Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Далее, при и О, л л Гзшг Г1 1 [е„[= ~ — г(1 ) — 18=— ляиг лл Л о с л ял х — Фх — 7(«е. х е (8) Теперь уже завершить доказательство существования интеграла проще ша языке г-дэ. Пусть А Юл; тогда существует такое натуральное число лл, что лен~А (я + 1)гг, причем, очевидно, л,в № Так как в промежутке от ллл до (иль 1)л функ- А ция зш х сохраняет знак, то интеграл ~ будет содержаться между интегралами л,л (л,+1)л е и ~, каждый нз которых лежит, в силу (8), между 1-е и 1+г.
Следовательно, о о А то же можно утверждать н об интеграле [ . Итак, окончательно, для А лглимеем е А ГВ1л х 1 — г(х- У е, -х Ю и, следовательно, абсолютная величина членов ряда стремится к нулю с увели- чением ик номера. Ряд [7) будет типа Лейбница и, по известной теореме [381), сходится. Обозначим его сумму через й Таким образом, длн любого ллб падается такое Ф, что прн л-М имеет место неравенство 4781 1 1. интег РАлы с БескОнечными пРеделАми 5бЯ так что существует о(п х гип х 4~ - 1оп ~ — 1(х =1 а. х А + Х о о Мы уже знаем (476), что этот интеграл сходится неабсолютно, т, е, Г 1З!П «! что интеграл ~ Фх расходится.
Этот факт также легко установить, абрах о щаясь к представлению интеграла в виде ряда. Действительно, если бы интеграл сходился, то имели бы, как н только что, (и+1)и и о и о Но ни+1 а(я+1)л, так что зга 1 1 2 — г(гэ "о(л г о11 = („„)Л 2 1 между тем как р1щ — Я вЂ” расходится! [Збб, 1)). л я+1 478. Примеры. 1) Исследовать сходимость интегралов: гаюгв х г и1г (а) ) — г(х, (б) ) (га а Ь 0), 'ггг(х-а) (и-Ь) о х а Ь х 1) г(х (в) ~" (, х а х ),Кх (г) ~" ' (ех-а " 2)х' Р е ш е н и е.
(а) Подвнтегральная функция прн х-+ является бесконечно малой первого порядка; ввтеграл расходится. (б) Бесконечно малы порядка ь/Ь1 интеграл сходится. (в) При х 0 подивтегрольная функция стремится к О. Разлагая в ряд, видим, что выражение а' Ь' — — — Ь -а' е -е = — + ° х' х' прн х-+- является бесконечно малой 2го порядка: интеграл сходится, (г) Рылагая еях в ряд, легко получить х 1 х' + ° ех е х 2 12 ' Здесь (яак и в предыдущем и ) нас интересует лвшь вопрос о сяодвмооти етого интеграла.
Ншке мы увидим, что его значение 1= — . 2 570 [478 ГЛ. Х1Н. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 так что при х-0 лодиитегральное выражение стремится к — —. При х- оно !2 будет бесконечно малой 2-го порядка. Интеграл с х о д и т с я. 2) То же для интегралов: г ха(х г !пх (а) ~хае а" ах (д, а 0), (б) 11, (в) 1! 4х, уеах - 1 х )1 ха - 1 а о 1 Решение. (а) Взявяюбое1 1, имеем: ХРЕ аХ Хх+и = — -0; Пхл еах интеграл сходится. (б) Заметим сначала, что прн х-0 подинтегральная функция стремится к О. Взяв теперь снова любое 2 1, получим: х 1 1 — -0 пи х Р ')1аах- 1 х )гааз.х (м+1) — х 011 1) интеграл сходится.
(в) При х 1 подинтегральная функция имеет пределом О. Пусть 1 2«2, 1 тогда отношение этой функции к — можно написать в виде: хт х1 1п х !и х 1 при х- х ~(ха 1 х* " !( "~'1 Ха интеграл сходится. 3) То же для интегралов: Г Зи) )'Х (а) (с О), (б) хае '*осах а(т (д, а 0). Кх(с+х) Указание. В обоих свучакх имеем произведение ограниченной функции на (абсолютно) интегрируемую. 4) Исследовать сходимссть интеграла (и 0) а а ~а(х ~ мп(Рха) 4)= ~ ~~ з!ЕДаха) а(Р~ Фх*. 1 О о Постараемся оценить порядок убывания при х- «виутреннегоа ИитвгРала. Полагая в нем /)эха =к, имеем: = — 1- 1 гыпг кпт (()'ха) Щу = — ) — — 4х. *,1у; о о а Примем здесь без доказательства, что гвнутрениийо интеграл представляет непрерывную функцию от х. 4781 57! 1 !.
