Буслов, Яковлев - Численные методы. 1. Исследование функций (947495), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ïåðèîäè÷åñêèé ñïëàéí S (ρ) (a) = S (ρ) (b) , ρ = 0 , 1 , 2 .Âîïðîñ. Ïî÷åìó â ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêîãî ñïëàéíà óêàçàíî 3 óñëîâèÿ, à íå 2 ... èëè èõ âñå òàêè 2?Ñâîéñòâî ìèíèìàëüíîé êðèâèçíûÂûäåëåííîñòü åñòåñòâåííîãî ñïëàéíà îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî îí èìååò ìèíèìàëüíóþ ñðåäíþþ êðèâèçíó ñðåäèâñåõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ çàäàííîé èíòåðïîëÿöèîííîé òàáëèöå. Èìåííî, ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà (Õîëèäåé).
Ïóñòü ∆ = [a, b], a = x0 < x1 < . . . < xN = b è {yi }Ni=0 íåêîòîðûå ÷èñëà. Ñpåäèâñåõ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé F , òàêèõ ÷òî f (xi ) = yi , f 00 (a) = f 00 (b) = 0, íàRbåñòåñòâåííîì ñïëàéíå S31 äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà F(f ) = (f 00 (x))2 dx .a182Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ∈ C[a,b]è óäîâëåòâîðÿåò òàáëèöå {xi , yi }Ni=0 . Îáîçíà÷èì äëÿ óäîáñòâà çàïèñèS(x) = S31 (x). Ðàññìîòðèì ðàçíîñòüZb{(f 00 )2 − (S 00 )2 }dx =F(f ) − F(S) =aZbZb00=00 2(f 00 S 00 − S 002 )dx = I1 + 2I2 .(f − S ) dx + 2aaÎ÷åâèäíî I1 ≥ 0 . Ðàññìîòðèì âòîðîé èíòåãðàë:Zb00I2 =0000(f − S )S dx =(f 00 − S 00 )S 00 dx .i=1xaÂîçüìåì åãî ïî ÷àñòÿì:N ZxiXi−1NN ZxiXX¯0000 ¯xi(f − S )S xi−1 −(f 0 − S 0 )S 000 dx .i=1i=1xi−1Ïåðâàÿ ñóììà pàâíà 0 èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, ïîýòîìóI2 = −NXZxi000(f 0 − S 0 )dx =Sii=1NXi=1xi−1¯x i000Si (f − S)¯xi−1 = 0 ,ïîñêîëüêó çíà÷åíèå òðåòüåé ïðîèçâîäíîé íà i-îì ïðîìåæóòêå ïîñòîÿííî, à f è S èíòåðïîëèðóþò òàáëèöó.Òàêèì îáðàçîì, F(f ) − F(S) ≥ 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü êóáè÷åñêîãî ñïëàéíàÏîêà ìû çíàåì, ÷òî äëÿ ñïëàéíà S31 (x) ñ çàäàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè êîëè÷åñòâî íåèçâåñòíûõ,êîòîðûå íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü (ò.å.
ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ) ñîâïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì óðàâíåíèé. Òàêèìîáðàçîì, â ïðèíöèïå, ñïëàéí S31 (x) ìîæåò ñóùåñòâîâàòü. Îäíàêî ñîâïàäåíèå êîëè÷åñòâà óðàâíåíèé è êîëè÷åñòâà íåèçâåñòíûõ íå ãàðàíòèðóåò íè ñóùåñòâîâàíèÿ íè åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíîýòîò âîïðîñ.Âîçüìåì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ îò ñïëàéíà S31 , êîòîðûé äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòîS(x). S 00 (x) ýòî ëîìàíàÿ, ò.å. êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Mi çíà÷åíèÿâòîðîé ïðîèçâîäíîé îò ñïëàéíà â òî÷êàõ xi : Mi = S 00 (xi ) , i = 0 , 1 , .
. . , N . Ïîñêîëüêó íà ëþáîì ïðîìåæóòêå [xi−1 , xi ]S 00 (x) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè (xi−1 , Mi−1 ) è (xi , Mi ), òîîíà î÷åâèäíî èìååò âèä:S 00 (x) = Mix − xi−1xi − x+ Mi−1,xi − xi−1xi − xi−1x ∈ [xi−1 , xi ] .Îáîçíà÷èì xi − xi−1 = hi , i = 1 , . . . , N , òîãäàS 00 (x) =MiMi−1(x − xi−1 ) +(xi − x) .hihiÈíòåãðèðóÿ ïî ïðîìåæóòêó [xi−1 , xi ] , ïîëó÷àåìS 0 (x) =Mi−1Mi(x − xi−1 )2 −(xi − x)2 + di ,2hi2hi19è èíòåãðèðóÿ åùå ðàç, ïðåäñòàâèì ñïëàéí â âèäåS(x) =MiMi−1didi(x − xi−1 )3 +(xi − x)3 + (x − xi−1 ) − (xi − x) + ci .6hi6hi22Êîíñòàíòû di è ci ïîêà íåèçâåñòíû.
