ad) {[M/M ]f (z) − f (z)}− g(z) == O(z 2M +1 ) .QM (z){c + d[M/M ]f (z)}(c + df (z))2.2.3 Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåÏóñòüf (z) =∞Xfkk+1zk=0 ôîðìàëüíûé ðÿä ïî îáðàòíûì ñòåïåíÿì z . Ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Ïóñòü N íàòóðàëüíîå. Òðåáóåòñÿ íàéòè ìíîãî÷ëåí QN 6= 0, degQN ≤ N , òàêîé ÷òîQN (z)f (z) − PN (z) =26c+ ... ,z N +1(11)ãäå PN (z) ïîëèíîìèàëüíàÿ ÷àñòü ðÿäà QN (z)f (z).Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò è degPN ≤ N .
Åñëè ïàðà (PN , QN ) íå åäèíñòâåííà (íå òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ), òî òåì íå ìåíåå îòíîøåíèå PN /QN îïðåäåëÿåò îäíó è òó æå ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþäëÿ ëþáîé ïàðû Ïàäå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòüQ0N (z)f (z) − PN0 (z) =c0z N +1Q00N (z)f (z) − PN00 (z) =+ ... ,c00z N +1+ ... ,òîãäà äîìíîæèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà Q00N (z), à âòîðîå íà Q0N (z) è âû÷òÿ âòîðîå èç ïåðâîãî, ïîëó÷èìQ0N (z)PN00 (z) − Q00N (z)PN0 (z) =c+ ... ,zè, ïîñêîëüêó, â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñòîèò ìíîãî÷ëåí, à â ïðàâîé ðàçëîæåíèå èäåò ëèøü ïî îòðèöàòåëüíûìñòåïåíÿì z , ïîëó÷àåì, ÷òî Q0N (z)PN00 (z) − Q00N (z)PN0 (z) = 0.Îòíîøåíèå πN (z) = QN /PN íàçûâàåòñÿ N -îé äèàãîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèåé Ïàäå ðÿäà f .
ßñíî, ÷òîπN (f (1/z), z) = πN (f (z), 1/z).Åñëè äëÿ ëþáîé N -îé ïàðû Ïàäå degQN = N , òî èíäåêñ N íàçûâàþò íîðìàëüíûì (äëÿ ðÿäà f ). Ìíîæåñòâî íîðìàëüíûõ èíäåêñîâ îáîçíà÷èì Λ(f ). Óñòàíîâèì äåòåðìèíàíòíûé êðèòåðèé íîðìàëüíîñòè. ÏóñòüH0 = 1 èHN¯¯¯¯¯= ¯¯¯¯¯f0f1f1...f2...fN −1fN¯. . . fN −1 ¯¯¯. . . fN¯¯....¯. .¯¯¯. . . f2N −2 îïðåäåëèòåëè Õàíêåëÿ, ïîñòðîåííûå ïî ðÿäó f (z).Óòâåðæäåíèå. N ∈ Λ ⇔ HN 6= 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäåêñ N = 0 âñåãäà íîðìàëåí (HN = 1).
Ïðè N > 0 çàïèøåì â ÿâíîì âèäå ñèñòåìóNPëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ qk ìíîãî÷ëåíà QN . Ïóñòü QN (z) =qk z k ,k=0òîãäà óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñòåïåíÿõ (1/z)n , n = 1, 2, . . . , N ïðèíèìàþò âèäf0 q0 + f1 q1 + . . . + fN qN = 0 ,f1 q0 + f2 q1 + .
. . + fN +1 qN = 0 ,(12)......... ,fN −1 q0 + fN q1 + . . . + f2N −1 qN = 0 .Åñëè N 6∈ Λ , òî ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå ðåøåíèå âûïèñàííîé ñèñòåìû ñ qN = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, HN = 0.Ïóñòü òåïåðü N ∈ Λ . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ íîðìàëüíîãî èíäåêñà ñèñòåìà (12) ñ qN = 0 èìååò ëèøüòðèâèàëüíîå ðåøåíèå, ïîýòîìó HN 6= 0.Îòìåòèì íåêîòîðûå ëåãêî ïðîâåðÿåìûå ñâîéñòâà íîðìàëüíûõ èíäåêñîâ. Åñëè N ∈ Λ , òî N -àÿ ïàðàÏàäå åäèíñòâåííà (ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî), ìíîãî÷ëåíû PN è QN ïðèýòîì âçàèìíî ïðîñòû è degπN = N .Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ñòðóêòóðó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äèàãîíàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé Ïàäå ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îêàçûâàåòñÿ ñîñòîèò òîëüêî èç àïïðîêñèìàöèé, îòâå÷àþùèõ íîðìàëüíûì èíäåêñàì.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü N ∈ Λ , J öåëîå, J > N è (N, J] ∩ Λ = ∅ , òîãäà πJ = πN .27Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàïèøåì πJ â âèäå íåñîêðàòèìîé äðîáè: πJ = P/Q . Ïóñòü degπJ = r . ÏîñêîëüêóJ 6∈ Λ , òî r < J . Ïîêàæåì, ÷òî èíäåêñ r íîðìàëåí. Ïàðà (P, Q) r-àÿ ïàðà Ïàäå è πr = πJ (ïîïîñòðîåíèþ), degπr = r, r ∈ Λ. ßñíî, ÷òî r ≤ N (ïîñêîëüêó èíäåêñ r íîðìàëåí), ïðè÷åì (P, Q) òàêæå èN -àÿ ïàðà, è, ñëåäîâàòåëüíî, πN = πJ .Çàìåòèì, ÷òî çíàìåíàòåëü Ïàäå QN (z) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îïðåäåëèòåëÿ¯¯ f0¯¯¯ f1¯ .¯QN (z) = ¯ ..¯¯¯ fN −1¯¯1f1f2...fNz¯¯¯¯. . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
