Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 102
Текст из файла (страница 102)
а -2л а=! 2л а 2л, 1 2л е Желая получить простое выражеияе для последнего произведения, рассмотрим целый многочлен, получаюшийся от деления к'"-1 на х'-1, и разложим его на линейные миожителл, собирая вместе множители, отвечаюшие * Он представляет собой разность между несобственным интегралом ~ и а е стремвдимся к нему собственным шпеграпом ~ . а а 4941 б17 ! а осевые пРиемы Вычисления = д ['(в — сов ) +5!Л« — 1 При х-1 отсгода найдем: 5-1 Г! «Л!5 «Л! Л вЂ” 1 тл л= Д«[~1 — сов — ) -Рв!п« вЂ” ~-45 ' Д вш' —, ,=1 л~ л «1 гл так что, наконец, 5-1 Рл Д вм гл г-' Поэтому искомый интеграл оказывается равньгм: 1 в — Рл -( -Пь г и 2 1п в!и х «х = !пп— л- 2 е л — = — — 1п 2 «г 2 [ср.
4тх, !'й 494. Случай интегралов с бесконечным пределом. Пусть функция определена и интегрируема в промежутке от О до + -. Разлагая этот промежуток на бесконечное множество равных промежутков длины !г О, составим сумму ~ДР11).л, напоминающую по своему стро° е ению риманову сумму. Сходится ли этот ряд, будет ли его сумма при л О стремиться к несобственному интегралу [У(х)агх — вот е вопросы, которыми мы займемся при некоторых частных предположениях относительно Ях). Предположим сначала, что у'(х) положительна и, монотонно убывал, стремится к О при х-+ . Тогда ! +1!5 )Ях) ггх= Д' [ Дх) сгх. л ° „Р 1'(Рл), а с другой стороны, очевидно, [ Лх) )х - А ..~(ть) = Ь Х1(тй) -'л ЯО), «=1 =е е е См.
глоску на стр, 122. сопряженным корням. Мы получим (при лгобом веглественном и отличном от з 1)г 618 [494 ГЛ. ХП1. НБСОБСТВЕННЫВ ИНТЕГРАЛЫ так что О .Ь ~„ДРЬ) — ~ ('(х) 4х . Ь ЯО) «=о о 1"(х) а1х = 1! т Ь,~'ДРЬ). о о .=о о Приме р ы. ! ) Положим Дх) = е ". Тогда Ь у"(х)«ук 1ппь ~ е — 'ь=1пп =1, ь-о =о о-о1-е о 2) Зная значение интеграла ул е-х* Их=в 2 о из других соображений, мы все же можем применить выведенную формулу и получим, таким образом, что ишь. ~; е — ма*= —.
о о =о 2 1! Если положить е-о'=с, то Ь= 1 1п-оз )11 — 1 при 1-.1. Отсюда — иитерссиое 1 предельное соотиошевие1 1ап )«1 -г.(1ч-г+1«-Рго+гго+...) = —. 1л 1-1 — О 2 Может случиться, что требование монотонного убывания функции 1(х) выполняется лишь для х~А -О. Это обстоятельство не мешает применению указанного для монотонных функций приема; нужно А лишь озаботиться тем, чтобы отношение — было целым.
Тогда Ь А «= — 1 А и 1пп ~ ЯРЬ).Ь= ~Ях)1(х о по самому определению собственного интеграла, а 1пп 2;" г"(РЬ) Ь= ) У'(х)1гх О-О А « А а — по доказанному выше, 619 4941 1 4. осевые приемы Вычисления Пример. Э) Пусть Дх)=хе х; эта фувкпия монотонно убывает, начиная с х= 1. Тем не менее хе — Х о)х= 1)го ЬО(е-«> те — ГЛ+Зе-ОЛ+ л-о о / Ь = 1нп Ьое «(1 — е л) л=!пп е" — = 1 «-о «о ~е" — 1~ что легко проверить ивтегрироваввем по частям. Перейдем к более общему случаю, не требуя от Лх) пока ничего, кроме интегрируемости. Имеем ~ Лх) Ах = ~ Лх) г(х+ ) у(х) огх.
