Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 98
Текст из файла (страница 98)
1 1 Э) (а) ~ха-'(1 — х)5-'»(х, (б) ~, :ха — '(1-х)5 — '!их»(х. с с Р е ш е н и е. (а) При а 1 особая точка О, при Ь - 1 особая точка 1. Разложим 1 1 2 1 предложенный интеграл ва два, например, так: ~ = ~ + ~. Так как подявтео с 2 гральная функция при х-0 является бесконечно большой (если о 1) порядка 1 — а, то первый интеграл сходится люль при условии 1- а 1, т. е.
а =.О. 483! 589 1 2. интеГРАлы От ньОГРаничинных Фунгсций Аналогично, второй сходится при Ь О. Итак, предложенный интеграл сходится в том н только в том случае, если одновременно а О и Ь О. (б) По отношению к точке х О положение осталось прежним. Достаточно 1 рассмотреть интеграл ~ и притом в предположении аок! (при а 1 интеграл о существует, как собственный). Рассуждения те же„что н в примере 3) и' 482. Интеграл сходится при а О, как в случае (а). Что касается точки х=1, то здесь положение юменилосгч так как !их при 1 х 1 является бесконечно малой 1-го порядка. Интеграл ~ существует 2 при Ь вЂ” 1.
3 Окончательно, условия сходимости предложевиого интеграла: а О, Ь вЂ” 1. зш» — гн<ф 4) ~ 1 4 х соз е! л о гхо — г г 1пх 5) (а) ~ ~(х, (б) ~ — нх, (в) ~хя 'е "о!х. 1+х 1+хе о о о Р е ш е н и е. (а) Особые точки: и (при а 1) также О. Если разбить интеграл: 1 - ~+ ~, то первый сходится при а О (бесконечно большая порядка 1-ам1 о о относительно х), а второй — при а 1 ~бесконечно малая порядка 2- а 1 относи- 1! тельно — ~.
Итак„интеграл сходится при О в 1. х! 2 (б) Особые точки и О, ~ ~+~. Взяв О Л 1, имеем о о 1пх ! х" 1пх — — — О 1+ хе хз 1+ хо при х»О, Решение. Так как случай Ь О приводится к случаю Ь»О подстановкой Ое=я — Р„то можно огРаничиться предположением: й О. Кроме того, для сходи- мости интеграла во всяком случае необходимо: л»О — иначе при!о О (или Р-л) подинтегральная функция становится бесконечно большой порядка ~1. Если Ь 1, то этого условия и достаточно. При 8=-1 интеграл сходиться не может, ибо прн е -л имеем бесконечно большую порядка 1.
1) Пусть, наконец, Ь 1. Тогда налицо еще одна особая точка. к=атосов(- — ), Ь) при 8-л подинтегральное выражение обращается в бесконечность порядка л, значит для сходимости интеграла нужно еше потребоваттс л 1. Итак, интеграл сходится, если 1) О*нй 1 и л:-О или 2) /с~1 и О л 1; в прочих же случаях — расходится.
!484 ГЛ. ХН1. НЕСОБСТЯЕНИЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 сходится. Пусть теперь 1 д 2, тогда е 1лх 1 хх !лх — — — — — О при х 1+хе хл 1+хе хг л значит, и ~ сходится. Отсюда следует ох од им ос т ь 1 о 1 (в) Особые точки иО (при р 1).~существует лишьприр О ~бесконечно малая е 11 порядка 1-р по отношению к — !. ~ существует, каково бы ни было р, так как, х! 1 взяв 2 1, имеем хя Ге Х ха+ Р- ~ О при х 1/хх ах существует при р»О. е В следующих двух упрюкнениях рассматриваемые в конечном (нли бесконечном) промежутке (а, Ь! функции предполагаются имеющими в нем (или в каждой его конечной части — если промежуток бесконечен) разве лишь конечное число особых точек.
6) Доказать, что (а) если интегрируема функдия Уз, то и сама функция у" необходимо будет абсолютно иатегрируема (про такую функцию говорят, что она п1втегрируема с квадратомь); (б) если обе функции г и К интегРируемы с квадратом, то и сумма лх 1" та также интегрируема с квадратом; (в) при тех же предположениях и произведение г"у будет (абсолютно) интегрируемой функцией. По теореме сравнения все это просто вытекает из неравенств !+Уз гз+кй !у'! — --, и-'К)г= иХ'->уз), Ы =, 2 2 7) Для функций указанного класса могут быть установлены те же интегральные неравенства, какие были выведены в и' 321 в предположении интегрируемости рассматриваемых функций в собственном смысле.
Например, если единственной особой точкой во всех случаях является Ь (которое может быть и ), то стоит лишь написан то или иное интегральное неравенство для промежутка (а, х,], где а х, Ь, а затем перейти к пределу при х„-Ь, чтобы установить справедливость неравенства и для несобственных внтегралов. При етом из сходпмости интегралов в правой части неравенства вытекает сходимость интегралов в леной части, сходно с тем, что мы имели в 375, 8) по отношеншо к бесконечным р1щам. 484. Главные зпачевив весобствевпьпг интегралов. Допустим, что в промежутке [а, Ь! задана функция Г(х), которая имеет одну лишь особую точку с в н у т р и 1 2.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 591 промежутка и иитегрнруема (в собственном смысле) в каждой части его, не со- держащей с. Несобственный интеграл от о до Ь определяется равенством с — Ч Ь ~у'(х) с(х = ! ип ( ~ + а о а сэя' причем предел должен существовать при независимом пред ельн ом переходе по «1 и по с)'. В некоторых случаях, когда этот предел не существует, оказывается полезным рассмотреть предел того же выражения, если с) и «)' стремятся к нулю, оставаясь равными: с)'-«) О. Если этот предел существует, его называют (по примеру К о ш и) главным значением несобственного интеграла Ь Лх) ссх и обозначают символом а с —, Ь Ч. р. ~ )(х) с( = 1ип Ц + ~ ) .
