Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 12
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Àíàëîãè÷íî, ïóñòü èìååòñÿ m ñîïðÿPæåííûõ âåêòîðîâ e1 , e2 , . . ., em , è â äâóõ ïàðàëëåëüíûõ m-ìåðíûõ ñîïðÿæåííûõ ïëîñêîñòÿõ r1 + αi ei èPr2 + αi ei ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ â òî÷êàõ r1 è r2 , ñîîòâåòñòâåííî, òîãäà âåêòîð r2 − r1 ñîïðÿæåí âñåìâåêòîðàì {ei }mi=1 .Îïèøåì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé ïî ïîñòðîåíèþ áàçèñà ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé. Ïóñòü{di }Ni=1 ñòàíäàðòíûé áàçèñ, è ìû ïîñòðîèëè m ñîïðÿæåííûõ âåêòîðîâ, ïðè ýòîì âûáðîñèâ èç ðàññìîòðåíèÿm âåêòîðîâ ñòàíäàðòíîãî áàçèñà, ñêàæåì, ñ íîìåðàìè N − m + 1,N − m + 2, . .
. ,N . Ïóñòü r0 ïðîèçâîëüíàÿòî÷êà, ïðîèçâåäåì èç íåå ñïóñê ïî ñîïðÿæåííûì âåêòîðàì {ei }mi=1 . Ïîïàäåì ïðè ýòîì â íåêîòîðóþ òî÷êó−mr1 . Èç íåå ïðîèçâåäåì ñïóñê ïî îñòàâøèìñÿ âåêòîðàì {d}Nñòàíäàðòíîãî áàçèñà è ïîïàäåì â òî÷êó r2 .i=13Òåïåðü èç r2 ñïóñòèìñÿ ïî ñîïðÿæåííûì âåêòîðàì {ei }mi=1 . Ïîïàäåì ïðè ýòîì â íåêîòîðóþ òî÷êó r .Òî÷êè r1 è r3 ÿâëÿþòñÿ ìèíèìóìàìè ôóíêöèè Φ(r) â äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ãèïåðïëîñêîñòÿõ, çàäàâàåìûõñîïðÿæåííûìè íàïðàâëåíèÿìè. Òàêèì îáðàçîì, r3 − r1 íîâîå ñîïðÿæåííîå íàïðàâëåíèå. Äîáàâèì åãî ê54−móæå ïîñòðîåííûì è âûáðîñèì îäèí èç âåêòîðîâ {d}Ni=1 .
Ôîðìàëüíî âñå ðàâíî êàêîé èç íèõ âûáðàñûâàòü,îäíàêî äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè æåëàòåëüíî âûáðàñûâàòü òîò, ïðè ñïóñêå âäîëü êîòîðîãî ôóíêöèÿ Φ(r)èçìåíèëàñü ìåíüøå âñåãî, äàæå åñëè ñëó÷àéíî îí îêàçàëñÿ îäíèì èç ñîïðÿæåííûõ. Äåëî çäåñü â òîì, ÷òîâ ýòîì ñëó÷àå ìû íå òåðÿåì òî÷íîñòü â ïðîöåññå îðòîãîíàëèçàöèè. Çàìåòèì, ÷òî èç òî÷êè r3 íåîáõîäèìîñïóñòèòüñÿ ëèøü âäîëü íîâîãî íàïðàâëåíèÿ r3 − r1 , ïîñêîëüêó ïî äðóãèì ñîïðÿæåííûì íàïðàâëåíèÿìñïóñê óæå ïðîèçâåäåí. Èç ïîëó÷åííîé ïðè ýòîì òî÷êè r4 ïðîèçâîäèòñÿ ñïóñê ïî îñòàâøèìñÿ N − m − 1âåêòîðàì ñòàíäàðòíîãî áàçèñà è ò.ä.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè áû íå îøèáêè îêðóãëåíèÿ, òî äëÿ êâàäðàòè÷íîéôóíêöèè, ïðîèçâåäÿ N − 1 öèêëîâ ìû áû â òî÷íîñòè ïîïàëè â ìèíèìóì. Îäíàêî èìåííî èç-çà îøèáîêîêðóãëåíèÿ ýòîãî íå ïðîèçîéäåò è ïðîöåäóðó íåîáõîäèìî ïîâòîðèòü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ðàç.Çàìå÷àíèå. Õîòÿ ïîíÿòèå ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé áûëî ââåäåíî òîëüêî äëÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè,ñàì îïèñàííûé ïðîöåññ ìîæíî ïðèìåíÿòü ê ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè Φ(r), ïîñêîëüêó ñàìà ïðîöåäóðà îñíîâàíà ëèøü íà ïîèñêå ìèíèìóìà âäîëü òîãî èëè èíîãî íàïðàâëåíèÿ.55Ëèòåðàòóðà[1] Í.Í.
Êàëèòêèí // ×èñëåííûå ìåòîäû // Ìîñêâà, Íàóêà, 1978.[2] Í.Ñ.Áàõâàëîâ, Í.Ï.Æèäêîâ, Ã.Ì.Êîáåëüêîâ // ×èñëåííûå ìåòîäû // Ìîñêâà Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ëàáîðàòîðèÿ áàçîâûõ çíàíèé, 2000.[3] Ä.Êàõàíåð, Ê.Ìîóëåð, Ñ.Íåø // ×èñëåííûå ìåòîäû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå // Ìîñêâà, Ìèð, 1998.[4] Äæ. Ôîpñàéò, Ì.Ìàëüêîëüì, Ê.Ìîóëåð // Ìàøèííûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé // Ìîñêâà,Ìèp, 1980.[5] Ñ.Á. Ñòå÷êèí, Þ.Í.