о А При достаточно большом А последний интеграл по абсолютной величине будет произвольно мал*. Каково бы ни было А, станем и здесь Ь брать таким, чтобы А/Ь был целым. Тогда, при А = сопят, как и только что, будет выполняться (2). Теперь ясно, что для справедливости равенства (1) достаточно, чтобы еще выполнялось условие: (3) 1пп ~ у(РЬ) Ь=О. А + А л о Действительно, тогда все слагаемые правой части равенства А Л при достаточно большом А и достаточно малом Ь будут произвольно малы. Условие (3) автоматически выполняется при ранее сделанных относительно у'(х) предположениях, ибо О . Д'ЯРЬ) Ь ) у"(х) агх.
А У А л * Он представляет собой разность между несобстоевиым интегралом ~ и стра А ЬЮППНМСЯ К ВЕНУ ПРИ А Ссбстасвньля интегралом ~ . !494 ГЛ. ХШ. НЕСОБСТВЕННЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ Оно также выполняется, если Ях) =9|(х).гр(х), где |р(х) (хотя бы для хатха 0) удовлетворяет тем условиям, которые выше были наложены на Лх), а гр(х) ограничена: ]фх) ~ ~Ь. В этом случае Я ~(~Ь) ~(~]г)! |Ь Я (~Ь) Ь Е. /у(()г]х, А А к=— А л л н т.
д. гз!и'х 1 4) В качестве примера рассмотрим интеграл 11 — —. 4х;здесьр(х) х' хи о р(х) = з!Еи х. Имеем к|пи х -, а|ли г)г 1 а|пи |'й — г(х=!!юл,с, =!ап — ~ х' л-о,=| (тй)и и-оЬ,=! ои о Для вычисления последней суммы сообразим сначала, что , йпитя!' з!л 2о)г л — 2Ь л = — — Ь |4 )л,.=| т 2 2 (461, б) (б)]. Почленное дифференцирование для лис допустимо по теореме 1 и' 435, ввцлу равномерной сходнмости ряда, составленного из производных (по признаку Ди р их ле, 430]. Интегрируя, найдем выражение для интересующей л-л нас суммы: — л.
Отсюда наконец, 2 ыпх л — я л |(х = ! йп — - = — . х'ло2 2 о В других случаях выполнение условия (3) приходится проверять непосредственно. гзю х 5) Пусть, например, предложен интеграл 3! — Фх. Огравнчвмся (на по х о мы, очевидно, имеем право) значениями (и= — и А - тл, где lг, т — натуральные (г числа. Представим интересуюшую нас сумму в виде: - з!плй '( ог)-! |("+')-' Л' — '"".4= 2~ + Л + и=ли| ля и=Ли п=л(е+|! Нетрудно убедиться в том, что слагаемые в пределак кюкдой конечной суммы справа будут одного знака, который меняется при переходе к следующей сумме, 4951 621 д 4.
ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ В общем, ряд справа будет тапа Л е й б н и ц а. Поэтому его сумма по абсолютной величине будет меньше абсолютной же величины первого слагаемого. С другой стороны, так как Ьпв = тл = А, дга+!) ) 1 Й Ц ~)) ) ] ' )д) ! Цаад) 1 ! д т — 6: — А,' Ь вЂ” д~, ]д!и лй] Ь= —,~~ д!и/Ь Ь. о=-да У)6 л-.да ЛЬ А о дш А,=о Последняя же сумма, как интегральная сумма для интеграла ~ д!П х Ах= 2, при о достаточно малом Ь будет меньше любого числа С 2, а тогда жллЬ С 6 о=да 1Й А ' откуда и вытекает выполнение условия (3).
Самос же вычисление предложенного интеграла, оправданное изложенными соображениями, проводи~си весьма просто [см. 461, 6) (б)]: " д!ля)д, х-Ь 4х= 1пп А,, — = 1пп х л оп=1 л д о 2 2 о что выше 1492, 3'] мы получили иным путем. 495. Интегралы Фруллани.
