Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 100
Текст из файла (страница 100)
487. Теоремы о среднем значении. Первая теорема о среднем значении в первоначальной форме [304, 9'] существенно предполагает функцию Ях) ограниченной, а промежуток конечным, и потому не может быть перенесена на случай несобственного интеграла. В обобщенной же форме [304, 10'] ее перенести можно: Пернан теорема о среднем значении. Пусть функции Дх) и 8(х) обе интегрируемы в промежутке [а, Ь], причем Ях) ограничена: т~Ях)-М, а Б(х) не меняет знака; тогда и функция Дх).8(х) интегрируема и ь ь ]Як) я(х) дх=и] 8(х) а[х, где т~р~М. Существование интеграла вытекает из заключительной теоремы и' 475 и аналогичной ей теоремы и' 482.
Само же равенство доказывается формально так же, как и для собственных интегралов. Если функция Лх) непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь], то за т, М можно взять наименьшее и наибольшее значение у'(х) в [а, Ь], и множитель )ь оказывается равным одному из значений функции Лх): ~Дх) Б(х) дх =-Яс) . ]Г8(х) а[х, а а где с содержится в [а, Ь]. Это верно и в том случае, если промежуток [а„Ь] бесконечен, ибо теоремы Вейерш трасса и Больц а н о — К о ш и [85, Бл] для этого случая также справедливь1, в чем предлагаем читателю убедиться самому. Имеет место также [ср. 306, 14']: Вторил теорема о среднем значении. Пусте функция у(х) монотонна и ограничена в промежутке [а, Ь], а функция 8(х) интегрируема в этом промежупи1е, Тогда и функция у(х) я(х) также 4871 $ 3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ бо! иитегрируема, и ) Дх) й(х) Ах=Яа) ~я(х) йх-РЯЬ) ~Ях) Ах а а Ф (а-с*аЬ). Непрерывная в промежутке (а, ь-) функция ~й(х)Ых от А имеет а конечные границы т, М, так что (см. (3)) А т У"а(а) ~~а(х)Ях) ах М уа(а) а и, в пределе при А + т уа(а)~ ~У'а(х)(х) ИХ~М уа(а). а Отсюда ~~а(х)й(х) Ах=р )а(а) (т р~М).
а (4) А Но непрерывная функция ~ я(х)Ах достигает своих границ т, М и а принимает любое содержащееся между ними значение, т. е. ,и = ) й(х) ах, а где а $~ ь-. Полагая в (4) у'а(х)=Ях)-г(+ ) и подставляя только что найденное выражение для р, и придем к доказываемой формуле, Остановимся для определенности на случае, когда а конечно, Ь= х и других особых точек для е(х) нет. Существование интеграла вытекает из признака Абеля. Без умаления общности можно считать функцию Лх) у б ы в а ющ е й. Ввиду ограниченности ее, существует конечный предел Л+-)= 1ппу'(х). Тогда у'*(х) =Дх)-Я+ -)=О.
Для конечного промежутка (а, А) имеем (306, 13а): А ),У'а(х)я(х) АХ=У (а) ~ЯХ) Фх (а йаБА). а а ГЛ. ХН!. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 488. Интегрирование по частям в случае иесобствеввых интегралов. Пусть функпии и=-и(х) и рь ь(х) определены и непрерывны вместе со своими первыми проызводнььми во всех точках промежутка (а„Ь), исключая точку Ь (которая может быть равна и ч -). Тогда имеет место равенство !ь ~ и ь(р = ив ~ — ~ о ди, а а если под двойной подстановкой понимать разность йш и(х)в(х) — и(а)р(а). х ь При этом предполагается, что из т р е х входящих в равенство выражений (два интеграла и двойная подстановка) имеют смысл два: существование третьего отсюда уже вытекает.
В самом деле, взяв а. хо Ь, напишем обычную формулу интегрирования по частям для промежутка (а, хо), где все интегралы— собственные: и ар = (и(хо) р(хо) - и(а) в(а)) - ) р пги. а я Пусть теперь в этом равенстве хо стремится к Ь. По условию, два из входи!них в него выРажений имеют конечные пРеделы пРи х хо о. Следовательно, имеет конечный предел также третье выражение, и доказываемое равенство оправдывается с помощью предельного перехода.
