Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 113
Текст из файла (страница 113)
В таком случае мы имеем право сослаться на общую теорему и' 505 о перестановке предельных переходов и утверждать существование н равенство повторных пределов, что непосредственно и приводит к (2). Отсюда, применяя обобщенную теорему Д и н и [504, 4'), можно получить такое Следствие *. Пусть неотрицательная функция Ях, у) и е и р ерывна по х в промежутке (а, + ) и стремится, возрастая с возрастанием у, к предельной функции ц(х), также непрер ы в и о й в указанном промежутке. Тогда из сууцествования инте- грала 696 ГЛ. ХРА ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 151а уже вытекает как существование интеграла (1) (при всех у из Ч1), так и наличие формулы (2). По упомянутой теореме при указазшьзх условиях стремление функции з (х, у) к ч(х) будет р а в н о м е р н ы м относительно х в любом конечном промежутке.
Далее, в силу теоремы 1 и' 474, существует интеграл (1), так как у'(х, у) у(х). Функция р(х) играет одновременно и роль мажоранты [515), обеспечивающей р а в н о м е р н у ю (относительно у) сходимость интеграла (1). Таким образом, соблюдены все условия для применения предыдущей теоремы. Читатель легко докажет, что предположение о существовании интеграла (6) от предельной функции может быть заменено здесь предположением о существовании конечного предела 1пп ) у'(х, у) а(х У У 'а — отсюда уже будет вытекать и существование интеграла (6), и наличие формулы (2). В том же порядке идей можно получить и некоторое обобщение теоремы 1 и' 510, относящейся к конечному промежутку. Теорема 1'.
Пусть функция у(х, у) (для у из ар) интегрируема (в собственном смысле) в промежутке [а, Ь вЂ” ~], при любом з1»0 (но Ь вЂ” а), и в каждом таком промежутке при у уь р а в и о м е р н о относителыю х стремится к предельной функции 1а(х). Если, сверх того, интеграл ь ~Ях,у)дх а сходится (при х=Ь) ров номер но относительно у в 3, то имеет место формула ь ь 1пп ~ Лх, у) а(х = ) щ(х) с(х. ва Доказательство ничем не отличается от только что проведенного. Легко распространяется на этот случай и следствие. Конечно, роль точки Ь может играть и любая другая точка промежугка. Кроме того, подобных точек в промежутке может быть и песка лысо. Как и выше, с предельным переходом под знаком интеграла чаще всего приходится иметь дело применительно к и о с л е д о в ат е л ь н о с т и функций [уа(х)1.
Переходя от последовательностей 519! 1 3. испОльзОВАние РАВЯОмеРЯОЙ схОдимОсти 697 к бесконечным рядам, можно получить, таким образом, новые теоремы о почленном интегрировании функциональиых рядов. Вот, например, какую форму получает следствие: Пусть ряд .г и„(х), состоял)ий из положительных непрерывных для хв а (или для а х~Ь) функций, имеет для этих значений х не пр ер ы вн у ю же сумму 91(х).
Если последняя в промежутке !а, + ) (или [а, Ь)) интегрирусма, то в этом промежутке ряд можно интегрировать по ил енно. Здесь так же, как и выше, вместо интегрируемости суммы ряда, можно было бы предположить сходимость ряда интегралов: о ) и„(х) Ых (или г,' ) и„(х) гКХ1. а а Утверждение, очевидно, остается в силе и в том случае, когда все члены ряда отрицательны: он приводится к предыдущему простым изменением знака. 519.
Примеры. 1) С помощью разложения в рлд вычислить интегралы: Р е ш е н и е . (а) Разлагаем лодинтегральную функцию в рлд !л (1 — х) х х' хо = — 1- — — — — —— х 2 3 4 все члены которого имеют отрицательный знак. Нарушается равномерность сходнмости вблизи х 1. Эта точка и является длл суммы ряда особой; тем не менее, в промежутке (О, !) сумма интегрируема.
