Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Оомет: --.!а-Ь|, 2 13) Вычислить 2х 5!и ах У.р. ~ й: (а, г О). о Р е ш е н н е. Особая точка х = г. Пользуясь тождеством 2х 1 1 — .— — +— х'-г' х-(-г х-г сразу выделяем сходящийся интеграл 51пах Гз!пиу, Гсо5ар — Е(Х=СОзие л! — Г(У-ЗШ аГ л! — Г(У. х+г у у о г 634 [497 ГЛ, ХН!. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Затем, с помощью легких преобразований, находим ~") г )в!Вах гяпау, гсовау гяпау ~ + у! ! — г(х=соваг 3! — в(у+в!Ваг 31 — вгу+2соваг.31 — в(у„ ! х-г у у У О втв в так что ге!п ах Ч, р. ~[ — овх х — г о получается, если в последнем интеграле положить просто в О.
Окончательно, г 2хяп ах го!псу г в(х= 2 сов аг. ~ †. в(у=в.сов аг. хв гв У о о 14) Пусть функция ((х) (О-х ) удовлетворяет условиям Дх Ул) =.((х) и У(л — х) = У(х). В предположеиии, что существует интеграл слева, доказать формулу [ у'(х) в(х- [у"(х) в(х. [Оиа принадлежит Л о б а ч е в с к о м у и доказывается с помощью разло- 1 кения фушщии —, на простые дроби так же, как и в частном случае Дх) и 1; яп х см. 492, 3'.) Примеиить эту формулу к вычислевию иитегрзлов: г в!пв"+1х г, в!п х (а) [ в(х= [ вшв'х — в(х (в 1, 2, .
° .); х х о о в(х гагсвй(а в!пх) з!их (б) [ агсгй(а япх) — = 3! свх (а»О). х в!их х о о Иитеграл (а) приводится к уже известному [312 (8)) интегралу л (2в-1)О яп'" х Их = —. 2 2в!! о 4971 655 1 в. ОСОВЫЕ пгынмы вычислвння а иытеграл (б) — к интегралу 1 г)'~ го (подстановка: г = зга х), значение которого — 1и (а+ 1'!+а') 2 будет установлено ниже [511, 9)).
15) Налагая те же условия на функцию Г(х), доказать формулу (сыова — в предположении сушествоваыыя интеграла слева): л ~ Ях) — с(х ~)'(х) 4х. о о Указание. И здесь применим метод Лобачевского, лишь с ссыл- 1 кол на разложение функцви — на простые дроби (441, 9)). ыиз х При Х(х) = 1 отсюда снова получается известный нам интеграл в(из х н — — ах=- хо о (см.
494, 4)). 16) Вычислить интегралы (а, Ь О) хо- о хо — 1 в) 4х. !их о (а) ~ ш 4х, (б) ~ з Ь 4х, х х о 1( а+Ь )(~ав-Ь ~ Ответ. (а) 1п 11 —, (б) 1п !~ -Ь!' Ь 17) Вычислить интегралы (а, Ь О) Ь а)пах-а з)п Ьх (а) — 4х, х' о а (в) 1и —. Ь Ь !п (!+ах) — а 1и (1 4Ьх) (б) 4х. о 4х (в) ~ (е в" — е — ох)т — . хт о У к а з а ы и е. Все приводятся к интегралам Ф р у л л а н и; первые два интеграла при а=Ь расходятся.
1497 б36 ГЛ. ХПГ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Указание. Все три приводятся к интегралам Фрул лая и интегрированием по частям. 18) Найти интеграл (д 0) Решение. Имеем тождество 1 х 1) 1 (а-х е-ьх).~ хь ах а х 2~ 2х 1( 1 1 1 ) 1( 1 1 1 + е — х .~. а-гх) х (ех-1 х 2 ) х )~еьх-1 2х 2 Интегралы от второго и от третьего выражений взаимно уничтожаются (в чем легко убедиться заменой переменной), и все сводатся к интегралу Ф р у л л а н и.