489. Примеры. в в 2 2 2 !2 г сов х г х 1) ~ 1п в)п х г!х = х 1п ип х ~ — )' х. —,— ах = — 1! 42 !о ыпх гкх о о о интегрированием по частям здесь удалось свести несобственный интеграл к собственному и тем доказать существование несобственного интеграла (ср. 483, 2) (в)1. Ту ие особенность имеют и следующие примеры: г1пх г Р г агсгк х г агсгя х 2) (а) з! — ах= з1!и хаасс!ах =1п х агсгк х ~ — 1! ггх- — ) — лх, 1ч-хв !о х х о См.
замечание и' 477, 4891 $ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ б03 (б) Аналогично 1и х ~апл!пх 'СГ1 — ха о о Го!ох Гасоох соох ! Гсоох 3) [ — Фх — С! — — - " — — ! — ~ — - - ГСХ (а 0). х х х !а " х' а а а Так как и двойная подстановка и интеграл справа имеют смысл. то зтнм снова доказано существование интеграла слева [ср. 476, 477).
Г Лх) Соверщенно аналогично можно установыть существование нытеграла С! — сгх х" а (а, )Г О), если функция 1(х) непрерывна и интеграл от нее Е(х) ~Я(х) 4Х ограни- чен для всех х. а, [Это вытекает и нз признака Дир их ле.) Путем интегрирования по частям иной раз получаются рекурревтвые формулы, с помощью которых затем уже легко осуществляется вычисление предложенных иытегралов. Пронллюстрируем зто ыа следующих примерах (л и Сс — натуральные числа): 4) 1п= ~а-С.Сп ГСС о 1п= — и — С.гп .~-Л), 'Е С Сп — 'Ггс=и1п о о откуда 1п=л! Уничтожение двойной подстановки здесь (и в давьнейщих примерах) создает преимущество для применения формулы лнтегрироваыня по частям нмеыно к определенным интегралам (а ие к неопределевным).
5) Еп [е а" зсппхасх (а О). о Прежде всего, интегрируя по частям, найдем: 1, !" лг Е„= — — е ахыло х ~ + — [ е ахыпп ох соя хГСХ. а !о а о Так как двойная подстановка равна БУлю, то, снова прибегая к интегрированию по частям, получим далее: л !- п(л-1) г л г ЕП= - — а аХОЩП вЂ” ГХСОЗХ + — с! Е а" ОЩП 'ХСООаках- — ~ Е аиааПХССХ, аа !о а' аа о о (490 ГЛ.
ХН1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если заменить здесь соз'х на 1 — 11пк х, то легко прийти к рекуррентлой формуле: л(п-1) Еп = Еп — 1. п'+а' 1 1 Так как Е,= — и Е, = , то окончательна для случаев нечетного и четного а 1+ак п найдем соответственно: 2(г — 11 Ем-1. =— (1+ а')(1'"; а')... (271 — 1'+ ак) 2711 Еы= а(2'+ак)(414-а')...(2(гоеа') б) Легко распространяется на случай несобственнык интегралов и обобш е н н а я формула интегрирования по частям (311 (7)].
Пусть, например, предложен интеграл К=- ~ е (Р-.к)к.ьл(х) ах, о где р О и Еп(х) означает так называемый п-й миогочлен Чебышева — Лаге рр а (Н. Ьаяпепе) нл(хле — х) Еп(х) = ек. (п=о, 1, 2, ...), (хп Пользуясь упомянутой формулой, будем иметь к(л(хле к) ! ал — 1(хле к) к)л 'е Рк К= е Рк ° 1(х= 'е Рк. ! ( 1)п — ! хпе — к к(хп ( а1хп 1 1кхп ! ] !о о 1!ле-Рк -Р(-1)л ] хле "— к(х--рл) хпе (Р+1)ках ~х" о о и, окончательно ((см.