Ñóááîòèí // Ñïëàéíû â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå // Ìîñêâà, Íàóêà, 1976.[6] Äæ.Áåéêåð, Ï.Ãðåéâñ-Ìîððèñ // Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå // Ìîñêâà, Ìèð, 1986.[7] Ä.Ìàê-Êðàêåí, Ó.Äîðí // ×èñëåííûå ìåòîäû è ïðîãðàììèðîâàíèå íà ÔÎÐÒÐÀÍå // Ì., Ìèð, 1977.[8] Â.Â.Âåðøèíèí, Þ.Ñ.Çàâüÿëîâ, Í.Í.Ïàâëîâ // Ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà ñïëàéíîâ è çàäà÷à ñãëàæèâàíèÿ // Íîâîñèáèðñê, Íàóêà, 1988.[9] À.È.Ãðåáåííèêîâ // Ìåòîä ñïëàéíîâ è ðåøåíèå íåêîððåêòíûõ çàäà÷ òåîðèè ïðèáëèæåíèé // Èçäàòåëüñòâî ÌÃÓ, 1983.[10] Ý.Äóëàí, Äæ.Ìèëëåð, Ó.Øèëäåðñ // Ðàâíîìåðíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ ïîãðàíè÷íûìñëîåì // Ì., Ìèð, 1983.[11] Â.Â.Âîåâîäèí, Þ.À.Êóçíåöîâ // Ìàòðèöû è âû÷èñëåíèÿ // Ì., Íàóêà, 1984.[12] Ñ.Ïèññàíåöêè // Òåõíîëîãèÿ ðàçðåæåííûõ ìàòðèö // Ì., Ìèð, 1988.[13] È.Ñ.Áåðåçèí, Í.Ï.Æèäêîâ // Ìåòîäû âû÷èñëåíèé. Ò.1.
// Ì., Íàóêà, 1966.[14] È.Ñ.Áåðåçèí, Í.Ï.Æèäêîâ // Ìåòîäû âû÷èñëåíèé. Ò.2. // Ì., Ôèçìàòãèç, 1962.[15] À.Í.Êîëìîãîðîâ, Ñ.È.Ôîìèí // Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà // Ì., Íàóêà,1972.[16] Ä.Ê.Ôàääååâ// Ëåêöèè ïî àëãåáðå// Ì., Íàóêà, 1984.[17] Ã.Å.Øèëîâ // Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç (ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî. ×àñòü 3) // Ì., Íàóêà, 1970.[18] Ë.Ä.Ëàíäàó, Å.Ì.Ëèôøèö // Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà (íåðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ) // Ì., Íàóêà, 1989.56[19] À.Í.Òèõîíîâ, À.À.Ñàìàðñêèé // Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè // Ì., Íàóêà, 1972.[20] Ã.Êîðí, Ò.Êîðí // Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå // Ì., Íàóêà, 1984.57Îãëàâëåíèå1Ââåäåíèå. Ïðîñòðàíñòâà ñ ìåòðèêîé32 Àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé2.12.28Èíòåðïîëÿöèÿ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.1.1Çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.1.2×åáûøåâñêèå ñèñòåìû ôóíêöèé . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.1.3Èíòåðïîëÿöèÿ ìíîãî÷ëåíàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92.1.4Ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëÿöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.5Îöåíêà NN +1 (x). . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.6Ñõîäèìîñòü èíòåðïîëÿöèè. Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.7Ñïëàéíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 16Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1"Íàèâíûé"ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2Äåòåðìèíàíòíîå Ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ïàäå . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 242.2.3Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 ×èñëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå293.1Äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 293.2Êîíå÷íûå ðàçíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.1Îïåðàòîð ∆ è îáîáùåííàÿ ñòåïåíü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Íüþòîíà äëÿ pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ . . . . . . . . . . . 334 ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå354.1Íàâîäÿùèå ñîîáðàæåíèÿ . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2Êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû Íüþòîíà-Êîòåñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.34.2.1Ñëó÷àé pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.2Îöåíêà ïîãðåøíîñòè êâàäpàòópíûõ ôîpìóë Íüþòîíà-Êîòåñà . . . . . . . . . . . . . . . 38Ôîðìóëû Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3.1Ïðåäåëû àëãåáðàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3.2Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.3Ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.4Ïðèìåðû îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43584.3.54.44.5Ïðèìåðû êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.1×èñëî óçëîâ L = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.2×èñëî óçëîâ L = 2 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.3×èñëî óçëîâ L = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Ñîñòàâíûå êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 464.5.14.6Ïîãðåøíîñòü êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Ñõîäèìîñòü êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Äðóãèå ôîðìóëû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 484.6.1Ñïëàéí-êâàäðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.2Ôîðìóëû Ôèëîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.3Ñîñòàâíûå ôîðìóëû Ôèëîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 495 Ïîèñê ìèíèìóìà5.15.250Ñëó÷àé îäíîé ïåðåìåííîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.1Ìåòîä çîëîòîãî ñå÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.2Ìåòîä ïàpàáîë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.1Êîîðäèíàòíûé ñïóñê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 525.2.2Íàèñêîðåéøèé ñïóñê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.3Ìåòîä ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5359.
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