Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ââåäåì Θ00 =kΘ+Θ0k+1 ,òîãäà ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå(∆x)k+1 f (k+1) (x + (k + 1)Θ00 ∆x) .Ïðè ýòîì, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, Θ00 < 1 , òàêèì îáðàçîì ôîðìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå ñâîéñòâà 6). f (k) (x) =Äåéñòâèòåëüíî,k∆ f(∆x)k∆k f(∆x)k+ o(1) .∆k fk∆x→0 (∆x)= f (k) (x + Θk∆x) , îòêóäà óñòðåìëÿÿ ∆x → 0, ïîëó÷àåì f (k) (x) = lim.3.2.1 Îïåðàòîð ∆ è îáîáùåííàÿ ñòåïåíüÎïðåäåëåíèå. Îáîáùåííîé ñòåïåíüþ ÷èñëà x íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèåx[n] ≡ x(x − h)(x − 2h) . . . (x − (n − 1)h) , x[0] ≡ 1.Çàìåòèì, ÷òî åñëè h = 0, òî x[n] = xn .Ñâîéñòâî.
∆k x[n] = n(n − 1) . . . (n − (k − 1))hk x[n−k] .Äîêàçàòåëüñòâî.∆x[n] = (x + h)[n] − x[n] == (x + h)x(x − h) . . . (x − (n − 2)h) − x(x − h) . . . (x − (n − 1)h) == x(x − h) . . . (x − (n − 2)h)[x + h − (x − (n − 1)h)] = nhx[n−1] ,ïðèìåíÿÿ ∆ åùå ðàç, ïîëó÷àåì∆2 x[n] = ∆(∆x[n] ) = ∆(nhx[n−1] ) = nh(n − 1)hx[n−2] == n(n − 1)h2 x[n−2] ,è òàê äàëåå. Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå îïåðàòîðà ∆ íà îáîáùåííóþ ñòåïåíü àíàëîãè÷íî äèôôåðåíöèðîâàíèþ îáû÷íûõ ñòåïåíåé:dk xn = n(n − 1) . . . (n − (k − 1))xn−k (dx)k .3.2.2 Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Íüþòîíà äëÿ pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâÏóñòü â òî÷êàõ x0 , x1 , . . . , xN: xi = x0 + ih, çàäàíû çíà÷åíèÿ f0 , f1 , .
. . , fN . Ðåøèì çàäà÷ó èíòåðïî-ëÿöèè, òî åñòü ïîñòðîèì ïîëèíîìp(x) : p(xi ) = fi , i = 0 , 1 , . . . , N , deg p(x) = N .(4)Èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì, óäîâëåòâîðÿþùèé òàáëè÷íûì çíà÷åíèÿì {xi , fi }Ni=0 , â ôîðìå Íüþòîíà èìååòâèäp(x) =NXf012 ... k Nk (x) .k=033Äëÿ ïîñòîÿííîãî øàãà h âûïîëíåíî: k!f01...k =∆k f0hk, ïðè ýòîì Nk (x) =îáðàçîì ðåøåíèå çàäà÷è èíòåðïîëÿöèè ïðèíèìàåò âèäp(x) = f0 +k−1Qi=0(x − xi ) = (x − x0 )[k] , òàêèì1 ∆2 f 01 ∆N f 0∆f0[2](x − x0 )[1] +(x−x)+...+(x − x0 )[N ] .0h2! h2N ! hNÇàìåòèì, ÷òî ñàìè óñëîâèÿ (4) ìîæíî òàêæå ïåðåïèñàòü â âèäå: ∆k p(x)|x=x0 = ∆k f0 . Äåéñòâèòåëüíî, èçñâîéñòâà 5) êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé∆k p(x0 ) = p(x0 + kh) − Ck1 p(x0 + (k − 1)h) + .
. . + (−1)k p(x0 ) == fk − Ck1 fk−1 + . . . + f0 = ∆k f0 .Ïpîâåpèì, ÷òî ïîñòðîåííûé ïîëèíîì p(x) äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì èíòåðïîëÿöèè:1) p(x0 ) = f0 , ÷òî ñëåäóåò èç ôîðìû çàïèñè ïîëèíîìà;2) p(xk ) = p0 +∆p0h (xk− x0 )[1] + . . . +∆ k p0(xkk!hk− x0 )[k] + 0 .Ïîñêîëüêó xk − x0 = kh , òî(xk − x0 )[m] = kh(kh − h) . . . (kh − (m − 1)h) = hm k(k − 1) . .
