Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 97
Текст из файла (страница 97)
481. Применение псновиои формулы интегрального исчисления. Прямеры. Пусть функция Ях) определена в промежутке [а, Ь] н ннтегрируема (в собственном смысле) в каждом промежутке [а, Ь вЂ” г)1, в то время как Ь служит для нее особой точкой. Если для !'(х) в промежутке [а, Ь), т.
е. для а~х -Ь существует первообразная функпия Г[х), то ь- ! [ь- ! ) Ях) ![х= Г(Ь вЂ” з)) — Г"(а) = Р(х) ~ а и существование несобственного интеграла (1) равносильно существованию конечного предела 1пп Р(Ь вЂ” з)). Если последний существует, я-О то его естественно принять за значение Р(Ь) первообразной функции при х=Ь, достигнув этим непрерывности Р(х) во всем промежутке [а, Ь[. Для вычисления интеграла (1) мы имеем тогда формулу обычного вида: ~Ях) с[х = Р(Ь) — Р(а) = Р(х) ~ .
а (5) Та же формула имеет место и в том случае, если особая точка лежит внутри промежутка или при наличии нескольких особых точек, но (это нужно твердо помнить) при непременном условии, чтобы первообразная функция Р(х), имеющая Лх) своей производной всюду, исключая особые точки, была непрерывна и в этих последних. Существование такой первообразной обеспечивает существование несобственного интеграла. 3 а м е ч а н и е.
Говоря о впервообразною функции Г(х), мы могли бы понимать ее в еще несколысо более широком смысле: Р(х) должна гпиеть своей производной у'(х) повсюду, исключая не только особые точки, но и, быть может, еще некоторые точки в конечном числе, лшиь бы и в них не нарушалась непрерывность функции Г[х) [ср. 31[)[. 48Ц 583 1 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ Заменив в основной формуле (5) Ь на х, а Ях) на Г'(х), мьг, как и в 310, можем написать ее в виде Г(х) = Г(а) + ~ Г '(х) г(х. а Таким образом, по заданной производной Г'(х) в о с с т а н а в л ив а е т с я первообразная функция Г(х), если только производная интегрируема, хотя бы в несобственном смысле. Обратимся к примерам.
г пх 3 1) ~ —, ссобав точка х=о; так как первообразная функция-хн непрерывна 2 1 )ГХ и в этой точке, то внтеграл существует: в 4х 3 .". ~2 9 г' -1 )ГХ 2 г2х 4х 2) ~ не существует, так как первообразная )п)хз-1) обращается х'-1 — 2 в в особых точках х= я1. 1 г агсз)п х 1 3) ~ 1х~, особая точка х=1; здесь первосбразная — (агсащх)2 не)Г1' - Х~ 2 прерывна при х = 1; следовательно. интеграл существует 1 8) 4) ~ 1пх4х, особая точка х=о; здесь первообразная х!пх-х при х О имеет о пределом О. Приписывая ей при х = О именно это значение, будем иметь )1 1пхИх=х1пх — х ~ — 1. е о лх 5) ~, особая точка х=1; имеем: 1 х )' Зхз — 2х — 1 ох, х41Р и 3 = — асса)п — — ~ = — - агса!и —.
х)Зх2-гх-1 гх~1 г 4' 1 2 г 11х 6) ~ —, особая точка х= 1; интеграл не существует, так как первообразх1л х 1 иая 1п 1и х обращается в при х-1. 584 1482 ГЛ, ХН1. НЕСОЕСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ~Ях) их~Е (1 сопз1). а Теоремы сравнения и' 474 формулируются и доказываются н в рассматриваемом случае почти в тех же выражениях. Приведем без доказательства вытекаюшие отсюда признаки К о ш и. П>сть для достаточно близких к Ь значений х функция у"(х) имеет вид: я(х) 1(х) = — (2 .
0). (Ь-х)1 ь Тогда, 1) если 2~1 и фх)~1с~ .ь, то интеграл ) г(х) 1(х сходится, а 2) если же 2 -1 и е(х) с .О, то этот интеграл расходится. Более частная форма, удобная на практике: Если при х Ь функция Ях) является бесконечно большой порядка ь 1 Я 0(по сравнению с — 1, то интеграл Р'(х)дх сходится или рос- ьходится в зависимости от того, будет ли 2 1 или 2-1, 1 ох При мор ы.
