Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 111
Текст из файла (страница 111)
512) бй 1 Ь ЗЛНМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ причем ненаписанные члены содержат лишь низшие степени г, а члены, свободные от г, сводятся просто к постоянным. Теорема, очевидно, будет доказана, если будет установлено, что еыраженне Р'+аз обращается е нуль для некоторой системы значений г и О. Введем в рассмотрение функцию Р У- агс)б — . а Тогда др да др да — а — Р' — — — а — Р— дУ дг д~ МУ до до дг ) +ао ' до Рз+ао так что дЧI Н1г, 0) дгдб 0 +а)-.) здесь 11(г, О) есть непрерывная функция г и О, точное выражение которой для нас не представляет интереса. Составим, наконец, повторные интегралы к е о и , дз1) 1,= ~йг! — — йо и 1,= ) йО)--- йп ) дгдО ,— ! )--- о о о о о ОУ так как из самого выражения для — видно, что зто и есть функция от О с периодом дг 2л.
Отсюда следует, что 1,=0. Обращаясь к интегралу 1„имеем к дзи д1) ~ =к — - де=в .д до дд~,= о Для дальнейшего важно теперь да тела и знаменателя дроби — . до Так как др — — лго ып до рассмотреть старшие озносительно г члены числи- да по+..., — юл сохло+.. до то др да — а — Р— = — лг'л+...
дО ОО где д есть положительная постоянная, значение которой мы установим ниже, Если бы функпия Рз+аз никогда не равнялась нулю, то подинтетральнал функция была бы непрерывна, и, по теореме 4, необходимо было бы: 1з =1,. Мы покажем, однако, что при достаточно б алые о м и подобное равенство заведомо не выполняется; это будет свидетельствовать о том, что в круге радиуса и вокруг начала функция Рз-~-а' должна принимать и нулевое значение, и теорема будет доказана. Вьзчлсляя внутренняй интеграл лля 1,, получаем: 682 [513 ГЛ. Х!У. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯ!ЦИЕ ОТ ПАРАМЕТРА С другой стороны ра+[2а-„за а так что, окончательно, имеем: ди -лгал-!., дв г'"ь...
Так как ненаписанные члены содержат низшие степени г, коэффициентами которых служат ограниченные функцик от О, то не только ди [цп — = — л, -- дд но самое стремление к пределу — л происходит равном ер но относительно О. ди др ОЮ Поскольку при г=о и — О ! Ебо в этом случае — = — О~, внутренний дв ав ав аи интеграл для 1, сводится к эначениго — при г=д. Когда и, это значение ав стремится к -л р а в н о мери о относительно В. А тогда, по теореме 1, !пп 1~= — 2лл, л Таким образом, для достаточно больших Л интеграл 1, будет отрицательным, и равенство й =Та станет невозможным.
$ 2. Равномерная сходнмость интегралов 1(у) = ~ у(х, у)!ух. а По самому определению несобственного интеграла с бесконечным пределом (470[: ~; :у(х,у) !ух=[пи ~лх, у) Их. а а Таким образом, интеграл Г(А, у) = ~: :'у (х, у) атх, а (2) 513. Определение равномерной сходнмости интегралов. При распространении изложенной теории интегралов, зависящих от параметра, на случай не собственных интегралов особую роль играет понятие рави о мери ой ох о димости интегралов, которое мы предварительно и выясним. Предположим, что функция Дх, у) задана для всех значений х-а и всех значений у в некоторой области аа. Пусть, далее, при каждом у в этой области существует интеграл 513] б83 1 2.
РАВнОмеРЯАя схОдимость интеГРАлОВ представляющий собой функцию от А и у, при у = сопз1 и А - имеет пределом 1(у). Если стремление этого интеграла к 1(у) происходит р а в и о м е р и о относителыш у в области '3), то интеграл 1(у) называют рави ом ер но сходни)изгоя относительно у для указанных значений параметра. Это значит, что для любогоеьО найдетсятакое не зависящее от у число Ао-а, что, лишь только А=.Ао, неравенство )Лх,у)с[х — ~Ях,у)с[х'=~~Ях, у)с[х . е а а А будет выполняться одновременно для всех значений у во].
Для примера рассмотрим интеграл уе «У д«, о который сходится при кажном фиксированном значении уш0. Вычислим непосредственно ннтеграи уе-«У а)х. А При у=О он равен О, каково бы ни было А; если же у О, то с помощью подстановки «у = 1 легко находим уе «У а«= ] е ~ дг=-е АУ А АУ Когда у фиксировано, зто выражение прн А, очевидно, стремится к О, н, каково бы ии было о» О, неравенство е'АУ а (3) ! )и— Е будет выполняться для всех А А,(у), где А,(у) = зависит от у. у Если изменение у ограничено промежутком [с, д], где с О, то найдется и н е зависящее от у число А„такое, что при А Аа неравенство (3) будет выполняться с р а з у д л я в с е х у: достаточно за А, принять А,(с), нбо при А» А„ будет тогда е АУ«яе Аа е (сну д). Иными словами, наш интеграл сходится равномерно относительно у в промежутке [с, д].