Применяя последнее предложение предыдущего и', интегрируем почленно 1 1 !л(1-х) "1 г 1 л' Лх- — 2 — 1 -'Ых- — Л вЂ”,= —— х Зл та* 6 о о (440 (4)). (б) Второй интеграл подстановкой х =! — г приводится к первому. Тем не менее, 1 для упражнения, вычислим его заново, разлагая в рлд —: 1-х 1п х — = .~~л !их; 1 — х а о все члены здесь тоже отрицательны. Равномерность сходимости на этот раз нарушаетсл вблизи двух точек; х=О и х-1, так что упоманутое предложение 698 [519 ГЛ. Х1Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАИИСЯГСПЧЕ ОТ ПАРАМЕТРА следует применить порознь, например к промежуткам [О, — 11 и [ —, 1~. Оконча'21Ь тельно, 1 1 1пх "г "1 л' — — лй= ~~" 3! хл !Лягу= — ~ —,= —— л=о л=1 П о о 2) (а) Вычислить сумму ряда 1 1 ! 1 1 а= =14 †††††3 5 7 9 11 исходя из того, что 1 — ~х'лах (п=0,1,2, ...).
2п+ 1 о Решение. Имеем: 1 1 1 Г г -„г 1+хо л)г2 а= Ъ(-1)" ~ (хльх'"+) ях= ~ ~х чр (-1)хм ° (1+х)= ~ — о(х 3 !+хо 4 о о о Хотя особенностей сумма ряда не имеет, но равномерная сходимость нарушается вблизи х = 1. Так как для частичной суммы р1ща имеем: л-1 1+х' От~ (- 1)"х'" (1 ьх') = — (1+хо):л2 — -- ~4, о 1-1-х'л 1+хг то в роли мажоранты оказывается просто п о с т о я н н а я и интеграл от этой суммы сходится (при х= 1) р а в н о м е р н о относительно п.
Этим оправдывается почлеиное интегрирование (теорема 1'). (б) Аналогично: 1 1 1 1 л 1+ )г2 1— — + — — +— 7 9 15 17 4 2 3) Исходя из формулы 1 1 1 г = — ~ (1-х)"хя гг(х, р(р+ 1) ° (р+п) и! " о вычислить сумму Ряда: 1 1 1 (а) — + — + — + 1.2 3 3.4 5 5 6 7 1 1 1 (б) — + — + — +... 234 456 678 1 1 1 (в) + 1 2.3 4 4.5 6 7 7 8 9 10 5191 ! з.
использование гяиномегной сходимости Ольаеп«. 1 1 г(1 — х)ь 1 (а) — ~ —, «(г ==!и 2- — „ гз 1-хь 2" о 1 1 г(1 — х)'х 3 (б) — [ «!х= — -1л 2, 2 1 — х' 4 о 1 1 г(1 — х)ь 1 1 1 л (в) — [ — г(х= — — — !и 34 6 1 — х' 6 4 2[/3 6 о 4) Вычислить интегралы Эйлера: гха 1 (а) 1= ~ — «(х 1+х о (О а 1) х" '-хо ' (б) К=. «(х. 1 — х о (а,о О) Р е ш е н и е. (а) Разбив интеграл на два интеграла: 1 1= ~+~=1,+Уь, о вычислим их порознь.
Для 0 х 1 имеем разложение в ряд ха ' — — -=ф(-П"'-, 1-ьх,=о следовательно, интеграл от нее сходится равномерно (как при х= О, так и при х= 1), Интегрируя почлеиио, по теореме 1 получим: 1 1,= ~ [ ( — !)" ха+" ' ь(х= ~ —. " (-1)' «=о «=о а+« о 1 Интеграл Уа подстановкой х= — приводим к виду з 1 1 Применяя уже полученное вьппе разложение, найдем: «-1 Е-« который сходится равномерно, лишь если 0 аазх*и1-а' 1, Но частичная сумма имеет интегрируемую в [О, Ц мажоранту ха-1П ( .)а[ Оав ~; (-1)"ха+' ' ха-1 «=о 1+х [519 ГЛ. Х!Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Таким образом, 1 " ! 1 1 2=21+1,= +,~ (-1)г~ + — .