1) ~ . Подннтегральная функция при х-1 предстао ) 1-х' вляот бесконечно большую порядка Ца: 1 прн х 1. у1-аа )Г)-х 1'1+х-~-х'+х* Следовательно, шггеграл сходитсл. 1 дх г) ~ ((са 1). Бесконечно о )г(1 — ха)(1 — (саха) сходится. болыоая порядка Ц, интеграл 482. Условии в признаки существования интеграла. Мы остановимся лишь на случае, связанном с определением (1), так как перефразировка для других случаев не представляет трудностей. Ввилу полной аналогии с несобственным интегралом, распространенным на бесконечный промежуток (о, ], мы ограничимся формулировкой некоторых основных предложений. Доказательства аналогичны приведенным выше.
Для сходимости несобственного интеграла (1) — в случае п о л ож и гп е л ь н о й функции у(х) — необходимо и достаточно, чтобы при всех з) -0 выполнялось неравенство 482] Ь 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 585 1 3) ~ ха1пх1(х. Если д О, Е(х) хо!пх-0 лри х-О, интеграл существует о как собственный. При и~О подинтегральнал функция обращается в бесконечность при х=О. Если д — 1, то взяв 2 под условием 1 =.
1 . ]Лл] = -р„будем иметь хо 1п х =хл+о 1и х 0 (при х 0); 1/хл 1 гдх так как интеграл )! — сходится, то и предложенный интеграл сходится [по теореме, ) хл о аналогичной теореме 2 п' 474] *. 1 Наконец, если д~ — 1, то интеграл ~хя л(х расходится, тем более расходится предложенный интеграл, ибо о хо 1пх -!пх- (лрн х-0) хо [по той же теореме]. Дальнейшие примеры читатель найдет в следующем и'. Далее, применяя признак Боль цано — Коши, имеем такое общее условие сходимости: ь Для сходимости несобственного интеграла ~г'(х) ллх (где Ь вЂ” осоо бая точка) необходимо и достаточно, чтобы каждому числу в- О отвечало такое число д О, чтобы лри О г) д и О 2)' З выполнялось неравенсгнво ь-у 1'(х) лух1 .е.
ь-ч Отсюда, как и выше, вытекает: ь Если сходится интеграл ~ ! 1(х)) лгх, то оо и подавно сходится ил- ь а теграл ~лх) л(х. а о Мы применяем к функции хг 1п х признаки, предназначенлые для положительных функцяй„ибо она приводится к положительной простым изменением знака. ** В предположении, что в каждом промежутке [а, Ь-О] (ч 0), функпия у(х) внтегрируема (в собственном смысле). [482 586 Гл. хгп.
Нвсонспзвнныв интвггхлы а „ ~ ~ у(х)с[х а (а,=а, а=;а„«.Ь) сходился к одной и той же сумме; последняя и дает значение несоб- ственного интеграла. Дадим прим е р интеграла, сходящегося, но ие абсолютно. Положим для О хж2, л 2И ж У(х)=2х яп — — — соз —, хь х ха она непрерывна при х»о, и единственной особой точкой для нее в промежутке [О, 2) бУдет О. С другой стороны, первообрвзной для Г(х), квк нетрудно проверитгь является функция Р(х) = х'з[п —, хь которая имеет прн х-О пределом Р(ВО) =О. Таким образом, интеграл 2 и!з Лх)а(х=х'з(п — ~ 2)2 х' о о Для того чтобы обнаружитгь что интеграл ~ [у(х)[ах расходится, прибегнем о к представлению этого интеграла в виде ряда. Возьмем варианту аа О, положив сходится )! 2 1 ар 2, ааь , = !! — , ав, = — (а = 1, 2, 3, ...). 2х — 1 )гь Обратное, вообще говоря, неверно.
