Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 112
Текст из файла (страница 112)
а (6) Если стремление этого интеграла при 2) О к пределу ь(у) происходит равномерно относительно у для значений у в области а, то говорят, что интеграл (5) сходится р а в и о м ер и о относительно у в указанной области. Это значит, что для любого г О найдется такое не зависящеее от у число дыО, что, лишь только г)«д, неравенство ь ь — ч ь ( ~Ях, у) гаях — ) Ях, у) ьух! = ~ ~ Ях, у) гаях ! .е а а ь — ч будет выполняться одновременно для всех значений Ув В. 516. Другой случай равномерной еходимостн. Рассмотрим теперь функцию у(х,у), определенную для значений х в конечном промежутке (а, Ь) и значений у в некоторой области Ф; пусть при у =сопв1 она интегрируема по х (в собственном смысле или нет) от а до Ь. Тогда интеграл 688 Гл.
х!ч. интегРАлы, злвисяегие от ПАРАметРА (516 Нетрудно сформулировать для этого случая условие, необходимое и достаточное для равномерной сходимости. И здесь оно сводится к равномерному выполнению принципа сходимостн: по числу е О должно найтись такое не зависльиее от у число Ь О, что при О «Пь' <т) ~ Ь выполняется неравенспно ь-ч' ~ ~ Ях, у) ах ) -е, ь-; каково бы ни было у в области ® Точно так же здесь можно свести вопрос о равномерной сходи- мости интеграла (5) к вопросу о равномерной сходнмости бесконечного ряца: ь а ь, ~Дх, у) ььх=.б' ~ Ях, у) ььх а а (а,=а, а еа„еЬ), какова бы ни была варианта а„Ь [ср.
514). Наконец, переносятся на рассматриваемый случай и достаточные признаки и' 515. Предоставляем это читателю. Мы рассматривали интеграл (5) от а до Ь как предел интеграла (б) от а до Ь-Р), и нас интересовал характер приближения последнего интеграла к своему пределу. Таким образом, о с о б у ю роль здесь играет точка х=Ь (как в 513 — точка х= ). Может понадобиться (в зависимости от обстоятельств, которые выяснятся дальше) отвести подобную же роль и другой точке промежутка. Например, тот же интеграл (5) можно рассматривать как предел прн и О ин- теграла ь ~ Ях,у)ах. а+ч Если последний при ь) О приближается к своему пределу р а в н омерно относительно у, то также говорят о равномерной с х о д и м о с т и интеграла (5).
Все сказанное выше переносится и на этот случай. Если может возникнуть сомнение относительно того, о каком виде равномерной сходимости ццет речь, говорят, что интеграл сходится равномерно (относительно у в определенной области), соответственно, при х= +, при х=Ь, при х=а и т.
п. Отметим, что, как правило, равномерная сходимость интеграла (5), скажем, при х=Ь, нас будет интересовать в тех случаях, когда имешю точка х = Ь оказывается о с о б о й для интеграла (5) (в смысле п' 479] — при тех или иных значениях у. Но определение не только формально сохраняет силу и тогда, когда интеграл (5) и р и в с е х з н а ч е н и я х у оказывается 517) 1 2. РАВномеРИАя схОдимость интеГРАлОВ 689 собственным, но, как увидим, может оказаться реально полезным также и в этом случае.
Например, шпеграл для каждого значения у в промежутке (О, д), где д О, будет существовать как собственный. Однако для указанного промежутка изменения у его сходимость не будет равномерной при х=О. Действительно, неравенству ч у 2) — Ах агсгв — и ха+уз у е б17. Примеры. 1) Доиазать непосредственно равномерную относительно у сходимость интеграла у'-х' Ых (хе ~-уетз з (для всех значений у).
Имеем: - уз-х' А 1 дх = — ~-, ~ (хз-Руз)2 Аз-~-Уз А А откуда и запекает требуемый результат. 2) Установить с помощью мажоранты, что интегралы (а) ~е-сх' Фх, (б) ~е — гхх" созхдх (а-О) о о сходятся равномерно относительно Г для Г~гл л-О. Ух аз а н ив.
