Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 94
Текст из файла (страница 94)
а В самом деле, применяя изложенный критерий к интегралу ,'Дх)~ ах, который предполагаем сходящимся, видим, что для люк бого в О найдется такое Ао а, что ~ (Лх) ) Ах А А' А' лишь только А'»А А,, Но, очевидно, ! ~Дх)бх( -:.~)Дх)~ Ах и А А следовательно, для тех же А, А' тем более выполняется неравенство А' ~ Лх) ах ~е, А * В предположенви, что в каждом промежутке (и, А), А а, функции Т(х) интсгрирусма (в собственном смысле). Применяя к этой функции признак Боль цап о — Коши (Щ, можно условие существования несобственного интеграла представить в следующей форме: 476] 563 а 1.
ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ откуда, в силу нашего критерия, вытекает сходимость интеграла ~ Лх) бх. а Отметим, что из сходимости последнего интеграла, вообще говоря, не следует сходнмость интеграла ) ~Дх))с(х. Это обстоятель- а ство дает основание особо отличать следующий случай. Если наряду с интегралом ) )(х) г(х сходится и интеграл ) (у(х)( ах, то интеграл а а у'(х) г(х называют абсолютно сходящимся, а функцию у'(х) — лба валютно интегрируемой в промежутке (а, Р ).
Пример интеграла, сходящегося неабсолютно„будет дан в следующем и . По отношению к знак о переменной функции у(х) признаки и' 474 непосредственно неприложимы. Но можно попытаться с их помощью установить с х о д и м о с т ь интеграла от положительной функции ~((х)~: если эта функция оказывается интегрируемой, то функция у'(х) также будет интегрируема и притом а б с о л ю т н о.
Отсюда вьггекает и следующее предложение, которое часто бывает полезно: Если функция у(х) а б с о л ю т н о интегрируема в промежутке (а, -ь ), а функция я(х) ограничена, то и произведение их Лх) е(х) будет Функцией, а б с о л ю т и о интегрируемой в промежутке Для доказательства достаточно сослаться на неравенство !Лх).я(х))-Е (Ях)). Г совах 1 Пусть, например, дан интеграл г) — дх. Здесь функция р(х) " )аа-Ьха яа+х' о оказывается (абсолютно) интегрируемой, в то время как Е(х)=соках, очевидно, ограничена. Отсюда — абсолютная скоднмость предложенного интеграла. Как видно, для зна копер смен ной функции изложенные здесь соображения — в благоприятном случае — могут установить лишь абсолютную сходимость.
Если же интеграл от данной функции расходится или сходится, но не абсолютно, то различить эти случаи с помощью установленных здесь признаков нельзя. 476. Признаки Абеля и Дирихле. Мы дадим сейчас признаки другого типа, основанные на применении второй теоремы о среднем значении [306). Они аналогичны признакам Абеля и Дирихле 36' 1476 ГЛ. ХП1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ~ Ях)я(х) бх а (5) сходится.
Доказательство. По второй теореме о среднем значении, при любых А' -А -а, будем иметь А Е А' ~Ях)б(х)бх=б(А) ~Дх)а1х-ья(А') ~ Т(х)бх, (б) А А г где А 4«А'. Ввнду предположения (1), для произвольно заданного е »О найдется такое А - а, что при А А будет А' ( [ Лх) Ых ! —, [ Т(х) Ых ! А В связи с 2), зто дает нам, при А' А А„, А' А' ) ~ Дх)б(х) Ах ( «фА) ! ° ~ Т(х) Ых ! + / б(А') ! ° ! ~ Т(х) с(х ~ А А г ь — +Е, ° — =е, 2Е 2Ь что и влечет за собой [475[ сходимость интеграла (5).
Можно и в случае интегралов дать другую комбинацию условий, налагаемых на функции 7'(х) и я(х), при которых сходится интеграл от их произведения: Признак Дирихле. Пусть 1) функция Ях) интегрируема в любом конечном промежутке [а, А) (А -а), и интеграл (4) оказывается ограниченным: А ( ~ Ях) ах( ЕК а (К=сопзг, а А ) сходнмости бесконечных рядов [384[, ввиду чего удобно и их связать с теми же именами. Эти признаки позволяют устанавливать сходимость несобственных интегралов в ряде случаев„когда абсолютная сходнмость отсутствует.
Признак А б е л я. Пусть функции 7(х) и я(х) определены в промежутке [а, ), причем 1) функция Ях) интегрируема в зтом промежу1пке, так что интеграл (!) сходится (хотя бы и неабсолютно), 2) функция я(х) монопюпна и ограничена: фх)! «Т (Ь«сопзй а .х. ). Тогда интеграл 4761 565 1 1. интегРАлы с БескОнечными пределАми 2) фунлг)ия я(х) монотонна стремится к О лри х 1пп «(х) =О. Тогда интеграл (5) сходится. [Как читатель видит, прежнее условие (1) несколько ослаблено, ибо мы здесь не требуем сходемости интеграла (1); зато условие (2) заменено более сильиым1[ Доказательство проводится как и выше, исходя из равенства (б), но в этом случае первые множители я(А) и я(А') могут быть сделаны сколь угодно малыми, если взять А и А' достаточно большими, а вторые множители ограничены числом 2К.
