Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 101
Текст из файла (страница 101)
2) Вычислить интеграл 1) = О. Несобственный интеграл преобразуется в 4911 1 3. ИРБОБРАзоиание несовственных интегвхлое 401 монотонно убывает и стремится к 0 при г- . Позтому преобразованные внтегралы ащ г е'(г) 4г, / соз г ф'(1) Ыг да) /(а) по признаку Д и р и х л е сходятся, а с ними сходятся и предложенные интегралы, г !пк 5) Для вычнсления интеграла ~ — Нк (его сходнмость мы уже установили 14кз о т в 483, 5) (б)) разобьем его на два: ~ = ~+ ~ . Во втором из них сделаем подо о 1 становку к= — (а=1, Ь=, а=1, Р=О) и придем к результату г откуда следует, что предложенный ивтеграл равен О. 6) Пусть дан несобственный интеграл ех — лк, 1'1- к' о подстановкой к-юп г (а=О, Ь=1, а-О, ф= — 1 он приводится к собственному 2/ интегралу еа!а1 41 о У) Вычислевие юпеграча (ср.
472, 2)) может быть очень упрощено применением целесообразных подстановок. Прехще всего, кнему приводится интеграл о [491 608 ГЛ. ХНЕ НЕСОБСПЗЕННЬЖ ИНТЕГРАЛЫ 1 подстановкой х = — (а О, Ь, а =, су = О), так что можно написать с ~1+ — ~ с(х 1 (1-~-хс) ссх 1 [ хг/ 1- 2 1+х' 2 1 е 1 г с(г ! г + л 1= — г! — - — агсгй— 2 г'ч-2 2[(2 [с2 — 2)с2 з г с(О 8) Для вычисления интеграла з! — естественно положить г= [с!8 О, т. е. ЯОО О=атоса!с(а=О, Ь= —, а=О, Д= ); мы придем к только что вычисленному 2 с(С л интегралу: 2 !! — — = —.
)с2 с 9) Установить формулы.' 1 (а) с(х л — (а 1); (ас-хс)[/1-хс а[сас-! -1 (б) (х'- а') [сх~ — 1 сс)с1 — а' 1 1 (в) -1 (хс+аз) [С1 — х' а [с ! -~ а' (О а !); (а. 0); (г) с(х 1п (а+ с[с 1+аз) (а О); (хс+ас) [схс - ! а [11+А 1 Ог) с(х !п(а+ [Сас — 0 (а 1), (хс+ сс') [(хс+ 1 со[(ссс — 1 с =1 (со=1), аллоя а — (О а 1). а[с)-ас Во всех случаях воспользоваться подстановкой Абеля У к а з а н и е.
[284). 1 Если теперь прибегнуть к подстановке х- — =г (а=О, Ь ф, а —, О + ), то сразу получим х 49Ц 3 3. ИРеОБРАЗОБАние несОБспзенных интегРАлОБ 409 10) Вопрос и сходимости интегралов с(х г гсх (Л Оа 1А е) х 1п" х ' " х 1п х 1пт (1и х) сразу решается, если подстановкой г 1пх, и !и(!их) привести вх к интегралам Л 1 ал спл сп(Сл Я) — оба сходятса при Л 1 и расходятся при Л 1. В следующих упрюкнениях под Да) разумеется произвольная непрерывная для и~О функция. 11) Доказать, что ,Г~ — + — )1пх — 1пау! Л'! — +-~ — (а О), (а х! х (а х~ х о о если только интегралы сходятся.
Указание. Прибегнуть к подстановке х=аел (сс —, Р= Ф ). !2) Доказать, что (при Р 0) Ах (а) ~Г(хР+х Р)!пх — =О, х о с(х (б) ~ЯхР+х Р)1пх — — =О, 1-!-хн о если только интегралы сходятся. 3 1 Например, для (а) имеем: ~ - ~ Ф ~, но ~ = — ~, как в этом легко убе- О О 1 3 О 1 диться подстановкой х= —, и т.
д. г 13) В предположении, что скодится интеграл справа, доказать формулу В)н 1 ~фАх- — ! )с(х-+(ус)с(у (А, В- О). о о 33 Г. М. Фннггнглльн, г. Н 610 [491 ГЛ. Х1П. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В Подстановка у=Ах- — (а= —, Ь=+, а=0, [)=+ ) дает х ) Лу') с[у= ) )'~(Ах- — ) ) (А+ — ) сух= е =-А ) ЦАх- — ) |Ах+В ) ~~Ах- — ) ) †.