. (k − (m − 1)) ,è, ñëåäîâàòåëüíî,p(xk ) = f0 +∆f0∆2 f 0 2∆k f 0 kkh +hk(k−1)+...+h k(k − 1) . . . 1 =h2!h2k!hk= f0 + ∆f0 k +=∆k f 0∆2 f 0k(k − 1) + . . . +k(k − 1) . . . 1 =2!k!hkkXCkm ∆m f0 = (1 + ∆)k f0 = fkm=0ïî ñâîéñòâó êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.Çàìå÷àíèå. Åñëè h → 0 , òî ïîëèíîì p(x) ñòpåìèòñÿ ê îòðåçêó ðÿäà Òåéëîðà ôóíêöèè f , òàê êàê âýòîì ñëó÷àå∆m f0(∆x)m→ f (m) (x0 ) , (x − x0 )[m] → (x − x0 )m èp(x) → f0 + f 0 (x0 )(x − x0 ) +=f 00 (x0 )f (N ) (x0 )(x − x0 )2 + .
. . +(x − x0 )N =2!N!NXf (k) (x0 )k=0k!(x − x0 )k .Ìîæíî èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì çàïèñàòü òàêæå â ñëåäóþùåé ôîðìå:p(x) = f0 + q∆f0 +ãäå q =x−x0hq(q − 1) . . . (q − N + 1) Nq(q − 1) 2∆ f0 + . . . +∆ f0 ,2!N!. Äåéñòâèòåëüíî(x − x0 )[m](x − x0 )(x − x0 − h) . . . (x − x0 − (m − 1)h)==hmh h ... h= q(q − 1) . . . (q − m + 1) .34Ãëàâà 4×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå4.1 Íàâîäÿùèå ñîîáðàæåíèÿÏðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ âèäàZbI=f (x)ρ(x)dx ,aãäå f èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, ρ âåñ èëè âåñîâàÿ ôóíêöèÿ ñî ñâîéñòâàìè1) ρ ∈ C(a,b) ;2) ρ èíòåãðèðóåìàÿ íà [a, b];3) ρ > 0,åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ïðèåì. Ïðîèíòåðïîëèðóåì èíòåãðèðóåìóþ ôóíêöèþ f ñ ïîìîùüþN÷åáûøåâñêîé ñèñòåìû ôóíêöèé {ϕi }Ni=0 ïî å¼ çíà÷åíèÿì fi = f (xi ) â íåêîòîðûõ óçëàõ {xi }i=0 ïðîìåæóòêà[a, b] .
Òîãäà ôóíêöèþ f ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåf (x) =NXαi ϕi (x) + rN (x) ,(1)i=0ãäå rN (x) ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåâÿçêà, à êîýôôèöèåíòû αi ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ fj (ñì.NPðàçäåë "Èíòåðïîëÿöèÿ"): αi =[ΦT ]−1ij fj , ãäå Φ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè ϕi (xj ) . Äëÿj=0óäîáñòâà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàçèñ â ëèíåéíîé îáîëî÷êåòî åñòü αi = fi , òîãäàI=NXNWi=0ϕi âûáðàí òàêèì, ÷òî ìàòðèöà Φ åäèíè÷íàÿ,f (xi )λi + RN (f, ρ) ,(2)i=0ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿZbλi =Zbϕi (x)ρ(x)dx , RN (f, ρ) =ari (x)ρ(x)dx ,aÅñëè â (2) îòáðîñèòü ïîãðåøíîñòü RN (f, ρ), òî îñòàâøååñÿ âûðàæåíèå35(3)ZbI=f (x)ρ(x)dx ≈NXλi f (xi )(4)i=0aíàçûâàåòñÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé.
Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó, íåîáõîäèìî âûáðàòü ÷åáûøåâñêóþ ñèñòåìó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåñà λi êâàäðàòóðíîéôîðìóëû ìîãëè áûòü ñîñ÷èòàíû ÿâíî. Îáû÷íî â êà÷åñòâå òàêîé ñèñòåìû èñïîëüçóþòñÿ ïîëèíîìû.Çàìå÷àíèå.  ïðèíöèïå ëþáàÿ çàïèñü âèäà (4) (ñ ïðîèçâîëüíûìè âåñàìè λi ) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòóðíîéôîðìóëîé, îäíàêî öåííîñòü òàêîé ôîðìóëû ìîæåò è âîâñå îòñóòñòâîâàòü, åñëè ÷èñëà (âåñà) λi âûáðàíûíåðàçóìíî. Êðîìå òîãî, äîïîëíèòåëüíîé òî÷íîñòè ìîæíî äîáèòüñÿ çà ñ÷åò ýôôåêòèâíîãî ðàñïîëîæåíèÿóçëîâ xi êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû.Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: À ÷òî ÿâëÿåòñÿ ìåðîé òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû, âåäü ïðè èíòåãðèðîâàíèè ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé f ïîãðåøíîñòü RN (f, ρ) ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííî ðàçíîé?  ñâÿçè ñ ýòèìåñòåñòâåííî âûäåëèòü íåêîòîðûé êëàññ ôóíêöèé, íà êîòîðîì è ïðîâåðÿåòñÿ âåëè÷èíà ïîãðåøíîñòè.
