Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 107
Текст из файла (страница 107)
По отношению к функции 1(у) естественно возникает ряд вопросов — о существовании и выражении ее предела при определенном предельном переходе„в частности, об ее непрерывности по у, об ее дифференцируемости и выражении для ее производной, наконец, об ее интеграле. Всем этим вопросам и посвящена настоящая глава. Изучение свойств функции, выраженной интегралом (1), зависящим от параметра, может представить самостоятельный интерес (в этом отношении см., например, э 5). Но, помимо того, эти свойства, как читатель увидит, имеют и многообразные применения, в особенности, к вопросу о вычислении несобственных интегралов. 504.
Равномерное стремление к предельной функции. Решающую роль в предстоящих исследованиях будет играть указанное в заголовке понятие. Пусть функция у(х,у) определена, в общем случае, 5041 655 Ф Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ в двумерном множестве оФ'= К и ьЛ, где К и й означают множества значений, принимаемых порознь переменными х н у, причем '$ имеет своей точкой сгущения, скажем, конечное число уь.
Если 1) для функции Лх,у) при у уь существует конечная предельная функция !пп 1(х, у)=еу(х) (х из л,), (2) У-У. и 2) для любого числа е~О найдется такое не зависящее от х число д»О, юпо при ~у -уа~ д будет !У(х, у) — у(х) ~ ° е (3) сразу для всех х из Ж, пго говорят, чупа функция у'(х,у) стремится к предельной функции р(х) р а в и о м е р и о относительно х в области К. Нетрудно перефразировать зто определение и на тот случай, когда у есть несобственное число, например, +чч при этом лишь неравенство вида ~у-уь~ д заменяется неравенством вида у -Л.
В главе ХП [4281 мы имели уже дело с частным случаем такого равномерного приближения к предельной функции; там речь шла о функции у„'(х), содержащей в качестве параметра натуральный значок и, В 429, имея дело с последовательностью функций, мы установили, что для равномерной сходимости необходимо и достаточно, так сказать, равномерное выполнение принципа сходимостн. То же можно сделать и в общем случае. Именно (если ограничиться предположением, что уь конечно): 1'. Для того чтобы функция з'(х,у) при у уь имела предельную функцию и стремилась к ней равномерно относительно х в области Х, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа е 0 существовало такое не зависящее от х число д О, что неравенство (Ях, у') -Ях, у) ) е (4) выполняется для всех х из Х сразу, лишь только ~У вЂ” Уь) д, (У' — Ур! д (У, У' из ьВ).
(5) 1В случае уь=+ взамен последних неравенств появляются неравенства у Л, у'>гЦ Необходимость. Пусть нмеет место равномерная сходив масть. Заменив в определении г на — и соответственно выбрав д, б5б гл. хвп инты гклы, зквисяьтив от пьеьмвгеь !504 возьмем теперь два значения у и у' из й, так чтобы выполнялись условия (5). Тогда будем иметь, каково бы ни было х, ~У(х, у') -у(х) ~ -; и ~ у(х) -Лх, Ф -;, откуда и следует (4). Достаточность. Если упомянутое условие выполнено, то прежде всего ясно существование предельной функции (2). Переходя затем к пределу в неравенстве (4) при у' у, (причем у фиксировано так, что (у — уь) 6), получим: фх) — Ях, у) ! ~е.
Этим и установлено равномерное стремление функции у(х,у) к предельной функции сь(х). Установим теперь возможность сведения рассматриваемого вопро- са к равномерной сходимости по с лед о вательнос тей функ- ций: 2 . Для того чтобы функиия )(х, у) при у у„стремилась к функ- >гни у(х) р а в н о м е р н о (относип>ельне х в области Х), необходимо и достаточ>ю, чтобы к у(х) равномерно сходилась каз>сдая последо- вательность ()(х, у„)), по какому бы закону варианта у„(со значениями из 'Т)) ни стремилась к ув. Доказательство ограничим случаем конечного ув. Н е о б х о д и м о с т ь.
Предполагая равномерное стремление г(х, у) к р(х), по произвольно взятому е =-О найдем соответствующее, в согласии с определением, число 6 =-О [см. (3)]. Какова бы ни была варианта у„-у,, для нее существует такой номер Ж, что ~у„-уь~ 6 лишь только и. Х. Но тогда, при тех же значениях и, в силу (3), вы- полняется неравенство фх, у„) — в>(х)( «е н притом сразу для всех х.
Таким образом, доказана р а в н о м е рн а я сходимость последовательности (т(х, у„)). Достаточность. Пусть теперь дано, что каждая такая последовательность сходится к у(х) равномерно. Для того чтобы доказать равномерное стремление функции >'(х, у) к у(х), предположим противное. Тогда для некоторого е <!, какое бы ни взять д.=д' .О, найдется такое значение у=у' из л, что хотя ~у'-ув~ - д', все же по крайней мере для одного значения х=х' из гь' будет выполняться неравенство: ~ г(х',у') — 4>(х')~~е.
