Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ïîñòðîèì åå â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûìè âûøå ñîîáðàæåíèÿìè äëÿôîðìóë Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ñ ïîìîùüþ ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñäâèãà ïåðåâåäåì îòðåçîê [a, b] â îòðåçîê [−1, 1] , íà êîòîðîì îðòîãîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìû Ëåæàíäðà Pk .ÒîãäàZbf (x)dx =ab−a2Z1−1b+a b−ab+a b−af(+y) dy , x =+y.2222|{z}q(y)Ïîñêîëüêó P1 (y) = y , òî åäèíñòâåííûé êîðåíü ýòîãî ïîëèíîìà òî÷êà y = 0.
Âåñ λ (ïî ñâîéñòâó âåñîâRbR1Pλi = ρ(x)dx) ðàâåí λ = dx = 2, òàêèì îáðàçîìa−1Zbab−af (x)dx =2Z1q(y)dy ≈−1b−ab+a2q(0) = (b − a)f ().22444.4.2 ×èñëî óçëîâ L = 2à) Ôîðìóëà òðàïåöèé.Çäåñü óçëàìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè x1 = a , x2 = b. f (x) çàìåíÿåòñÿ èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì ïåðâîéñòåïåíè p1 (x), ïîñòðîåííûì ïî ýòèì óçëàì:f (x) → g1 (x) =ZbZbf (x)dx ≈ f (a)a=f (a)a−baZby dy +af (b)b−ax−bx−af (a) +f (b) ,a−bb−ax−bdx + f (b)a−bZby dy = −a= (b − a)Zbax−adx =b−af (a) (a − b)2f (b) (b − a)2+=(a − b)2(b − a)2f (a) + f (b).2Ýòà ôîðìóëà ðàçóìååòñÿ òî÷íà äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé L − 1 = 1 (è íå áîëüøå).á) Ôîðìóëà Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ äëÿ L = 2Äëÿ åå ïîëó÷åíèÿ ïîñòóïèì òàê æå êàê â ñëó÷àå ôîðìóëû ñðåäíèõ:Zbab−af (x)dx =2Z1q(y)dy ,q(y) = f (−1b+a b−a+y) .22Ïîëèíîì P2 èìååò âèä: P2 = 12 (3y 2 − 1) .
Åãî êîðíè y1 = − √13 , y2 = √13 . Âåñà èç ñèììåòðè÷íîñòè äîëæíûR1áûòü îäèíàêîâû: λ1 = λ2 , λ1 + λ2 = 2 ⇒ λi = 1, ñëåäîâàòåëüíî, g(y)dy ≈ q(− √13 ) + q( √13 ). Òàêèì îáðàçîì,−1èñêîìàÿ êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà èìååò âèäZbf (x)dx ≈a·¸b−ab+a b−a 1b+a b−a 1√ ) + f(√ ) .f(−+2222233Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè M ðàâíà 2L − 1 = 3.4.4.3 ×èñëî óçëîâ L = 3Ôîðìóëà ÑèìïñîíàÇäåñü óçëàìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè x1 = a , x2 =[−1, 1] ìàñøòàáíûì ïðåîáðàçîâàíèåì q(y) =Zbab−af (x)dx =2a+b2f ( b+a2, x3 = b.
Äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé ïåðåéäåì ê îòðåçêó+b−a2 y):Z1q(y)dy , y1 = −1 , y2 = 0 , y3 = 1 .−1Çàìåíèì q(y) èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì p2 (y) :q(y) → p2 (y) = q(−1)L1 (y) + q(0)L2 (y) + q(1)L3 (y) ,ãäåL1 (y) =y(y − 1)(y − (−1))(y − 1)(y + 1)(y − 1)(y − 0)(y − 1)=, L2 (y) ==,(−1 − 0)(−1 − 1)2(0 − (−1))(0 − 1)−145L3 (y) =Òîãäà èíòåãðàëR1−1p2 (y)dy ðàâåíZ1y(y − 1)dy + q(0)2q(−1)−1Z1λ3 = λ1 =−1ÑèìïñîíàR1q(y)dy ≈−1Z1−1Ñîñ÷èòàåì âåñàòàêèì îáðàçîì,(y − (−1))(y − 0)(y + 1)y=.(1 − (−1))(1 − 0)2q(−1)3(y + 1)(y − 1)dy + q(1)−1Z1−1y2y1( − )dy = , λ2 =223y(y + 1)dy .2Z1(1 − y 2 )dy =−1+ 43 q(0) +q(1)3f (x)dx ≈b−aa+b[f (a) + 4f () + f (b)] .62Zba4,3. Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîé ôóíêöèè f , ïîëó÷àåì ôîðìóëóÇàìåòèì, ÷òî ýòà ôîðìóëà òî÷íà è äëÿ ïîëèíîìîâ òðåòüåé ñòåïåíè, õîòÿ ïîñòðîåíèå ãàðàíòèðîâàëî òî÷íîñòüëèøü äî çíà÷åíèÿ L − 1 = 2.Äëÿ áîëåå òî÷íîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ìîæíî ñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûå ïîëèíîìû âñå áîëåå âûñîêîé ñòåïåíè, îäíàêî áîëåå ðàçóìíûì ïîäõîäîì ÿâëÿåòñÿ ðàçáèåíèå ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ íà ÷àñòèè ïðèìåíåíèå íà íèõ êàêîãî ëèáî èç èçëîæåííûõ âûøå ïðîñòûõ ñïîñîáîâ èíòåãðèðîâàíèÿ.4.5 Ñîñòàâíûå êâàäðàòóðíûå ôîðìóëûÐàçîáüåì ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ [a, b] íà N ÷àñòåé x0 = a , x1 , .
. . , xN = b è íà êàæäîì ïðîìåæóòêå ∆i = [xi , xi−1 ] ïðèìåíèì òó èëè èíóþ êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó. Çàòåì ïðîñóììèðóåì ïî âñåìïðîìåæóòêàì. Ïóñòü hi = xi − xi−1 . Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñîñòàâíûå êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû:NPi−1M=);hi f ( xi +x2i=1T =S=NPi=1NPi=1hi f (xi )+f2 (xi−1 ) ;hi6 [fi−1+ 4f ( xi−12+xi ) + f (xi )].Ëþáîïûòíî îòìåòèòü, ÷òî S = 23 M + 13 T .Óäîáíî ñîñòàâíóþ ôîðìóëó Ñèìïñîíà ïðåäñòàâëÿòü â âèäå (ïðè ÷åòíîì ÷èñëå ïðîìåæóòêîâ)S̄(f ) =h(f0 + 4f1 + 2f2 + . .
. + 4fN −1 + fN ) .3Òàêàÿ çàïèñü íàçûâàåòñÿ îáîáùåííîé ôîðìóëîé Ñèìïñîíà.4.5.1 Ñõîäèìîñòü êâàäðàòóðíûõ ôîðìóëÓñòðåìèì â ñîñòàâíûõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóëàõ ðàíã äðîáëåíèÿ h = max hi ê íóëþ. Åñòåñòâåííûì îáðàçîìâîçíèêàþò âîïðîñû1) Ñòpåìèòñÿ ëè ñóììà ê èíòåãðàëó?2) Åñëè "äà", òî ñ êàêîé ñêîðîñòüþ?46Îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ ïîëîæèòåëåí. Ïîñêîëüêó è ôîðìóëà ñðåäíèõ M è ôîðìóëà òðàïåöèé T ñóòüèíòåãðàëüíûå ñóììû, à äëÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè èíòåãðàë ïî îïðåäåëåíèþ åñòü ïðåäåë èíòåãðàëüíûõñóìì.
Ïîñêîëüêó ôîðìóëà Ñèìïñîíà S ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé (ñ ñóììîé êîýôôèöèåíòîâ ðàâíîé1) ôîðìóë ñðåäíèõ è òðàïåöèé, òî ïðè ðàíãå äðîáëåíèÿ ñòðåìÿùèìñÿ ê íóëþ, îíà òàêæå ñòðåìèòñÿ êèíòåãðàëó. Íåòðóäíî äîêàçàòü ñõîäèìîñòü è äðóãèõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë.Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê âîïðîñó î ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè. Ïîñêîëüêó ôîðìóëû òðàïåöèé T è ñðåäíèõ Mòî÷íû äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé 1, òî åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî èõ ïîãðåøíîñòü åñòü O(h2 ),à äëÿ ôîðìóëû Ñèìïñîíà, èìåþùåé àëãåáðàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòè ðàâíóþ òðåì, ïîãðåøíîñòü O(h4 ).Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ äåòàëüíî.