1 Омааль — — 1о 2. 2 19) Найти интеграл (д, Ь 0) — а -ьх.~.х(д Ь)е — ьх 6(Х. х' а Решение, Имеем (для г) 0) ге — ах е — Ьх г е-Ьх == ) — — Л~~-(д — Ц ) дх ь. хй х Первый яз интегралов справа преобразуем интегрированием по частям. е — а* а — ьх е-ах а — Ьх гад-ьх-де — а» Нх 9) Ых, ха х ч х ч а так что, окончательно е ах г-ьх+х(д — Иа — ьх е — аа — а-ьа г г ьх е — ах — ь(х= ' а~ Их. х' 0 х ч При г) 0 первое выражение справа стремится к Ь вЂ” а, а второе к интегралу Ф р у лл а н н".
ге-Ьх е-ах д а ~ г(т=-а 1ой —. х Ь а Этн интегралы не сходятся при о О. 497! Е37 1 а ОсОБые пРиемы Вычисления 20) Установить формулу А сов ах+В сов Ьх+... + К сов Ьх 4х =- — (А !и а+ В !и Ь 4-... + К! и Ц о в предположении, что а, Ь, ..., /г 0 и А+В+...РК=О (последнее условие, очевидно, н е о б к о д и м о для существования иытеграла). У к аз анис.
Полагая К= -А-В- ..., воспользоваться формулами А соз ах - А соз (гх Ах -А!па+А!ВЬ и т. п. х легко обобпппь предложенную формулу на случай любой функции 7(х), удовлетворяющей условиям п' 495, И. 21) Найти выражение для интеграла о где л и гл — натуральныс числа и л яг~2. Р с ш е н и е. Распространяя на случай бесконечного промежутка о б о бщенную формулу интегрирования по частям [311), сразу получим (так как двойная подстановка здесь исчезает): япо и 1 гг(м ' 4(х — г(х =- о!и" х —.
х"' (лг — 1)1. г(х"' г х о о Для вычисления последнего иытеграла удобыо воспользовапся известными ыам разложениями вш" х по синусам или косинусам кратных дуг [461, 3), (а) и (б)). Рассмотрим различные могущие представиться здесь случаи. (а) л=2и91, лг=2И+1. Тогда Аои (-1) +и г — з1п"+'х= [(2и+1) ими(2и91)х- Ы,о (2и+1)2и — (2ы+1)(2и — 1)оив!п(2~ — 1)хь (21 — 3)м в!и (2и — 3)х †. ° ) 1 2 и, по формуле (!!), =- .'.
[ мпо" ! гх ( 1) +и л Г (2и+ !)2и — г(х=- — [(2и+1)чи-(2и+1)(2и-1)чи+ (2и — 3)ои —...). хь'+' 2аО(2И)! 2! 1 2 о (б) я=2и, т= 2(4+1. В агом случае: Аги, (-1) +и рхги 2'" ' — з!п" х = — [(2и)'и соз 2и х -2и. (2и -2)'и соз (2и — 2)х !. 2и(2и — 1) + (2и-4)ги сов(2и-4)х —...). 1.2 [497 638 ГЛ. ХП!. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3[егко видетть что левая часть (так как в д) при х 0 обращается в О, так что сумма коэффициентов при косинусах равна О, и мы можем испольэовать предыдущее упрюкнеиие 20).