Возьмем теперь последовательность поло>кительных чисел Щ, сходящуюся к нулю. Каждому б„, по сказанному, можно сопоставить два значения у„ и х„ такие, что ~у„-уь( Ьп, но (у(х„, у„) -у(х„)( ~е. (б) Ясно, что у„ув (ибо бп О), но последовательность (у(х, у„)) р а в н ам е р н о сходиться к ~р(х) не может, ввиду (6). Мы пришли к противоречию с тем, что дано. 505) 657 Ь Ь ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ Пусть теперь множество л представляет собою конечный промежуток [а, Ь]. Мы знаем [436], что если последовательн о с т ь [~„'(х)) функций, непрерывных (или интегрируемых в собственном смысле), равномерно сходится к предельной функции, то и последняя необходимо будет непрерывной (интегрируемой).
Ввиду 2' непосредственно ясно, что все это переносится и на общий случай: 3'. Если функция у(х,у) при любом у из ьг) непрерывна (иитегрируема) по х в промежутке л =[а, Ь] и при у-уь, рави о мерно стремится к предельной функции у(х), то и эта функция также будет непрерывна (интегрируема). В интересах дальнейшего изложения мы установим еще следующее предложение, обобщающее теорему Д и н и п'431.
П р и этом мы будем считать, что все у уь. 4'. Пусть функция Ях, у) при любом у из в]) будет непрерывна по х в промежутке ь = [а, Ь] и при возрастании у, монотонно в озрастая, стреми1пся к непрерывной же предельной функции 72(х). Тогда стремление это необходимо будет р а в н о м е р и ы м относительно х в промежутке Л. Выделим из ьй монотонно возрастающую последовательность [у„) значений у, сходящуюся к у„, и рассмотрим соответствующую последовательность функций [Ях, у„)), очевидно, также монотонно возрастающую вместе с л.
Так как ряд Ях, у,) + ~[Ях, у„) - 7(х, у„,)] =71(х) ь=а состоит из и о л о ж и т е л ь н ы х членов (возможно, за исключением первого члена), то теорема Д и н и позволяет утверждать, что этот ряд сходится р а в н о м е р н о относительно х в промежутке 5ь. Следовательно, по заданному е 0 найдется такой номер п„ что неравенство ]1у(х) -Ях, у„) ] е окажется вьшолненным сразу для всех х из К. Ввиду монотонного возрастания функции 7' вместе с у, тогда подавно выполняется н неравенство )1р(х) -у(х, у) ( е, лишь только у у; этим доказывается наше утверждение. Хотя установленный частный признак равномерного приближения и кажется очень узким, но он нередко бывает полезен, избавляя от необходимости иным путем убеждаться в наличии равномерного приближения.
505. Перестановка двух предельиьпс переходов. В настоящей главе через все изложение красной нитью проходит вопрос о п е р е с т ановке двух предельных процессов того или иного 22Г. М и,.„° °,. 11 б58 ГЛ. Х!Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕП А типа. В простейшей форме этот вопрос впервые встретился нам в 168, когда речь шла о существовании и равенстве повторных пределов: Иш ! Нп Ях, у) = Иш Иш Лх, у) к х,у у, у у, х к, в предположении, что существует двойной предел: 1!ш Ях, у). х хх У У Затем в 436 мы видели, что теорема о почленном переходе к пределу в равномерно сходящемся функциональном ряде также может быть выражена в подобной форме: 1!ш Иш г"„(х)= 1пп Иш у„(х) на этот раз — в предположении равномерной сходнмости при и-- функции Д„(х) к своей предельной функшш. Пользуясь введенным в предыдущем и' понятием, мы сформулируем сейчас общую теорему того же типа, Мы будем предполагать, что функция у(х, у) определена в двумерном множестве ау8'=-убх""е, причем множества с =(х! н ."л=(у) имеют порознь точки сгущения х, и у (конечные нли нет).
Пусть при каждом х из о сущеппвует простой предел 1пп ~"(х, у) =в (х), У Ух а при каждом у из ь!! — и р о с т о й предел Иш Ях, у) =хе(у). х х, Если при у уь фующия у(х,у) стремится к предельной функции у(х) р а в н о м е р и о относительно х в области ь", то существуют и равны оба повторных предела (7). Легко бь!ло бы свести эту теорему к упомянутому выше частному случаю ее, но — для большей отчетливости — мы предпочитаем дать здесь независимое доказательство (предполагая — для определенности — оба числа хь и у, конечными). Задавшись произвольным числом е -О, в силу теоремы 1' 504, найдем соответствующее ему число д .О такое, что неравенства (5) влекут за собою (4), каково бы ни было х из л,.
Фиксируем значения у и у', удовлетворяющие условиям (5), а х предположим стремящимся к хь; переходя в (4) к пределу, получим: )хр(у') — ху(у) ! ~е. (8) Таким образом, для функции р(у), при предельном переходе у-уь выполняется классическое условие Б о л ь ц а н о — К о ш и (58], 659 $ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ откуда и следует существование конечного предела 1)ш ц(у) =А. У У Теперь ясно, что, лишь только 1у — уе~ 6, будет (при любом х нз К) 19а(х) — у(х, у)1*не, а также 14у(у) -А1*пе; в этом легко убедиться, переходя к пределу в неравенствах (4) и (8) при у' уе и фиксированных х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