Рассмотрим вопрос о существовании и вычислении одного частного вида несобственных интегралов, обычно называемых интегралами Ф р у л л а н и (О. Ргоп]! аш): ' (вх) дтх (, ]) 0). х о 1. Относительно функции Лх) сделаем следующие предположения: 1' )(х) определена и непрерывна для х-О и 2' существует конечный предел Г"(; — ) = 1пп Г(х). х + Из 1' ясно, что существует (при О б г] +-) интеграл х х х ад и дд и дд ад од 14вб б22 ГЛ.
Х1П. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Предложенный же интеграл определяется равенством Ьб ьв 1 '" =; 1',1 1',, УО )-ЯЬх) Ух = 1(т Р~г) )к- йгп Р(г) (т х ь-о 3 в Применяя к последним двум интегралам порознь обобщенную тео- рему о среднем значении, получим — гьк=г(с)) — =ЯЬ) 1п — (где аЬ Ь-ЬЬ) у"(х) Г ох Ь г х и и, аналогично, ьв — агт =Ят)) ° 1Н вЂ” (где агз ьи т) ~ Ьг)). г(г) Ь Так как, очевидно, с О (при Ь-О), а ь)-+- (при г)- 4-), то отсюда ) У(лх) "(Ьх) = О) — +-)) ° о (4) Примеры, 1) В случае интеграла у"(х)=е ", у"(О)=1, г"(+ )=О, Ь так что значение интеграла будет 1п —, и 2) Пусть предложен интеграл р-Ьдв вх ах !п — (р, дьо).
р+че ЬХ х о Заменил логарифмы частного разностью логарифмоо„можно положить здесь г"(х)=вз(р+де "), так что т'(О)=1п(р+4) н 1(+ ')=)п р. 3) Вычислить интеграл д) Ь Ответ. 1п ~1+-~ 1и —. р~ а в-в» в-Ьх 4х х о агсгя ох — агсоя Ьх ох. х о 4961 1 4. Осоеые пгиемы Вычисления В этом случае у(х) =-агс|я х, у(О) = О, у(4-)= —. 2 н а Ответ.
— 1а —. 2 Ь И. Иной раз функция Дх) не имеет конечного предела при х-;- -, но зато существует интеграл ~Л~) ( х А Заменяя в приведенном рассуждении г) сразу на + -, придем, взамен (4)„к результату ~(Ь )|4 =У(0) ) о Пример 4) соз ах — соз Ьх о(х 1о— х и ( гсозх ибо интеграл ~ — 4(г, как мы знаем, существует) . А Ш. Аналогично, если нарушена непрерьвность фуноуии г'(х) прн х=О, но существует интеграл А — агт (А. + ), у (х) х о то ----- — (.=Л. -) ) —. у'(ах) — У(Ьх) а х- " Ь' о Впрочем, этот случай приводится к предыдущему подстановкой 1 х= —.
(4б) 496. Интегралы от рациоиальшик функций между бесконечными пределами. В заключение рассмотрим еще один частный тнп интеграла с бесконечными пределами: 1496 624 ГЛ. Хид. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где Р(х) и Д(х) — целые многочлены. Предположим, что многочлен Д(х) вещественных корней не имеет и что степень Р(х), по крайней мере, на две единицы ниже степени Д(х). При этих условиях интеграл существует [474, 2)1) вопрос лишь в его вьдчислении. Если хлг и»4(рл (рл= О; А=1, 2, ...) суть различные корни много- члена Д(х), то дробь Р(х)/Д(х) следующим образом разлагается на п р о с т ы е дроби Р(х) ~,[ Ад Ад + ° ° .
Д(х) л (х хд (х-хд)л ] (5) причем число дробей в каждой скобке равно показателю кратности соответствующего корня *. Распространяя иа случай комплексной функции от вещее т в е н н о й переменной элементарные способы вычисления интегралов, видим сразу, что, при л»=-О, г(х 1 1 (х — хл)~+» гл (х хл)л» )- — =О, следовательно, — Ах= [ ~ — — Ах= 1пп [~ — Ах. Р(х) г Ад .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