Иначе обстоит дело, если параметр у изменяется в промежутке [О, д] (д 0). На этот раз такого А, уже не существует (по крайней мере, если е 1). Это видно хотя бы нз того, что, сколь большим ни взять А, выражение е АУ стремится к 1 при у О, так что для достаточно малых значений у оно будет б о л ь ш е любого б84 ГЛ. Х!Ч.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 1815 числа О«1. Сходлмость интеграла прн изменении у в промежутке [О, 81 уже н в будет равномерной относнтелъноу. 514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами. Пользуясь общим критерием равномерного стремления функции к пределу [504, 1'[, можно применительно к рассматриваемому случаю сформулировать его так: Для того чтобы интеграл (1) сходился равномерно относительно у в области з), необходимо и достаточно, чтобы лри любом заданном е 0 нашлось такое число А, не зависящее от у, чтобы неравенство А' А А' !) У(х, у) г(х — ~ У(х, у) »1х ! =- ! ~ Г"(х, у) »1х в вылолиялось одповрелгенно для всех у в )1, лишь только А'»А» 4»- И здесь, как обычно, дело сводится к тому, чтобы для всех рассматриваемых значений у равномерно выполнялся принцип сходимости [ср.
475[. Несобственный интеграл с бесконечным пределом мы в 475 уже сопоставляли с бесконечным рядом. Связь с бесконечными радами существуст и в вопросе о равномерной сходнмости интеграла (1). Как мы знаем из 504, 2', для равномерного (относительно у) приближения функции Р(А,у) [см. (2)) при А к интегралу (1) необходимо и достаточно, чтобы к этому интегралу равномерно сходилась каждая последовательно оть функций [с(А„,у)), какова бы ни была варна»гга АО, стремягцаяся к 4-.
Если, наконец, от»язлыка последовательностей» перейти к «языку бесконечных рядов», то придем к окончательному заключению, что равномерная (относительно у) сходимость интеграла (1) совершенно равносильна равномерной зке сходимости всех рядов вида Я [у'(х,у)»гх (АΠ—— а, А„в а), »=0 г где А„есть любая варианта, стрелгяшаяся к + 515. Достаточные признаки рав»вмерной сходимости. Установим теперь некоторые признаки, по которым обыкновенно на практике судят о равномерной сходимости интегралов.
Онипостроеиыпообразцупризнаков Вейерщтр асса, Абеля и Д и р и х л е равномерной сходнмости фунхциональных радов [430), а также близки к признакам сходимости несобственных интегралов 5151 б85 Ф 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСП ИНТЕГРАЛОВ [476), которые мы также связывали с именами Абеля и Дирихле. 1'. Мы будем предполагать, что функция г"(х,у) интегрируема по х в каждом конечном промежутке [а, А] (А~а). Если существует такая, зависящая лишь от х, функция еи(х), интегрируемая в бесконечном промежутке [а, +-), что нри всех значениях у в и)) (Ях, у)( =-ци(х) (для х.-а), то интеграл (1) сходится р а в и о Аз е р л о относительно у (в указанной области его значений).
Это непосредственно вытекает из неравенства А' А' ~1(х, у) Ых ~- ) ц (х) ах, А А сели воспользоваться критерием предыдущего и*. При указанных условиях иногда говорят, что функция Ях, у) имеет интегрируемую мажо ранту си(х), или что интеграл (1) мажорируе тся сходящимся интегралом ~~у(х) ах, и не содержащим параметра. 2'. Более тонкие признаки, как и в 476, доставляет нам применение второй теоремы о среднем. Рассмотрим интеграл от произведения двух функций: 1(у) = ~ Лх, у)е(х, у) ах, (4) предполагая функцию Дх, у) интегрируемой по х в любом промежутке [а,А), а функцию я(х,у) монотонной по х. Если интеграл ~Ях,у)дх и )5(х,у)[тЕ (Ь=сопз1, х~а, у из и7)), то интеграл (4) сходится р а в и о м ер и о относительно у в обла- сти оз. сходится равномерно относительно у в области йг), а функция к(х, у) равном ер но ограничена; ГЛ.
Х!Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (515 686 Вместо (6) и' 476, имеем на этот раз: ~Ях, у)8(х, у) е(х =-я(А, у) ~ Ях, у) е(х + 8(А', у) (Ях, у) Ах. Если на основании 514 взять А„настолько большим, чтобы прн А' А Ае было А' ~г е ~фх,у) егх! А одновременно для всех у, то (как и в 476) нетрудно получить оценку А' ~ ~ у'(х, у)д(х, у) ггх -е, А что (514] и доказывает наше утверждение.
3'. Аналогично и' 476, можно указать и другую комбинацию условий, налагаемых на функции г и я. Если интеграл ~Ях, у) ах а будет р а в н о м е р н о ограничен, как функция от А и у: ~; 'Г(х,у)егх~-.К (К=сопз1, А=а, у из ))), а в(х у) О при х равномерно относительно у (в обласгни ал), то интеграл (4) сходится р а в и о м е р и о относительно у в области аг).
Доказательство предоставляем читателю. 4'. В заключение заметим, что на практике чаще встречается случай, когда из двух множителей г' и я на деле лишь один содержит параметр у, Таким образом, каждый из критериев 2', 3' дает два частных признака (в зависимости от того, к а к о й из этих множителей содержит у). Сформулируем одни из признаков, вытекающих из 2', который наиболее часто применяется на практике: Если интеграл ~ 7'(х) Агх а 516) 687 1 2, РАВнОмеРнАЯ сходимость интеГРАЯОВ сходится, а функьуия б(х, у), монотонная по х, равнольерно ограничена, то интеграл ~~ ~'(х)е(х, у) дх схоьльтся равномерно относительно у.
В качестве примера, отсюда следует равномерная относительно у, дяя у- О, схсдимость интеграла типа а-ху.у(х) ах, ~ е-х'у.у"(х) ах (а О) а а в предположении, что интеграл )у(х) ах сходится. Действительно, обе Функции: е- у, е-а'у, монотонно убывающие по х, ограничены единицей. Это замечание нс раз будет нам полезно в двльнейшсм. У(у) =- ~ у(х, у) г7х, (5) буда он собственный или нет, является пределом при О интеграла ь-ч у(з), у) « ~Г(х, у) дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