интеГРАлы с еесконечными пРеделАми а Следовательно, интеграл ~зш(»1»ха) 4) по абсолютной величине не превосходит 1 О выражения —. Отсюда вытекает абсолютная сходимость предложенного них !' теграла. 5) Установить сходимость интегралов (а„х, 1 О) гх зш ах г з»п 2х (а) ) а»х, (б) ) еиа х — »(х йа-~-ха х О з!и х гз»п (хьх') (в) ~ ~)п х!» -- — »(х, (г) ~ »(х, х х" а О Р еш е н и е. Во всех случаях пользуемся признаком Дирикпе.
(а) г(х)= для достаточно больших х монотонно убывает и при х а»Ч-хз А стремится к нулю; интеграл ~ з!и ах а(х, очевидно, ограничен. 1 О (б) у(х) = —, монотонно убывая, стремится к нулю при х - )'(х) = ея" х.жп 2х, х" так что (если положить зш х = г) А яп А ! ~г"(х) а!Х) 2 ( ~ га!»(! 2е. а О (в) я(х) = ))п х ~ » —, лля достаточно больших значений х х (1п х)» — ' я'(х) (1-1и х) О, ха так что к(х) убывает, очевидно, стремясь 1 (г) фх)= —; г'(х) зш(х+х'), так что х" к нулю, и т.
д. (полагая я= хьх') АЬА 5!и х ! Ош(х+х!) »(х ! — Ж )»1+4г Г 3!пх Ввиду скодимости интеграла ~ сх (476), найдется постоянная В такая, что О при нсек А О А !(х ~ м»2(.. 572 [478 ГЛ. Х!11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Это выражение по абсолютной величине остается ограниченным, ввиду того, э1п г что внтеграа 1 — Аэ сходится (в чем можно удостовериться с помощью ', 'у'1+4х того же признака Дирихле), б) Доказать следующее утверждение: пусть йэункшт э"(х) определена в промежутке (а, + ) и имеет период и О, а 95уэтиия б(х) монотонна в отм же промежутке и стремится к 0 при х + Если штмграл (собственный) а.1.
~ у(х) с(х О, (9) то интеграл (несобственный) ~Дх) б(х) ь(х а (5) сходится. Если же. наоборот, у(х) бх=КнО, в (9*) (10) (а) Предположим саачала вьшолнеаие условия (9) и покажем, что интеграл ~у(х) бх в в этом случае остается ограниченным при всехА а, Валлу 314, 10) и замечания в 316, очевидно, и Г(х)Ах=0 (/с=1, 2, 3, ...), а 1'А - а) и тогда, каково бы ни было А»а, если взять й Е ~ — ), будем иметь ш ) Л я ьн е+н ) ) Г'(х) г(х ~ = ~ ! ! ~ н ~ 1Г'(х)/ бх = Ь, аЬ1 в П требуемое заюпочеиие следует непосредственно из признака Д и р и Х Л Е, то интеграл (5) сходшнся или расходится в зависимости от того, сходится или расходшнся интеграл 478) 1 1. ИИТЕГРАЛЪ| С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 573 ДУ( ) - — К]у(х) д 1 а (5а) по доказанному сходится.
Отсюда уже ясно, что интегралы (5) и (10) сходятся (или расходятся) одновременно. 7) Вся|а например, положить у'(х)-Бшех в промежутке [О, + ) и са-л, то видим, что интеграл Б!ла х |1х — Ф 0' 2 о следовательно, итнегрол БШа Х Р(х) С(х е (лри прежних нредноаоженилх относитеамя 8) сходится иаи расходится одновременно с интеграаом (10).
Напротив, интеграл Й ') ~ — — Бшэ х) л(х) а|х= — ~ сов 2х у(х) с[х '12 ~ 2) е о сходитса в о всяком случае, независимо от поведение интеграла (10)1 8) Исследовать сходимость интегралов дх г . дх (а) ~еамх.эш(эшх) —, (б) ~ е""" эш(Б|пх) —. х о о (а) Имеем а э е"а" яп(яп х) с(х= ~+ ~ =О, о о ибо второй из двух последних интегралов разнится от первого из них лвшь знаком (подстановка х-2л-х). В силу б), интеграп (а) сходится.