4)]: К= (р 1У+ Аналогично устанавливаются результаты: О, если кап е кьл(х) Ех(х) ах= ( (л])', если )г - и. о 490. Замена переменных в несобственных интегралах. Пусть функция ((х) определена и непрерывна в конечном или бесконечном промежутке (а, Ь) и, следовательно, ннтегрнруема в собственном смысле в каждой его части, не содержащей точки Ь, которая может быть и +-; зта точка, по предположению, является единственной особой точкой для функции у"(х). 491] 1 з. гервоврязовлнив нвсовствииных интигрллов 605 ~Ях) аех= ~У(р(Е)).р'(Е)с)Е, а и (5) в предположении, что существует один из этих интегралов (существование другого отсюда уже вытекает). Второй интеграл будет либо собственным, либо несобственным — с единственной особой точкой 0.
По теореме об обратной функции 183) ясно, что и Е можно рассматривать как монотонно возрастаютцую и непрерывную функцию от х в (а, Ь): 1=0(х), причем 1пп 0(х)=0. х и Пусть теперь хь и Еь будут произвольные, но соответствующие одно другому значения х и Е и из промежутков (а, Ь) и (и, р). Тогда с помощью замены переменной в собственном интеграле будем иметь ~~Ях) ЕЕх = ~ Я1о(е)) гр'(е) с)е. а а Если существует, скажем, второй из интегралов (5), то станем приближать произвольным образом х к Ь; при этом Е,=0(х) устремится к 0, и мы установим формулу (5), одновременно с доказательством существования интеграла слева. Наше рассуждение одинаково применимо в случае м о н о т о н н о убывающей функции ев(е), когда а -р.
так же исчерпываются и другие возможные случаи распределения особых точек. При расстановке пределов в преобразованном интеграле всегда следует помнить, что нижний предел и должен соответствовать нижнему пределу а, а верхний предел Е) — верхнему пределу Ь, независимо от того, будет ли и или =.р'. г аЕх 1 491. Примеры. 1) Интеграл ) (Еаа 1 ха) подстановкой х = —, га*- ')ам 2 дх — — аЕЕ приводится к ивтегралу Еа и й дŠ— 2 =21 1 )Е(1-Еа)(1-Е Е) З )Е(1-Еа)(1-нага) и У" Рассмотрим теперь монотонно возрастающую функцию х=ва(Е), непрерывную вместе со своей производной у'(Е) в промежутке [и„0), где Еу может быть и +, и допустим, что у(и) =а и р(р) =Ь.
Последнее равенство надлежит понимать в том смысле, что 1пп ва(е) =Ь. а При этих условиях имеет место равенство [491 1'Л. ХН1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5 аХ» ')/(х- а)(Ь вЂ” х) а подстановкой х= е сова(а+Ь вша й. Указание. Здесь в О, 1)=-, и искомый интеграл приводится к собствен- 2 ному интегралу а 5 2 ~а(р=л. е 3) Для установления скоднмости интеграла ~5)л х'нх выползем в нем замеау е аг переменной: х= )гг, ах= — - а=а=О, Ь=р= . Мы полу шм заведомо сходя- 2 )гг 1 гз)пг щийся (476 или 489, 3)] интеграл — ~ й, следовательно, сходится и предло- 23 )г; пенный интеграл. Интересно отметить, что лодинтегральная функцвя в нем при х - не стремится ни к какому пределу, колеблясь между — 1 и + 1. Аналогично исчерпывается вопрос о скодимости интеграла ~созха4х. В сле- с дующем примере усганавлнвается более общий результат.
4) Доказать, что интегралы ~ 5ю (Г(х)) а(х ~ со5 ()(х)) лх а а сходятся, если 1'(х) монотонно возрастает и стремится к при хпрежде всего, 1'(х) О для достаточно больших х и 1(х) монотонно возрастает; будем считать, что зто имеет место уже начиная с х=а. С помощью формулы конечных приращений получаем у(х-1-1) Г(х) Ч.у'(х+ 0) —.Г(а)+„('(х). следовательно, сама фушщия у(х) при х- . Введем новую переменную 1=у(х), так что х=йф), (х=у'(г) тг (и-Яа). Р- ), 1 если через Е обозначить функцию, обратную У: Но производная у'(1)= —, Г(х) 1 Здесь а х„Ь=, а= (1 ха собственный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