×òîáû èõ íàéòè, âîñïîëüçóåìñÿ ñîáñòâåííî óðàâíåíèÿìè èíòåðïîëÿöèèS(xi−1 ) = yi−1 è S(xi ) = yi , êîòîðûå â íàøåì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèäMi−1 2 dihi − hi + ci = yi−1 ,62Mi 2 dih + hi + ci = yi .6 i2Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ ýòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåìci =yi + yi−1Mi + Mi−1 2−hi ,212di =yi − yi−1Mi − Mi−1−hi .hi6Tàêèì îáðàçîì, ci è di ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç âåëè÷èíû Mi , åñëè áû ïîñëåäíèå áûëè èçâåñòíû.×òîáû èõ îïðåäåëèòü, èñïîëüçóåì íåïðåðûâíîñòü S 0 (x) âî âíóòðåííèõ óçëàõ x1 , . .
. , xN −1 . Ýòè óñëîâèÿçàïèñûâàþòñÿ â âèäåMi hiMi hi+1+ di = −+ di+1 .22Ïîäñòàâèì ñþäà âûðàæåíèå äëÿ âåëè÷èí di :Miyi − yi−1Mi − Mi−1hi +hi =−2hi6=−òî åñòüMiyi+1 − yiMi+1 − Mihi+1 +−hi+1 ,2hi+16hihi+16yi+1 − yiyi − yi−1Mi−1 + 2Mi +Mi+1 =(−),hi + hi+1hi + hi+1hi + hi+1hi+1hii = 1 , 2 , . . .
, N −1 . Ýòî ñèñòåìà èç N −1 óðàâíåíèÿ ñ (N +1)-îé íåèçâåñòíîé âåëè÷èíîé M0 , M1 , . . . , MN .Åå íåîáõîäèìî äîïîëíèòü äâóìÿ óðàâíåíèÿìè èñõîäÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé . Âîçüìåì, ñêàæåì, îäíîðîäíûåãðàíè÷íûå óñëîâèÿ M = 0,0 M = 0.NÌàòðèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìå ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé, òðåõäèàãîíàëüíà è, ïðè ýòîì, ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì.
Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà D (âîîáùå ãîâîðÿ êîìïëåêñíàÿ)íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì, åñëè äëÿ ýëåìåíòîâ dij ëþáîé ñòðîêè âûïîëíåíî|dii | >NX|dij | .j6=iÏðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà (Ãåðøãîðèí). Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû D = {dij }Ni,j=1 ëåæàò â îáúåäèíå-íèè êðóãîâ|z − dii | ≤X|dij | .j6=iÏðÿìûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû Ãåðøãîðèíà ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèö ñ äîìèíèðóþùåé ãëàâíîéäèàãîíàëüþ, ïîñêîëüêó äëÿ òàêèõ ìàòðèö óêàçàííîå îáúåäèíåíèå êðóãîâ íå ñîäåðæèò òî÷êó z = 0, è,ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà íå èìååò íóëåâîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, à çíà÷èò è íåâûðîæäåíà. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí Mi îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà, òåì ñàìûì ñóùåñòâîâàíèå è20åäèíñòâåííîñòü êóáè÷åñêîãî ñïëàéíà ìîæíî ñ÷èòàòü äîêàçàííûìè. Ñàìó æå âîçíèêøóþ òðåõäèàãîíàëüíóþñèñòåìó óäîáíî ðåøàòü ìåòîäîì ïðîãîíêè, êîòîðûé ðàññìàòðèâàåòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàâå (ñì. "×èñëåííûå ìåòîäû II: Ðåøåíèå óðàâíåíèé").