Мажораитой будет (а) е-'~', (б) е — Ьххл. 3) Доказать непосредственно, что интеграл ~ — е Ах ! для значений л = 1, 2, 3, ... не сходится равномерно относительно л. Это следует из того, что, каково бы ни было А = сопзг, Л Л Л л — 1" — е с(х=е ~ 1-е 1 тле 2х' 2А* ХЗ А А при л если только е —, нельзя удовлетворить одновреме~шо для всех значений у 0: 2 л сколь малым ии взять и, его левая часть при у 0 стремится к — и для достаточно 2 малых значений у будет, наверное, больше, чем а [517 ГЛ. Х!Ч, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯПГИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Гз!П ах 4) Доказать непосредствено, что интеграл З! — ох сходится равномерно х с относительно а в области а»ае О, и неравномерно — в области ав О.
Если Ае настолько велико, что при А Ае ~ — лх~ е, А где 5»0 — произвольное наперед заданное число„то (7) А А 45 по абсолютной вели'шне будет меньше е для всех а ае»0, лишь только А ке Этим доказывается первая часть утверждения. Вторая же часть следует из того, что выражение (7) при любом А = сопз! стремится к пределу е когда а О. 5) Доказать равномерную относительно а скодимость интеграла зщ ОХ вЂ” соз х лх х е в любом замкнутом промежутке, не содержащем х 1.
У к а з а н и е. Преобразовать интеграл к виду 1 Г 51п(а->1)х+5(п(а-1)х Ах. х е б) Исследовать вопрос о равномерной (относительно с) скодимости интеграла х 51п хх зш Гх ~1Х. е 5171 691 5 2. РАВНОМЕРНАЯ ОХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ У к а з с н и е. С помощью двукратного интегрирования по частям интеграл приводится к виду: А соя х» 5)п ух г Бш хя'со5 Бх 1 ' сОБ хБ.Б!п гх г 5!55 хе со5 гх 55х » — ах+в Зх 3 Зх» А ЗЗ х" ЗЗ х' А А отсюда ясна равномерная скодимость относительно г в любом конечном промежутке.
7) Установить, что внтегралы (а) ~ХР-5 5(т, (б) ~хР-5 1п55хг(х (Бл — натуральное число) сходятся равномерно относительно р (при х = 0) в области р-Р„О и неравномерно — в области р О. Мажоранта: (а) хР -', (б) ХР.-5~1п я~55 (для области р»-р, 0). С другой стороны, какое бы ни взять 5)--. сопя!, 8) Аналогично устанавливается равномерная сходнмость интеграла хР 5(1 — х)» 55(х е относительно р для р ре ~ 0 (при х= 0) и относительно» для»-»5 0 (при х = 1).
9) Доказать, что сходимость интеграла а (при я= 0) будет равномерной относительно у для у-у,«2 и ной для у 2. 1 Мажоранта †-- для случая у~уе 2. Далев фиксируем ху 51пх 1 но настолько малым, чтобы при х и») было — в —; тогда х 2 не будет равиомер- 0 произвольно, ч ОР хР-' г)х= —, когда Р-О. Р е Ч Г- ыпх 1г Ых 1 —.
-- 5(х -~1 = — 5)5 у при ХУ 2) хг ' 2(2-у) о е Г' Г 5! и Х'ЫП СХ + — )1 Их; ХБ А 692 ГЛ. Х1У. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [517 1 (1+х+х'+... +х" ') ~[ 1о — с(х х е (как при х — — О, так и при х = 1). 1 Так как 1+х гхзь... Рх" ' —, то мажорантой служит функция 1 — х — у 1п †, которая в промежутке [О, Ц ивтегрируема. 1 — х х 11) Непосредственно установить, что сходимосгь интеграла уз-х' 4х (хз-ьу')' нс будет равномерной (при х-0) относнтелыю у в промежутке [О, 1) изменения у.
Имеем, при произвольном г) = соим, уз- Х' Х ~х=з Л 1 Ых=. ~ =- — —, если у-О. (х'+у')' ха 4 у' )х=с г)1+уз л ' е 12) То же для интеграла 1 8хзу — 8ху' г(х. (х'+у')' е Здесь интеграл 1 при у=1) обращается в 1) 13) Доказать, что интеграл соз х е хУ вЂ” г(х (О«а«1) с сходится равномерно относительно у для уи:О (как при х= По отношению к х=О зто ясно из наличия мажоравты следует из сходимости внтеграла О„так и при х= ).