а с+с (Ч Р. — начальные буквы от слов «Ча(епг рппс(ра1е«, означающих по-фр ш Ь ° главное значение«). В этом случае говорят, что иисисграл ~г(х) с(х суи)вон«вулис в Ь а смысле главного значения. Если интеграл Р(х) с(х существует как несобственный, а то он, очевидно, существует и в смысле главного значения; обратное же, вообще говоря, неверно.
Рассмотрим и р и м е р ы. Ь г с(х 1) Интеграл ~ (о .емЬ) как несобственный не существует, ибо выражение х-с а с- С Ь (х г (х Ь- — + ~ — =1и — +1и —, х с х с с — и «1 а сь с не имеет определенного предела, если «) и Э' стремЯтся к О н е з а в и с и м о д р у г о т д р у г а. В то же время, если связать «) и с)' требованием с)' =ад то получим выражение с-Ч Ь Ь вЂ” с а с+С иа деле не зависящее от сь так что главное значение интеграла существует. Ь г с(х ЬЧ. р.
~ — =!и —. х — с с-и а бог ГЛ. Хи!. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ь г Их 2) Интеграл ~ (а с Ь, лы2) ири л четном имеет бесконечное значение, (х-с)л а а при л нечетыом вовсе не существует, как несобственный. Рассмотрим выражение «- ! з «(х г Фх 1 г 1 1 1 1 + +(-П. (х с)..!'(х с).-л 1!(а с)~-«(Ь с)л-«ту~-~ ту~4 При л нечетном оно сводится к постоянному числу; таково же будет в этом случае и главное значение: ] а(х 1 г 1 1 и, р, (л — нечегысе). (х-с)" л — 1 Ца-с)л ' (Ь-с)" Ч а 3) Рассмотрим, далее, расходящийся интеграл «(В (О-Ь П.
Ь-зщ В с Особой точкой будет а агсз!и /с, и при В л подинтегральная функция обращается в бесконечность 1-го порядка. Имеем: «(В 1 Ь вЂ” ыи В 1 яи л-2!и  — = — 1и !и У1-Ус«!1-/сз!ив-)(1-ЬасозВ! ~/1-/с« !1 ~~з(к-В)! Поэтому «-ч 2 1 г ащи-з!и(л-«)) 1-сози1 +)— )г) ь«! з!и(и+«))-з!ил зща 3 ' е «чч При р-й выражение под знаком логарифма в первом слагаемом стремится к 1 (в чем нетрудыо убедиться, раскрывая ыеопределевиость по правилу Л о п и т а л я).
Окончательно, 2 (В 1 1- ~1-Ь1 Ч. р. = 1п (О !с 1). Ь-зщ В з(!в Ь е 4841 593 1 э. интеГРАлы От неОГРАниченных Функций В некоторых случаях можно наперед установить существование главного значения интеграла. Остановимся на одном таком случае. Пусть дан интеграл ь г(х а где функция г(х) непрерывна в промежутке [а, б[ и обращается в 0 в одной лишь точке с внутри промежутка.
Предположим, что в окрестности точки с существует первая производная г"(х), не обращающаяся в 0 при х= с, а в этой точке существует и вторая производная г'а(с). 1 Так как — — при х с является бесконечно болыпой 1-го порядка, и притом г (х) меняя знак при прохождении х через с, то предложенный интеграл не существует. Покажем, что он существует в смысле главного значения. Положим 1 1 +р(х), г"(х) г'(с)(х — с) зта функция для ха с непрерывна. Вблизи х= с имеем, по формуле Тейпа р а с дополнительным членом в форме П е а н о [124[: (х — с)а у'(х) =г'(с)(х- с)-ь [г' "(с)+к(х)1. 2 где а(х)-0 при х с.
Тогда, очевидно, 1 — [У"(с)+а(х)) 2 р(х)— Г'"(с) + гг(х) /'(с) ~ 3'(с) + (х - с)] так что (а(х) вблизи х с остается ограниченной и, следовательно, интегрируема 1 даже в собственном смысле. Так как для функции нитеграл существует г'(с)(х — с) в смысле главного значения [см. 1)[, то это справедливо и относительно предложенного интеграла. С помощью этого признака, например, легко установить существование главного значения в примере 3). Другим примером может служить определение одной важной неэлементарной фущщии, так называемого аинтегралъного логарифмам а а(х Ва= ~ —.
.1 1пх с Этот интеграч сходится лишь при 0 а 1; прн л» 1 его понимают именно в смысле главного значения. Нетрудно распространить понятие главного значения и на случай любого конечного числа особых точек в н у т р и рассматриваемого промежутка. До свк пор мы исключали возможность особенностей на концах промежутка; можно этого не делать, если только при построении главных значений зтвх именно особенностей в расчет не принимать. 4) Пусть, например, предложен заведомо расходящийся интеграл (а 0) 2 а Эв Г. М. Фннганганьн, г. Н ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