Поэтому и здесь особо отлив ь чают случай, когда наряду с интегралом ~у(х) ггх сходится и [ '[1'(х) ! ь[х; а а тогда первый интеграл называют абсолютно сходящимся, а функцию у'(х) — абсолютно интегрируемой в промежутке (а, Ь]. Подобно последнему утверждению и' 476 легко доказать и здесь: Если функция у'(х) а б с о л ю т н о интегрируема в промежутке '[а, Ь), а функция к(х) интегрируема в (а, Ь) в собственном смысле, то н функция у(х) я(х) будет абсолютно интегрируема в указанном промежутке. Связь с бесконечными рядами дается теоремой: ь Для сходимости несобственного интеграла ) Ях) ьгх (где Ь вЂ” осоа бая точка) необходимо и достаточно, чтобы — какова бы ни была варианта а„Ь вЂ” ряд 483) 587 1 2.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ Тогда а,а ~ (дх)) 1(х ~~' ~ )т" (х))Ых. а 1 4 1 а~ь г 2 1 12(х)Р(х=) ~ Дх) 4(х )Р(а,ь 1)-Р(ааа)! М-1 й аа 1 Ввиду расходимости гармонического ряда '~~ — расходится и рассматриваемый 6 рял, а с ним и предложенный интеграл. 483. Примеры. Исследовать на сходимость интегралы 1) (а) , (б) ~ - , (в) ~ — , аф 4(» 4х е ~/соз -сов 6 ( — * 1пх' е )12(ех е — х) е а/4 ~. ~сов 6-5)п 6)Р со564ып 6 (г) ~ (48 х)Р 1(х, е -а14 Р е ш е н и е.
(а) Особая точха р = 6. Ввиду сушествования производной СО541 — СО56 1лп = -зшв (а-6 ПОДИНтЕГРаЛЬНОЕ ВЫРажЕНИЕ бУДЕт (ПРИ Р 6) бЕСКОНЕЧНО бОЛЬШОй ПОРЯДКа 11'а ( 1 относительно — ~. С х о д и м о с т ь. 6-р)' (б) Особая точка х-О. Так как ах †а в 11ш 2, х а х 1) то порядок подинтегрального выражения (относительно — ) будет Ча. С х ох д и м о с т ь. (в) И здесь 1пх — 1 при х-1, х — 1 порядок ~относительно — --~ равен 1. Р а ох оди м ость.
1-х/ (г) Если р О, то особой точкой является хЯ, при р О особая точка О. В обоих случаях подинтегральное выражение является бескояечно большой порядка (р). Итак — сход и мост ь при (р~ 1 и раск одимость при (р)~1. В промежутке [ааа, ам 1), т, е. для йхаь — йх- —, зш — и соз — имеют противох" 2 ха х' положные знаки, так что Г (х) с о х р а н я е т определенный знак, н поэтому !488 588 ГЛ.
ХН1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и л (д) При р 0 особой точкой будет --, а при р 0 особая точка —. Ответ тот же, что и в примере (г). 4 4 1 1 2) (а) ~ »(х, (б) ~ »(х, )»1 — х' !пх о О (о,» О) (в) ~!пяпх»(х, (г) ~!П)5!п»6-Ь»!»(6 (Ь»~1). Решение. (а) Прн х-1 подиитегральная функция стремится к О. Особая точка х-О. Пусть 0«»«1, тогда !и х 1 х»1п х )11 х» "' )'1-х» с к о д и м о с т ь. (б) При х -1, раскрыв неопределенность, найдем, что подинтегральвая функция имеет конечный предел (-Ь вЂ” а). Особая точка х= 0 (если хоть одно из чисел а, Ь меныпе 1, что мы и предположим). Отношение подиатегральной функции 1 1 к числителю равно — О (при х - 0).
Ввиду сходвмости интеграла ~ (хь 1- ха ')»(х 1пх сходится и предложенный интеграл. о (в) Особая точка х-О. Пусть 0 2«1, имеем: 1п51пх ( х 1» = — ~ нбп» х !л 5!п х - 0 при (х - 0); 1(х»,5!и х1 сходнмость (г) Положим Ь=ашш~О с»ж —, особая точка 6=5». Пусть снова 0 ! 1, 2! тогда (и!5ш 6-йп ! ! 6- » ° )5!и 6 — 51п с» !» х (1и )5ш 6 — 51п а~ ! "! !и (51п 6 + Яп О )) 1/(6 — с»!» (5!п6-ашо» стремится к нулю при 6 а»; интеграл сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