е е В Но последней интеграл подстановкой х — — (а=О, Ь=+, а= —, 0=0) приАс водится к е А ~ фАс- — ) ) г(с, так что Отсюда (ввиду четности подинтегральвой функции) и вытекает требуемая формула, 13) В заключение, владея заменой переменной в несобственных интегралах, вернемся к одному незавершенному выше вопросу. В и' 439, 1) мы исследовали на непрерывность функцию С(х) = А, .=1лР+хг ач' но не установили ее поведения в точке х 0 в том случае, когда Очкр 1, 0 1 и а+ се.
Воспользовавшись формулой (10а) в сноске стр. 286, можно оценить сумму рсща снизу с помощью интеграла: с(х) 1 3 Полагая здесь с = х ч-р е, заменим зто неравенство таким: Р— +~: г Ае )'(х)~х ч — р ЕР-1. ия 3 При х +О интеграл стремится к конечному положительному пределу о 611 1 а осоиыв пвиимы Вычислниия а множитель при нем либо равен 1 (если р+9= 2), либо даже стремится к при х-+О (если род 2).
Так как Г(О)=О, то справа в точке х=о во всяком случае налицо разрыв; то же — и слева. Замечание. Интеграл с бесконечным пределом ~ г'(х) ех всегда я может быть надлежащей подстановкой приведен к интегралу с конечными преде- 1 лами (собственному или нет). Н а п р и м е р, если а ь О, можно положить х =- —: е ~у(х) их= ~+) —. а е ь Наоборот, несобственный интеграл ~ т"(х) г)х с единственной особой точкой Ь а в с е г д а может быть приведен к интегралу с бесконечным пределом (без других 1 особых точек). Например, полагая х=Ь--, получим: Х ы Х Г ~ ) 1 ь — а й 4.
Особые приемы вычислении несобственных интегралов 492. Некоторые замечательные интегралы. Начнем с вычисления некоторых важных интегралов с помощью искусственных приемов. 1'. Интеграл Эйлера (Ь. Еп!ег): У= ~1па)пхе(х. е В его существовании мы уже убедились. Вычисление интеграла Э йлера основано на использовании замены переменной. Имеем, полагая х = 21: 1=2~ 1пз1п 21 й='- 1п 292~ )па)п (й+ 2~ 1п сов гй.
2 Ззг 612 1492 ГЛ. ХП1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Подставляя в последнем интеграле 1=- — и, приведем его к виду 2 2 2) 1п2)пио1и, так что, окончательно, для определения л получаем е уравнение У=- 1п2+2У, откуда У= --1п2. 2 2 К этому же интегралу, с точностью до знака, приводятся и с о бственные интегралы (ср. 489„1) и 2) (б)]: ~ вплш х ~,— Ых, 2'. Обратимся к вычислению интеграла Эйлера — Пуассона: Х=) Е-" 12Х, о встречающегося в теории вероятностей. С этой целью предварительно установим некоторые неравенства. Обычными в дифференциальном исчислении методами нетрудно установить, что функция (1+ 1)е-' достигает своего наибольшего значения 1 при 1=0.
Следовательно, для 1 0 будет (1 ч-4)е-1 1. Полагая здесь 1= ххо, мы получим (1-х')ен 1 и (14х')е н«1, откуда 1 — хз е "' — — (х .О), 1 1+х' 1 и е-"* (1 1 112)л 12 о) (1 х2)л е-пк* 12 х 11 е длл неравенств с и оло жн те л ьн ым н членамн допустимо возвышение в натуральную степень почленно. Ограничив в первом из этих неравенств изменение х промежутком (О, 1) (так что 1-х' -О), а во втором считая х любым, возвысим все эти выражения в степень с любым натуральным показателем и; это дает нам* 4921 613 1 4 ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Интегрируя первое неравенство в промежутке от О до 1, а второе — от О до 4 „получим ~ (1 хо)лих ~ е-ои пх'< ~ е о о Но е-'и Их= — К (подстановка и= у'лх), 1 ~Г о 2ин (1 — хо)ВЫХ = ~~з)по" +'1 й - —" (=2л+ )П (подстановка х=соз1), и, наконец, 1х (.
„, (г -3)П и (1+х')" 3 (2л — 2)л 2 о о (подстановка х = с(8 1). 2ВП (2и-3)П и 1'и ° " . К .1л.— — - —, ' (2и-Р 1)П (2л-2)П 2' так что, возводя в квадрат и преобразуя, получим л (2лП)' и (2л - 3П)'(2п — 1) (л1~ 2л+1 (2л-1П)'(2л4 1) 2и — 1 (2л — 2!!)' (21 Из формулы В алли с а (317): л .