Òàì æå ïîêàçàíî (íåçàâèñèìî îò òåîðåìû Ãåðøãîðèíà), ÷òî äëÿìàòðèö ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì ìåòîä ïðîãîíêè çàâåäîìî ðàçðåøèì.Áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñïëàéíîâ ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèÄëÿ âñÿêîé èíòåðïîëÿöèîííîé òàáëèöûx0 , x1 , . . . , xNy 0 , y1 , . . . , y Nñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êóáè÷åñêèé ñïëàéí S31 (x) = S(x), êîòîðûé åé óäîâëåòâîðÿåò:S(xi ) = yi ,i = 0, 1, ... , N ,è óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (íàòóðàëüíûé èëè åñòåñòâåííûé ñïëàéí)S 00 (x0 ) = S 00 (xN ) = 0 .Âàðüèðóÿ âåëè÷èíû yi (ñ÷èòàÿ, ÷òî óçëû xi ôèêñèðîâàíû), ìû ïîëó÷èì ïðîñòðàíñòâî M (x0 , x1 , . . . , xN )èíòåðïîëÿöèîííûõ åñòåñòâåííûõ ñïëàéíîâ ðàçìåðíîñòè dim = N +1 c óçëàìè {xi }N0 .
 ñàìîì äåëå, ââåäåìâ êà÷åñòâå áàçèñà â M ñëåäóþùèå ñïëàéíû: {Sk (x)}Nk=0 : Sk (xi ) = δik i = 1 , . . . , N . Êàæäûé òàêîéñïëàéí Sk (x) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííåí. Ðàññìîòðèì êîìáèíàöèþS(x, {αi }Ni=0 ) ≡NXαk Sk (x) .k=0Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S(x, {α}) ≡ 0 , òîãäàS(xi , {α}) = Si (xi )αi = 0è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå αi = 0 , ò.å. ñïëàéíû Si (x) ëèíåéíî íåçàâèñèìûå, è îíè ïîêðûâàþò âñå M. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîé êóáè÷åñêèé ñïëàéí S ∈ M (x0 , . .
. , xN ) åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèì â âèäåS(x, {y}) =NXyk Sk (x) .k=0À êàê áûòü â ñëó÷àå ñïëàéíîâ ñ íåíóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ñêàæåì ñ óñëîâèÿìè S 00 (x0 ) = A,S 00 (xN ) = B ? Ìíîæåñòâî òàêèõ ñïëàéíîâ óæå íå îáðàçóåò ïðîñòðàíñòâî, ïîñêîëüêó íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì(ñóììà òàêèõ ñïëàéíîâ íå óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì).
×òîáû îïèñàòü ýòó ñèòóàöèþ, ïîñòðîèìñïëàéí ñïåöèàëüíîãî âèäà S (0,N ) (x) òàêîé, ÷òî1) S (0,N ) (xi ) = 0 , i = 0, 1, 2, . . . , N ;2) S (0,N ) (x) óäîâëåòâîðÿåò çàäàííûì íåîäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì.Òàêîé ñïëàéí ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííåí ïî äîêàçàííîìó íàìè óòâåðæäåíèè î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè êóáè÷åñêîãî ñïëàéíà. Ïðîèçâîëüíûé ñïëàéí ñ óçëàìè {xi }Nè ñ íåîäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè0óñëîâèÿìè ïðåäñòàâèì åäèíñòâåííûì îáðàçîì â âèäåS(x) = S (0,N ) (x) +NXyk Sk (x) ,k=0ãäå Sk ðàíåå ïîñòðîåííûå áàçèñíûå ñïëàéíû ïðîñòðàíñòâà åñòåñòâåííûõ ñïëàéíîâ. Òàêèì îáðàçîì, êóáè÷åñêèå ñïëàéíû îïèñàíû ïîëíîñòüþ.212.2 Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå2.2.1 "Íàèâíûé"ïîäõîäÏðèáëèæåíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà èëè ñ ïîìîùüþ ñïëàéíà îñíîâàíî íà èñïîëüçîâàíèè çíà÷åíèé èíòåpïîëèpóåìîé ôóíêöèè â íåêîòîðîì êîëè÷åñòâå òî÷åê, è êàê ñïëàéí, òàê è èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì äîëæíû â ýòèõ òî÷êàõ èìåòü çíà÷åíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè èíòåpïîëèpóåìîé ôóíêöèè.