Åñëèâ êà÷åñòâå òàêîãî êëàññà èñïîëüçóþòñÿ ïîëèíîìû, òî ãîâîðÿò îá àëãåáðàè÷åñêîé òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîéôîðìóëû.Îïðåäåëåíèå. Àëãåáðàè÷åñêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå÷èñëî M òàêîå, ÷òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè ëþáûõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé M , ïðèáëèæåííîåðàâåíñòâî (4) ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî (ò.å. íåâÿçêà (ïîãðåøíîñòü RN (f, ρ)) êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ðàâíàíóëþ åñëè â êà÷åñòâå f èñïîëüçóåòñÿ ïîëèíîì pk ñòåïåíè k ≤ M ).Çàìåòèì, ÷òî åñëè â êà÷åñòâå ÷åáûøåâñêîé ñèñòåìû èñïîëüçîâàòü ïîëèíîìû, òî ïðè óñëîâèè, ÷òî âåñàλi ñîñ÷èòàíû òî÷íî (ïî ôîðìóëå (3)), êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà (4) èìååò àëãåáðàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòèM íå íèæå N , ïîñêîëüêó äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè äî N íåâÿçêà rN (x) òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, òàêêàê â ýòîì ñëó÷àå èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì ïðîñòî ñîâïàäàåò ñ f .4.2 Êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû Íüþòîíà-ÊîòåñàÏóñòü âåñ ρ ≡ 1 ,x0 = a ,xN = b . Èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå ÷åáûøåâñêîé ñèñòåìû ϕi (x) ïîëèíîìûËàãðàíæà:(i)ϕi (x) ≡ LN (x) ,(i)LN (x) =Y (x − xj ),(xi − xj )j6=iòîãäà f (x) =NPi=0(i)LN (x)f (xi ) + rN (x) èI=NXZbλi f (xi ) +i=0rN (x)dx ,aãäåλi =Zb Ya j6=i(x − xj )dx ,(xi − xj )(5)ò.å.
âåñà êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ìîãóò áûòü ñîñ÷èòàíû ÿâíî. Ñàìà æå ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ïðèáëèæåííîãîèíòåãðèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé Íüþòîíà-Êîòåñà.364.2.1 Ñëó÷àé pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâÏîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ âåñîâ â ñëó÷àå pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ.  ýòîé ñèòóàöèè xk = x0 + kh ,0, 1, . . . , N , èYk =(x − xj ) = (x − x0 )[i] (x − xi+1 )[N −i] ,j6=ièëèYj6=i(xi − xj ) = ih(i − 1)h . . .