Замечание. И здесь признак Абеля вытекает из признака Д и р и х л е. Действительно, для ограниченной монотонной функции я(х) необходимо существует конечный предел й( )=1пн е(х). Х Представив Дх).фх) в форме Лх) е(х) = Т(х) е(-) »- 1(х) [е(х) -е(-)[, видим, что для второго произведения уже вьгполняготся условия Д и р и х л е [см. 473, 3 и 4 [. Легко видеть, например, по при Я -О сходятся интегралы дх и ~ — „~й (а О). а а 1 Пользуясь прививкам Д и р и к л е, мы полагзему(х) =з1п х вли соя х„а е(х) = —.
х" Условия 1) и 2) выполяевы, так как л л зюхдх~ )сока — созА~~2 и, авзлогичяо, ~ ~созхах ае2, а а 1 и фувкция —, мовотоиио убывая, стремится к О при х хг ' В частности, отсюда при 2 = 1 вытекает скодимость ивтегрзла ~ з!п х х а (мы могли взять здесь а = О, потому что подзитегральияя фувкпвя при х-О имеет коиечвыя предел). Можно показать, что этот интеграл сходится л е а б с о л ю тв о, т. е. что ивтегрзл е 5бб [477 ГЛ. Хнг. НЕСОЕС(ЕЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ расходится. В самом деле, если бы этот юпеграл сходился, то ло теореме 1 л' 474 сходился бы и интеграл ' »1п» х — сх (я- О), х нбо в1п»хж[япх[. Иными словами, сходился бы интеграл 1 г 1-сов 2х 1(Х; 2 х а прибавив к нему заведомо сходяшяйся интеграл 1 ~ сов 2х 2 х а мы пришли бы к заключению, что сходится интеграл а чего на деле нет [470, 2)). 3 а м е ч а н н е.
Теперь, когда мы установили сходимость интегралов ~в1п х ~сов х а а мы можем, наконец, уточнить определение иеэлементарнык функций ях («интегральный синус») и с1х («интегральный косинус»), о которых мы упоминали в п' 2ае. Именно, полагают Ясли, например, вторую из этих формул написать в виде: х гсов с гсов с с!х= — ~ — 1(С- ( — — Осг, с 1 1 то — по известному свойству определенного интеграла [и' 3(ю, 12'[ — ясно, что совх производная от сг х дейспипельно равна — .
х 477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду. Мы знаем, что понятие предела функции может быть выражено двояков «на языке е-б» и «на языке последовательностей» [52, 53). Если к функции Ф(А) (см. (4)] применить второе определение предела, то гялс я х= — ~ — — в11, с х (х. О) Гсов с С1Х=- ~" —,Й. 1 х (х О) 4771 1 1. НнтегРАлы с БескОнечными пРеделАми 567 определение (1) несобственного интеграла может быль истолковано так: какую бы ни взять последовательность возрастающих до бес- А конечности чисел(А„) (А„- а), последовательность интегралов ц' Г(х) с(х) а должна стремиться к одному и тому же конечному пределу е, который и дает значение несобственного интеграла ~лх) с(х. а А С друтой стороны, вопрос о пределе последовательности (Р(х)ах) а тождествен вопросу о сумме ряда (362)1 А, А А, А А А1 А А 1 (1-1)+(1-1)+ =1+1+1 Таким образом, можно утверждать: дяя существования несобственного инл|еграяа ) у'(х) дх необходимо и достаточно, чтобы — какова а бы ни была варианта А„- (А„а) — ряд Л ~ Лх) |(х (Ае= а) А сходился к одной и той хсе сумме, коаюрая и дает значение несобственного июиеграла.
Отметим, что в случае положительной (неотрицательной) функции | (х) — для существования интеграла достаточно сходимости указанного ряда при одном частно м выборе варианты А„--. Действительно, тогда возрастаю|цая функция (4) от А будет ограничена суммой этого ряда и, следовательно, имеет конечный предел при А - (474). Сведение вопроса о сходимости интеграла к вопросу о сходимосги раца представляется часто очень выгодным, так как дает возможность использовать многочисленные признаки сходимости илирасходимости рядов.
А достаточно предположить, что все последовательности ( ~ Г (х) Фх) е сходятся, чтобы отсюда уже можно было заключить, что предел у ннх будет одни н тот же (Щ [477 568 ГЛ. ХЦ1. НЕЕОЕЕТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЫП Х Для примера рассмотрим снова интеграл ~ — Ах, о котором уже бьша х речь в предыдущем л .
е Так как зш х при возраставни х принимает попеременно то положительные, то отрицательные значения, меняя знак в точках ля (л = 1, 2, 3, ...), то естественно именно этн числа взять в качестве А„и рассмотреть ряд (л+1)л л (7) (л+ 1) зш х Пронзведя в общем члене ел ~ — г(х подстановку х=лльг, получим х л г и!пс ил=(-1)" ~ — ~й. 3 ля+С е Отсюда видно, что члены ряда вмеют чередующиеся знаки и по абсолютной вели. чине монотонно убывают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