Ïóñòü x̄i =x̄ .xi +xi−12. Ðàçëîæèì f (x) â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè1f (x) = f (x̄i ) + (x − x̄i )f 0 (x̄i ) + (x − x̄i )2 f 00 (x̄i )+234(x − x̄i ) 000(x − x̄i ) (4)(x − x̄i )5 (5)f (x̄i ) +f (x̄i ) +f (x̄i ) + O(h6i ) .+3!24120Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî ðàçëîæåíèå ïî ïðîìåæóòêó [xi−1 , xi ]. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì âñå ÷ëåíû Òåéëîðîâñêîãîðàçëîæåíèÿ ñ íå÷åòíûìè ñòåïåíÿìè (x − x̄i ) ïðîïàäóò èç-çà ñèììåòðèè ðàñïîëîæåíèÿ òî÷êè x̄i . Òàêèìîáðàçîì,Zxif (x)dx = hi f (x̄i ) +xi−1h3i 00h5i (4)h7i (6)fff (x̄i ) + . . . .(x̄)+(x̄)+ii3!225!247!26(8)Èç òåéëîðîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ òàêæå íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîf (xi ) + f (xi−1 )h2h4= f (x̄i ) + i 2 f 00 (x̄i ) + i 4 f (4) (x̄i ) + O(h6i ) ,22!24!2îòêóäàf (x̄i ) =f (xi ) + f (xi−1 )h2h4− i 2 f 00 (x̄i ) − i 4 f (4) (x̄i ) − O(h6i ) .22!24!2Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (8), ïîëó÷àåìZxif (x)dx = hixi−1f (xi ) + f (xi−1 ) h3i 00h51− f (x̄i ) + i 4 f (4) (x̄i )[ − 1] + O(h6i ) .2124!25(9)Äàëåå, ïîñêîëüêó S = 23 M + 13 T , òîZxif (x)dx =xi−1·¸hi(f (xi ) + f (xi−1 ))2f (x̄i ) ++32·¸f (4) (x̄i )h5i 2 1 1 4f (4) (x̄i )h5i6)=+·−·O(h[−2] + O(h6i ) .+S+i4!243 5 3 54!24 3 · 5Èòîãî, äëÿ pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ èç (8) ïîãðåøíîñòü ñîñòàâíîé ôîðìóëû ñðåäíèõ δM ðàâíàZbδM =Zbf (x)dx − M =aòî åñòü|δM | ≤f (x)f dx −NXhi f (x̄i ) = −i=1aNXh3ii=124f 00 (x̄i ) + O(h5 ) ,NN1 X 3 00h2 ||f 00 ||C X(b − a) 00||f ||C h2 .hi ||f ||C =hi =24 i=12424i=1Èç (9), àíàëîãè÷íî|δT | ≤(b − a) 00||f ||C h2 .1247(10)Èç (10)|δS | ∼||f (4) ||C h4(b − a) .6!4Çäåñü èìååòñÿ â âèäó ñîñòàâíàÿ ôîðìóëà Ñèìïñîíà S .
Äëÿ îáîáùåííîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà íàäî h çàìåíèòüíà 2h:|δS̄ | ∼||f (4) ||C 24 h4M4 4(b − a) =h (b − a) .6!221804.6 Äðóãèå ôîðìóëû4.6.1 Ñïëàéí-êâàäðàòóðàÄëÿ ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ñïëàéíû. Èìåííî, èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿçàìåíÿåòñÿ ñïëàéíîì, êîòîðûé è èíòåãðèðóåòñÿ.Ïóñòü x ∈ ∆i = [xi−1 , xi ] , hi = xi − xi−1 , ω = 1 − ω̄ =x−xi−1.hiÏðèìåíèì ñïëàéí S31 äëÿ ïðèáëèæåííîãîèíòåãðèðîâàíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî íà ïðîìåæóòêå ∆i åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:S31 (x) = ωfi + ω̄fi−1 +h2i[(ω 3 − ω)Mi + (ω̄ 3 − ω̄)Mi−1 ] .6Çäåñü Mi = S 00 (xi ).