((2л)П)о 2 „((2л — 1)Щ2п+ 1) легко усмотреть теперь, что оба крайних выражения при л стремятся к одному и тому же пределу —, следовательно, 4* К'=- и К= — (так как К О), л ул 4 2 Мы воспользовались здесь известными выражениями для ~ з1п'" х лх, о 312 (8)~. Таким образом, неизвестное нам значение К может быть заключено между следуюп(ими двумя выражениями: 1492 614 ГЛ. ХН1. НЕСОБСГВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3'.
Рассмотрим, наконец, интеграл 0 Мы знаем уже, что он сходится (47б; 477; 489, 3)). Представим интеграл в вице суммы раца ( +1) '2 Положив 2= 2(1 или 212-1 и прибегнув, соответственно, к подстановке х=г(л+Г или х=(гл-г, будем иметь: (2Р21).— '2 2Р °вЂ” 'г ( 1) — 1 1 2шг гг л (2Р- ив 2 Отсюда Г21а1 Г Г 1 1 г= ~ — ггг+ ~ ~ ( 1)А ~ — + — $1п Г 12(.
(Г+Г2Л 1 — — лл 1 о Так как ряд г Л(-1)" + — ~21п Г Г+Г1л Г-Г1л) в промежутке О~(~- сходится р а в н о м е р н о, ибо мажорируется 2 1 1 сходящимся рядом — ~ —, то его можно интегрировать и ол1 1* 112 4 членно. Это дает нам право написать выражение для 1 в виде: Т=~Е1п г ~-+ Д'(-1) ~ —,+ — )~й, а 615 о 4. ОсоБые пРиемы вычисления Но выражение в квадратных скобках есть разложение на простые дроби функции —.
(441, 9)). Таким образом, окончательно, 1 $1О1 Приведенный изящный вывод принадлежит Л о б а ч е в с к о м у, который первым обратил внимание на нестрогость тех приемов, с помощью которых этот важный интеграл вычислялся раньше, 493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм, Случай интегралов с конечными пределами. Воли функция 1(х) в промежутке [а,Ь) неограничена, то произвольными интегральными (римановымн) суммами пользоваться для вычисления ее интегралов в этом промежутке, разумеется, нельзя.
Однако всегда можно так выбирать эти суммы, чтобы они — при дроблении промежутка — стремились к значению несобственного интеграла. Мы установим это для простейшего случая монотонной функции. Итак, пусть функция Ях) в промежутке (О, а) (а 0) положительна, монотонно убывает и при х-0 стремится к + -; в то же время, пусть для нее существует несобственный интеграл от 0 до а. Разделив промежуток (О, а) на л равных частей, будем иметь .-1-1 — а а л л ) у(х) 41х = .~ )' г(х) лгх )'Лх) 1зх4-~ фа) —, о л о — а л и тем более а л 11'(х) 4(х ) Г"(х) дх4,5; 1'~-а).—.
О о В то же время, очевидно, а ) г(х) 4(х Лфа~.—, о так что, по совокупности, а л 0 ~Ях) 14х -- Х У'(-а)~. ~Ях) Фх, о о 1493 б!б Гл. хп(. несоестаенные интеГРАлы Так как последний интеграл при и стремится к нулюа, то окончательно а ~Ях)Ых = 1пп — 2' ! (-а) . о В случае положительной возрастающей функции Ях), стремящейся к + при х а, получается аналогично а а а-1 Дх)11х = йш †. ~ у'~- а) . о Наконец, изменяя знаку', легко получить такие же формулы и для монотонной отрицательной функции.
1 Рассмотрим примеры. 1) Для вычисленяя интеграла ~йзхдх (с особой точкой О) имеем: а 1 а 1: а, ~л! 1пхИх= 1лп — ~~ 1и — -1пп!п —. ,--Л, 1 Л,-- Л о а Я 1 Так как 177, 4)) 1йп — = —, то прегшшуший предел равен — 1; таково, в действна л а тельиостн, и есть значение предложенного интеграла. 2) В качестве второго примера возьмем более сложный интеграл: ~ !и э)п х Их. е В этом случае „а-1 „Л Л а-1 1пяп х их= 1йп — ~~ 1лып — =1пп — 1и Д яп —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