1 —, а двя х= это х ~ — - Нх с [476) а связи с заключительным замечанием и' 515. 10) Доказать равномерную относительно л (л=1, 2, 3, ...) сходимость ин- теграла 5171 693 1 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ 14) Пусть функция у'(!) непрерывна для ! О. Если интеграл ~ !1)'(!) А! о сходится при Л=а и Л=!5 (и«лу), то он сходится — и притом равномерно относительно Л (при ! = О и при ! = ) — для всех значений Л между сс и !5. 1 Доказательство.
Интеграл ~ !ел(!)А! сходится„а !" " для значений о Л и является монотонной функцией от ! и ограничена единицей. Отсюда интеграл 1 1 гл)'(!) с(1= ~11 " !с)'(!) с(! для указанных значений Л сходится равномерно (при ! = 0) Аналогично убеждаемся в том, что интеграл !лу(!) А! = 1! -о !Рт А! сходится равномерно относительно Л для Л~!5 (при 1=- ). 15) Установить равномерную относительно у сходимосгь (при х = ) интеграла соаху — Ах (О а 1) хо о для у уо О, и нарушение равномерности в случае, если изменение у ограничено лишь неравенством у О. В отношении первой части утверждения можно было бы воспользоваться прнзнаком 515, 3' (ср.
4'), так как при любых А О и у-уо А ыпАУ ~ 1 соя ху Ах~ =~ У ~ Уо о 1 а функция —, монотонно убывая, стремится к нулю при х х То же замечание можно сделать, непосредственно рассматривая выражение спеху г соз к — с(х = уа 1 ~ — с а хо К А Ау 1 Вторая часть утверждения вытекает из того, что зто же выражение при А-- у и у О бесконечно возрастает. (Легко видеть, что при к=О интеграл сходится равномерно относительно у — в любой области изменения у.) [518 694 ГЛ. ХШ.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯШИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 16) Доказать что интеграл х з|п рх — с[х [и, 1) О) Кг.~.хг о равномерно сходится относительно р, для р"-[)о О. Это следует из 515, 3'. Действительно, для [3-ро А 1 — сов лр 2 < о[прхдх<= в о С другой стороны, выражение нс содержащее [), убывает с возрастанием х [по крайней мере для х и) и стремится коприх 4- 5 3. Использование равномерной сходимости интегралов 518. Предельный переход под знаком интеграла. Мы займемся сейчас, главным образом, вопросом о предельном переходе под знаком интеграла, распространенного на бесконечный промежуток.
Теорема 1 и' 506 на этот случай не распространяется: если даже во всем бесконечном промежутке функция Ях,у) при у уо равномерно стремится к предельной функции 1о(х), предельный переход под знаком интеграла может оказаться недопустимым. Рассмотрим, в виде примера, функцию (и = 1, 2, 3, ...) < л Ях) = †, е (х .О), У„[0).= О. Обычными методами дифференциального исчисления легко устано1[л вить, что наибольшего значения эта функция достигает при х= [)— г ~) 3 и равно опо — е . Так как при л это значение стремится к 3)З г нулю, то отсюда ясно, что функция Ях) при л - во всем промежутке [О, -," ) равномерно стремится к ~р[х)=0. Тем не менее интеграл < Ях)о[х=1 о при и вовсе не стремится к нулю. а 3.
ИСПОЛЬЗОВАНИВ РАВНОМВРНОИ СХОДИМОСГИ 695 Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой: Теорема 1. Пусть функция Ях, у) при у из ай интегрируема (в собственном смысле) по х в промежутке 1а, А1 при любом А . а, и в каждом таком промежутке при у уе равномерно относительно х стремится к предельной функции у(х). Если, сверх того, интеграл 1(у) = )' Ях, у) йх (1) а сходится равном ерн о относительно у (в Ф), то имеет место формула 11ш ) у'(х, у) ах = ) р(х) ах. У Уаа Положим, как н выше, (2) Р(А, у) - ~ Лх, у) Ых. а Для этого интеграла выполнены условия теоремы 1 и' 506, поэтому л 1пп Г(А, у) = ~ у(х) Ых. (4) У У а С другой стороны, очевидно, !пп Г(А, у)= ) Ях,у) с(х, а (5) ~ц(х) ах а " Мы считаем, что здесь есе у уа. причем дано, что здесь стремление функции Р(А, у) к своему пределу происходит равномерно относительно у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