(б) На этот раэ е""" эш(япх) ФХ~О, е так что [см. 6)) — ввиду расходимости интеграла 6(х — (о 0) х а — интеграл (б) расходится. К (б) В предположении (9а), заменим У'(х) ва У'(х)- —. Так как эта функция удовлетворяет условвю типа (9), то интеграл [478 гл, хнь нвсокствиннын интвггллы 9) Исследовать интеграл зшх Ых хаоял х е на схоДимостть в зависимости от значений паРаметРа Д»О. Имеем тождество з!пх и!их яп'х х1ь -ял х х!' х" (хя ьяп х) Интеграл от первого члена справа а как мы знаем [470[, всегда сходится. Обратимся к интегралу от второго члена справа а1пк х Фх. (П) х1'(хя+з1л х) е Так как Б1ЛЗ Х з!пз х 1 хя(х1 -[-1) хя(х1'-!-з1п х) хг(хя — 1) с иим расходится и интеграл (11).
1 предложенный интеграл сходится при и — н расходится 2 т. е. расходится, а Окончательно, 1 при д»-. 2 1 Пример этот, в случае д» вЂ”, поучительно сопоставить с признаком сходи- 2 мости Д и р и х л е. Интеграл от первого множителя, зш х, ограничен, в то время как второй множитель стремится к 0 при х- . Нарушено лишь требование монотонности этого множителя, и предложенный интеграл оказывается расходящемся! 1 то при д — интеграл 2 1 при д» вЂ” рассмотрим 2 так же, как и интеграл от выражения справа, а с ним и интеграл (11) сходится; выражение слева: интеграл от него, в силу 7), ведет себя Ых (а О), хи(ля+1) а 4781 575 Ф 1.
ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 10) Исследовать интеграл х Ах 1фхд ып'х е на сходнмост!ч в зависимости от значений параметров а, р О. Обозначив подинтегральвую функцию через г"(х), будем иметь при изменении х между лл и (л-1-1)л: О!а)« !(лф1)л)" !Дх) ж 15-)(л+1)л)аз!и х 1 ! (лл)лзщпх Интегряруя эти неравенства, учтем, что (5+1) г(х ( ах л 1-1Ампех 3 1ТА5)п х ~/1~ е (12) мы получвм (АЕ1)ч л*л"+' 1 1)„яч+1 7'(х) !(Х» )(1 +(а+1)дла ' ')') Ч """' Теперь суммируем по л от О до я„ах! г - ( -;1)' +' ~ 7(х) Ах« ~ ,)1,(,,11)лла .=с ')1)+ллл яник ряда сходятся ил'! Расход"тся одн ! 5 — 58 е х* Ах (а, б 0).
14-хд) зщ х( с Метод рассуждения тот же, что и в предыдущем примере. Вместо интеграла (12) здесь придется рассматривать интеграл [см. 288, 14))! Ах 1л (Аф )гА5-1) -2 (А 1). 1Ч.А яп х ~/Аг 1 ч * Это легко вывести из 288, 1О) нла З)9, 9). то это же справедливо и для интеграла. Итак, предположенвый интеграл сходится при 1) 2(аф!) и расходится при ))ж2(а+ 1). 11) То же — для интеграла [470 57б Гл. хн1. несовственные ннгеГРАлы Так как при А- !Е(А+[)А«-1) 1ЕА то сравнивать предложенный внтеграл достаточно с рядами !и (лЧ-1)Р - !п лР ~~ л" — и 5;" (л+ 1)" — — — . (л+1)Р т. е., в конечном свези, с рядом: " !пл Ответ.
При р" а+1 интеграл сходится, а при ()оеа+! расходится. Примеры 6), 7), 9), 10), 11) принадлежат Х а р д и (О. Н. Нагбу). 12) Произвестя полное исследование случаев сходимости и расходнмости интеграла: Ах у= 1+х" (5!Ех~л в зависимости от зиачевий параметров и и Р" (а, Р" О). (а) Пусть ат1. Так как 1 1 1-Ьх ° (зшх[Р 1+х то в этом случае интеграл расходится [474). (б) Пусгь а~)5. Переходя к ряду [477), имеем в этом предположевии1 1 (л+ 1) л (л+1) Ах Аз 'У ~ Ъ' 14х«.(ошх)Р „оо 114(лл+х)«5!пех лл о «=о о 1 Но для 0 2 (и+ 1)л ( 1 )Р (ллшх)" ыпРх (и+1) и хР (и+1)РлР ( ~ 1, Цл+1)4 1 1 — Л вЂ”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