h (−h) . . . (−1)(N − i)h =|{z}|{z}i p(N −i) pN −i N= i!(N − i)!(−1)Òàêèì îáðàçîì(−1)N −iλi =i!(N − i)!hNÏîëîæèìx−x0hNQZbh.(x − x0 − jh)j=0dx .(x − x0 − ih)ahb−a= q , a = x0 , b = xN è çàìåòèì, ÷òî(−1)N −ihλi =i!(N − i)!1N=NQZNdq, òîãäà(q − j)j=0.q−i0Îêîí÷àòåëüíî, îáû÷íî ââîäÿò íåñêîëüêî äpóãèå êîýôôèöèåíòû, íàçûâàåìûå êîýôôèöèåíòàìè Êîòåñà:Hi =1b−a λi, ïðè ýòîì êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ïðèíèìàåò âèäZbf (x)dx = (b − a)NXHi f (xi ) + R(f ) .i=0aÑâîéñòâà êîýôôèöèåíòîâ Êîòåñà Hi :NP1)Hi = 1 ;i=02) Hi = HN −i .Äîêàçàòåëüñòâî.1) Ïîñêîëüêó êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà-Êîòåñà òî÷íà äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåéN , òî, â ÷àñòíîñòè, åñëè âçÿòü â êà÷åñòâå ôóíêöèè f ôóíêöèþ òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 1, òîZbdx = (b − a)NXNXHi f (xi ) = (b − a)i=0aHi = (b − a) ,i=0îòêóäà ñâîéñòâî 1) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî.2) Êîýôôèöèåíò Hi ðàâåíN −i1 (−1)Hi =N i!(N − i)!NQZNdq(q − j)j=00ïðè ýòîìN −N +iHN −i1(−1)=N (N − i)!(N − N + i)!i(−1)=N (N − i)!i!NQZNdq037,q−iNQZNdq0(q − j)j=0q−N +i(q − j)j=0q−N +i.=Ïðîèçâåäåì çàìåíó ïåðåìåííîé q − N = −p , dq = −dp, òîãäàNQZNdq0(q − j)j=0q−N +iNQZNdp=0(N − p − j)j=0= (−1)N−(p − i)NQZNdp(p − j)j=00p−i,îòêóäà HN −i = Hi .4.2.2 Îöåíêà ïîãðåøíîñòè êâàäpàòópíûõ ôîpìóë Íüþòîíà-ÊîòåñàÄëÿ ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëèðîâàíèÿ r(x) ôóíêöèè f (x) èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì p(x) ó íàñ áûëîïîëó÷åíî âûðàæåíèåf (N +1) (η)NN +1 (x) ,(N + 1)!r(x) ≡ f (x) − pN (x) =ãäå òî÷êà η çàâèñèò îò x : η = η(x) è NN +1 (x) =ZbRN (f, 1) =NQZbrn (x)dx =a(x − xi ) .
Òàêèì îáðàçîìi=0af (N +1) (η)NN +1 (x)dx ,(N + 1)!è||f (N +1) ||C[a,b]|RN (f, 1)| ≤(N + 1)!ZbNN +1 (x)dx .a ÷àñòíîñòè, åñëè f (x) ýòî ïîëèíîì ñòåïåíè deg f ≤ N òî RN (f, 1) = 0 , òî åñòü äåéñòâèòåëüíîêâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà-Êîòåñà ñ (N + 1) óçëîì òî÷íà äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåéN.4.3 Ôîðìóëû Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ4.3.1 Ïðåäåëû àëãåáðàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòèÂûÿñíèì êàêîé ìîæåò áûòü àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè M êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ñ L óçëàìèx1 , x2 , .
. . , xL :Zbf (x)ρ(x)dx ≈LXλk f (xk ) .(6)k=1a×àñòè÷íûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåòËåììà.à) äëÿ ëþáîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû M ≤ 2L − 1;á) äëÿ ëþáîé äàííîé ñèñòåìû óçëîâ {xi }Li=1 ñóùåñòâóþò òàêèå λk , ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷-íîñòè M ≥ L − 1.Äîêàçàòåëüñòâî.à) Ñíà÷àëà ïðèâåäåì íåñòðîãîå ðàññóæäåíèå. Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ êâàäðàòóðíîéôîðìóëû. Îíî ðàâíî 2L (L âåñîâ λi è L óçëîâ xi ). Ïîëèíîì æå ñòåïåíè M ñîäåðæèò M + 1 ïàpàìåòp.Ïðèðàâíÿåì ýòè âåëè÷èíû: M + 1 = 2L, òî åñòü M íå ìîæåò ïðåâîñõîäèòü 2L − 1.Ñòðîãîå æå äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû ïðîñòî ïðåäëîæèì ïîëèíîì ñòåïåíè 2L, äëÿ êîòîðîãîLQ(6) íå ìîæåò áûòü òîæäåñòâîì. Äåéñòâèòåëüíî ïóñòü f (x) = [ (x − xi )]2 , òîãäà f (x) ≥ 0 è ïîñêîëüêó âåñi=138ρ(x) íåîòðèöàòåëåí è íå ðàâåí òîæäåñòâåííî íóëþ, òîïîñêîëüêó f (xk ) = 0.á) Ââåäåì ìîìåíòûRbaf (x)ρ(x)dx > 0, ñ äðóãîé ñòîðîíûLPk=1λk f (xk ) = 0,Zbxl ρ(x)dx .cl =aÅñëè (6) ñòðîãîå ðàâåíñòâî äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè äî M , òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî:Zbxl ρ(x)dx = cl =LXλk xlk , l = 0 , 1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