Ìîæíî, îäíàêî, ðàññìàòðèâàòü ïðèáëèæåíèÿ íå ñâÿçàííûå æåñòêî ñî çíà÷åNPf (k) (x−x0 )íèÿìè ôóíêöèè â íàáîðå òî÷åê.  ÷àñòíîñòè îòðåçîê ðÿäà Òåéëîðà-Ìàêëîðåíà(x−x0 )k ìîæåòk!k=0äîñòàòî÷íî õîðîøî ïðèáëèæàòü ôóíêöèþ â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàçëîæåíèÿ x0 (ñ òî÷íîñòüþ o((x − x0 )N ) )è, ïðè ýòîì, íå áûòü ñâÿçàííûì ñ èíòåðïîëÿöèîííîé òàáëèöåé (îí îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü çíà÷åíèÿìè ïðîèçâîäíûõ â îäíîé åäèíñòâåííîé òî÷êå x0 ). Îòðåçîê ðÿäà Òåéëîðà-Ìàêëîðåíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èçñïîñîáîâ àïïðîêñèìàöèè.
Áîëåå îáùèìè àïïðîêñèìàöèÿìè ÿâëÿþòñÿ àïïðîêñèìàöèè Ïàäå [6].Ïóñòü ôóíêöèÿ f(âîîáùå ãîâîðÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ) çàäàíà ñâîèì ðÿäîì Òåéëîðà. Äëÿ óäîáñòâàáóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êîé ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íóëü:∞Xf (z) =ci z i .(4)i=0Íà ýòîò ðÿä ìîæíî ñìîòðåòü è êàê íà ôîðìàëüíûé (ò.å., âîçìîæíî, è íå ñõîäÿùèéñÿ íèãäå íè ê êàêîéôóíêöèè).Äàäèì ñíà÷àëà ïðåäâàðèòåëüíîå îïðåäåëåíèå, à òî÷íîå íåñêîëüêî ïîçæå."Íàèâíîå"îïðåäåëåíèå. Íàçîâåì [L/M ]f -àïïðîêñèìàöèåé Ïàäå îòíîøåíèå äâóõ ïîëèíîìîâLP[L/M ]f =pi z ii=0MP, q0 = 1 ,i=0(5)qi z iðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà êîòîðîãî, ñîâïàäàåò ñ ïåðâûìè êîýôôèöèåíòàìè ðÿäà f íàñòîëüêî, íàñêîëüêîýòî âîçìîæíî.Âñåãî ìû èìååì L + M + 1 ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ (ò.ê. q0 = 1), ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî íàäåÿòüñÿ íà òî,÷òî èõ âûáîðîì óäàñòñÿ äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùåãî ðàâåíñòâàLP∞Xci z i =i=0i=0MPi=0Ïðèìåð.
Ïóñòüpi z i+ O(z L+M +1 ) .qizi111f (z) = 1 − z + z 2 − z 3 + · · · .234Ëåãêî âèäåòü, ÷òî1[1/0]f = 1 − z = f (z) + O(z 2 ) ,2[1/1]f =[0/1]f =1= f (z) + O(z 2 ) ,1 + 12 z1 + az= (1 + az)(1 − bz + b2 z 2 − · · ·) = 1 + (a − b)z + (b2 − ab)z 2 + · · · ,1 + bzîòêóäà a − b = −1/2 , b(b − a) = 1/3 , òî åñòü a = 1/6 , b = 2/3 , è[1/1]f =1 + 61 z= f (z) + O(z 3 ) .1 + 23 z22(6)Äîìíîæèì ðàâåíñòâî (6) íà ïîëèíîì Q.ÃM!Ã ∞!LXXXiiqi zci z =pi z i + O(z L+M +1 ) .i=0i=0(7)i=0Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ z L+1 , z L+2 , · · · , z L+M ðàâíû íóëþ.
Ñîñ÷èòàåì êîýôôèöèåíòûïðè ýòèõ ñòåïåíÿõ, ïîëîæèâ cj = 0 ïðè j < 0.z L+1 :cL+1 q0 + cL q1 + · · · + cL−M +2 qM −1 + cL−M +1 qM = 0 ,z L+2 : cL+2 q0 + cL+1 q1 + · · · + cL−M +3 qM −1 + cL−M +2 qM = 0 ,(8)− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−z L+M :cL+M q0 + cL+M −1 q1 + · · · + cL+1 qM −1 + cL qM = 0 .Ïîñêîëüêó q0 ìû ïîëîæèëè ðàâíûì 1, òî èìååì M óðàâíåíèé íà M íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ qi , êîòîðûåóäîáíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:cLcL−1···cL··· cL+1...······cL+M −1cL+M −2···cL−M +2cL−M +3···cL+1cL−M +1q1cL−M +2 q2 .. .···qMcLcL+1 cL+2 = −...cL+M.Åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ôèãóðèðóþùåé â ýòîé ëèíåéíîé ñèñòåìå, íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî èç íå¼ìîæíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû qi .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