а г=1 а-!.г а-з/ Мы узнаем в этом выражении [см. 441, 9] разложеняе на простые дроби функции —. Окончательно, з1п ха хе' л о (б) разбивая интеграл на два, как и выше, и делая во втором ту же подстановку, получим гха '-х " г ха 1 — х Ь К= 1 г(х- 1 г(х К вЂ” Ке. 1-х 1 — х Очевидно, достаточно найти К,.
Прибегая к разложению подинтегральной функции в ряд, как и только что, найдем: Кг= — + ~ ( — — --!- ), но [441, 9)] здесь мы узнаем разложение на простые дроби функпин ч сгй ла. Итак, „Е-г ха-1 г!х=л(с!ила — с1йлб). 1-х е 5) Найти значения интегралов ()г! .1) (а) 11= ! — гсоа!)х - ~(х, (14х) (1 — 2г сок()х+гз) е !и (1 Р 2г соз 5х+ гз) (б) гг лх, 1+х' е причем в обоих случаях интеграл соя ах л — Их- — е " (й 0) 1Чха 2 е считать известным [см.
522, 4', а также 523, 9)]. е й обоих шпегралак при т= 1 особенности не будет, особая точка х= 0; интегралы скодятся, 5191 1 з. использовании вавномвинои сходимости 701 Р е ш е н и е. (а) Исходим нз разложения 1 — г соз Ьх ~~ г' созгфх*; 1-2гсозфх+гз =е 1 умножая на —, интегрируем почленно 1+.кз г соз грх 1,= Дг'~ дх. з +х' е 1 Так как исходный ряд — по умножении на дробь — — сходится равномерно 1+ я' относительно х даже во всем бесконечном промежутке, а часшчные суммы его с имеют мажоранту вида —, то почленное интегрирование оправдано (теорема 1).
1+х' Еслгг использовать теперь значение указанного интеграла, то окончательно получим л л 1 л ез 2 е 21 — гев 2ек — г (б) Указание. Исходить из разложения (461, 6) (б)) 1п(1 — 2г соя()х+гз).—. — 2 ~ — соз тфх. я=1 Откель 1з = л 1п (1 — ге Д). б) Разложить интегралы (Л а п л а с) (а) ~ е-И соя 2Ьх 4г, (б) ~ е-И ей2Ьхг(х, о а (в) ~ е — х'соя 2Ьхг(х е е ряды по степеням Ь (Ь О), причем во всех случаях считать известным интеграл ~е — ' г(г=-— )' е [492, 21, (а) Решение.
Пользуясь известным разложением косинуса и интегрируя почленно, получаем , - (-1) (2Ьх)з - (-Ц (2Ь)" ° е — и соя 2Ьхг)х= ~е — и ~ 4х= ~ ~ е — их'" гух. ,=е 2г! «=а 2г! е е е * Оио легко получается из разложений в 1О) и 11) п' 440. (319 ГЛ. Х1Ч. ИПТЕГРАЛЫ, ЗАИИСЯПГИЕ ОТ ПАРАМЕП'А Равномерная сходимость нашего ряда в любом конечном промежутке (б, А) очевидна; частичные суммьз его имеют мажоранту1 " (2Ьх)" в — М ~ — = е -х' с(з 2Ьх, у=е 2У! ннтегрируемую от 0 до, Этим установлена законность почленного интегри- рования. Остается определить интеграл ~в — х' х'" ох=у„. Интегрируя по частям, легко е придем к рекуррентной формуле: 2х-1 I„= — 2„1, откуда 2 (2з — 1)!! найдем окончательно: Подставляя зто в полученное разложение, )1н " (-1)'(2Ь)" (2хв х' соз 2Ьх ~ух=- > 2~ 2 ~=.1 2И о 1)!! ~Я 2 ) = — в — И в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