Ïóñòü S(ω) = S31 (x), òîãäàZ1ZxiS31 (x)dxÏðè ýòîìR10ωdω =12,R10S(ω)dω , (dx = hi dω) .= hixi−10(ω 3 − ω)dω = − 14 . Òàêèì îáðàçîì,ZxiS31 (x)dx = hixi−1fi + fi−1Mi + Mi−1− h3i.224Ïîñëåäíèé ÷ëåí â ýòîé ôîðìóëå "èìèòèðóåò"ïîïðàâêó ê ôîðìóëå òðàïåöèé. Äåéñòâèòåëüíî, âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñïëàéíà, àïïðîêñèìèðóåò âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè èh3i (Mi + Mi−1 )h3≈ i f 00 (x̄i ) ,2412÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîïðàâî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû òðàïåöèé (ñì. ôîðìóëó (9)).
Òàêèì îáðàçîì ïðîèñõîäèòêîìïåíñàöèÿ îøèáêè ôîðìóëû òðàïåöèé. Îêîí÷àòåëüíîZbf (x)dx ≈aNX¡i=1hiMi + Mi−1 ¢fi + fi−1− h3i.224Çàìå÷àíèå. Ñïëàéí-êâàäðàòóðà íå åñòü êâàäpàòópíàÿ ôîpìóëà â ÷èñòîì âèäå, ïîñêîëüêó îíà èñïîëüçóåòíå òîëüêî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, íî è âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò ñïëàéíà.4.6.2 Ôîðìóëû ÔèëîíàÏóñòü I =Rbaf (x)eiωx dx , |ω| >> 1/|b−a| , à f (x) ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäà T = 2π/ωêîëåáàíèé ôóíêöèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x)eiωx èìååò ìíîãî îñöèëëÿöèé íà ïðîìåæóòêå (a, b) è èñïîëüçîâàíèå îáû÷íûõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë âåñüìà çàòðóäíåíî, ïîñêîëüêó ïðèõîäèòñÿ48äåëèòü ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷àñòåé.
Îäíàêî íåò íåîáõîäèìîñòè çàìåíÿòüâñþ ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì. Äîñòàòî÷íî ýòó ïðîöåäóðó ïðîäåëàòü ëèøüñ ôóíêöèåé f (x). Èòàê, çàìåíèì f èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì p. Òîãäàf (x) ≈ p(x) =NXj=0ZbJ=p(x)eiωxdx =Èíòåãðàëû Aj (ω) =Rbak6=j,k=0NXZbf (xj )j=0aNYLj (x)f (xj ) , Lj (x) =eiωxLj (x)dx =NX(x − xk ),(xj − xk )Aj (ω)f (xj ) .j=0aeiωx Lj (x)dx áåðóòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Ïîëó÷àåìûå ïðè ýòîì ôîðìóëûïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ôèëîíà:Zbf (x)eiωx dx ≈I=x0 = 1 , x1 = 0 , x2 = 1.R1−1Aj (ω)f (xj ) .j=0aÇàäà÷à: Äëÿ èíòåãðàëîâNXsin ωxf (x)dx ,R1−1cos ωxf (x)dx ïîëó÷èòü ôîðìóëó Ôèëîíà ñ òðåìÿ óçëàìè:4.6.3 Ñîñòàâíûå ôîðìóëû ÔèëîíàÐàçîáüåì ïðîìåæóòîê [a, b] íà N ÷àñòåé a = x0 < x1 < .
. . < xN = b è íà êàæäîì ïðîìåæóòêå [xk−1 , xk ]çàìåíèì f (x) èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì pk íåêîòîðîé ñòåïåíè, òîãäàZbI=f (x)eiωxN ZxkXdx =f (x)eiωxdx ∼ J =k=1xk−1aN ZxkXpk (x)eiωx dx .k=1xk−1Ïpèìåp. Àíàëîã ôîðìóëû ñðåäíèõ.ZxkZxkf (x)eiωx dx ∼xk−1= f (x̄k )f (x̄)eiωx dx =xk−12ωhkeiωxk − eiωxk−1= f (x̄k )eiωx̄k sin.iωω2Îöåíèì ïîãðåøíîñòü ýòîé ôîðìóëû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