Отсюда з!пе'х (-1)"+я+в г — свх= ~(2в)вв !и 2в — 2в(2в — 2)вя !и (2в-2)+ язв+в 2вв-в(2д!) о 2в(2в — 1) (2в — 4)вв !В(2в — 4) —...~. 1-2 Аввлогично устанавливаются формулы для случаев: (в) л=2Р+1, м=2д и (г) л=2в, т= 2д. Отметим, что, в часпюсти. для любого л~2 3Н гзгл и л г л( -И в!х ля-в л(л 2)л-в !. (л 4)л-в г'( -1)1~ 1.2 о 22) С помощью того же разложения 461, 3) (б) легко получить, что (при р 0) з!и'"+!ух (-1)'лг (2в+1) 2в (2в+1) 2в ... (в-Р2)~ в[я= — ~1 — (2в91)4 — .. +( — 1)" х 2"+' 1 12 12... ° в е уй!речем, с помощью элементарвык сообрюкений, это вырюкение приводится к более щюстому: л (2Р-1)!! 2 2И! гнп' рх Интеграл ~ в(х расходится.
Интеграл Фруллани х е жп'врх-ппв ех в(х (р, 4 0) е не удовлетворяет условиям и* 495, но с помощью разложения 461, 3) (а) легко установить, что ол приводится к случаю 11 интеграла Ф р у л л а н и, если з!и'" х заменить на 1 2Р(2Р-1)...(в41) Заев х- —. 2" 1 2...и Окончательно, по формуле 4а): зшв" рх -зшм ех (2в-1)!! Е в(х = !и —. х 2ей р е 639 1 ж ОсОБые пРиемы Вычисления соввг ы рх — сов в"+ ' ех с к(х 1и —.
х Р е При л=2к, используя разложение в 461, 3) (в), как и выше в случае синусов, получим соввк рх — сов™ ех ! (2г-1)й) 1" ™ -~ ..-) ,(+ ")1 —. х г,й ! р ' е 23) Установить следующие формулы *; н — лри ~у( 1, 2у ГСОВ С (а) ~совух к(х 31 — кй= е х — при (у) =1, 4 О при 1у~ 1. — при 1у( 1, гу Гв!пт (б) ~ 5(п Ух г(х 31 — скг = т е к — при ~у~ =1, 4 О при )у) 1 Г пп Г 1 ! 1+У (в)~совухк(х~ г(г= — йз — ~ при У О, х1, г 2у ~1-У е к -1 прн у =О **.
Гсов г 1 (г) ~вшух йк ~ — 4(à — йг~1 — ув) при ухО, ~1, г у е к -О при У=О 4*. ГЕ-Г (д) ~е — ух к(к — кй — 1п(1+у) при уьО, г у =1 при У=О. й -~ — ~( х к и представляют собой функции ы х н с) х (винтегральный синусв и кинтегральный косинусв), о которых упомвиалось в л' 289. ** Прн У= т1 ннтеграл расходится. Г Сслх Х Интеграл ~ — к(х ни при каком натуральном л не сходится. Но при х а л=-2к+1 сходится ~ и, по формуле Ф р улла ни 4а), сразу имеем л 640 [497 ГЛ.
Хн!. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Д о к аз а тельство. [а) Предполагая 7~~0, интегрируем по частям: гсоз ! 1, гсоз! [- 1 гзщ ух соз ух Ах~[ !й = — з)п ух ° ~[ — о!! ~ + — ~[ — соя х Ах. у ! ~о у х о к к о Так как то двойная подстановка обращается в О, и интеграл приводится к разрывному множителю Дир их л е [[11)). Особо рассмотрим случай у=О. При любом А О, повторно интегрируя по частям, получим: А соз! 'соз! [А соз! [ пк ( — г!г=х~ пг~ 4 ~созхг[х=А ~ — А!+з[ЕА= о к зщ! Г 3!и! Г51П! =А — +А [ — .— !ОА-з1п А=-А ) — — А!!. гл 3~: !3 А А По второй теореме о среднем значении [487), последнее иыражение приводится А г зщ к виду: [ — !й [А А), а зтот иатеграл стремится к 0 при А -, в силу условия А ГЗ1П! Б о л ь ц а н о — К о ш и [475)„примененного к сходящемуся интегралу з! - — с!!.
! о Итак, ~ 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
