Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Преобразуя произведение синура на косинус в разность двух синусов, сведем полу.ченный интеграл к интегралам знакомого нам вида (522, 2'): с/Н 1 г с „зю(«+б)х г яп(« — б)х 1 1/ «+// «-сб) с/х-~ е к" - с/«1= — (агсгй — -агсгй — ~ . с/«2~. х 1 21 о о Интегрируем по ю «,'-// «+/с « — б « — /) /с /се+(«-б)е Н= — — агсгй — — — асс си — -+ — )л +С.
2 Б 2 /с 4 /се+(«~-су)э Постоянная С=О (ибо Н=О при «-О). 3) Вычислить интеграл 1 — е соз с сй. о 725 ! 3. НОИОЕЬЗОВАнне РАВнОмеРнОЙ сходнмостн У к а з а н и е. Рассмотреть более обгпиа интеграл, введя параметрс 1- с — сой с й(с, с о вычислить его с помол!Ею дифференцирования, а затем положить и = !. Ответ. !п )с2.
4) Вычислить интегралы: г 1п (1+ а'х') Хй= ) й(х (а, Ь О). Ь'+ х' о г агаси гх ей = ~ й(х (гтО), х(! Рх') о уй= агсси ах- асс!а Ьх й(х (д, Ь»О). х' о (а) (б) (в) й(сй г 2ахй л йсх = —; й)а й (Ьй~-хй)(1-Г а'х') иЬ Р 1 о 2д хй мюкоранта для О девка'адс ° (Ь +х')П+а'х') Ответ. ей — 1п (аЬ+ !). Ь (б) Указание. Производная при гтО: й(г 1 (1+гехт)(14-хй) 2 1+с о 1 Л аажоранта . Ответ. ей- — 1п(1+г). 1+хо 2 (в) У к а з а н и е.
Производная по а приводится к интегралу типа дй'. Ь ~ всоси — с й(йй 1 агсси Ьх а и а-с- Ь вЂ” — — — й)х — й(С = — 1п— й(а ~ 1+а'х' т ~ с(1+С') 2 а о о (а О), л (а+Ь)и+о Ответ, йй- — 1п 2 а'Ьй 1и (1 4айхй) (а) Указание. сй непрерывен по а для дтО; мажоранта Ьй~-хй для О лазай. Проснводная для ам О 726 ГЛ. Х!У, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [ЯЗ Замечание.
Из ум при г=1, подстановкой х-181 получается интеграл л — й= — !п2, 181 2 а отсюда интегрированием по частям находим вновь [ср. 492л 1'): !и 5!и 1 ~(1 — — !л 2. 2 е 5) (а) Вычислить интеграл у.= ~ е — х' соз 2Ьх Их. е Решение. Илзеем ~У вЂ” — — ~ е-»* 2х 5!и 2Ьх ~(х. Тг(Ь о Интегрируя по частям, получим затем: Ы вЂ” = — 2Ь ~е-х'со52Ьх Их= — 2ЬУ, ~(Ь 0 Таким образом, для определения У получилось простое д и ф ф е р е н ц и а л ьнсе уравнение с отделяющимися переменными [388]. Интегрируя, находим У=Се-л'. ))л Так как при Ь=О дол>кап быть э= —, то именно этому и равно С. Оконча- 2 тельно, )гл э = — е — л*. 2 [ср. 819, 6) (а)).
(б) Если тот же прием применить к вычислениго юпеграла Н= ~ е-к*ып 2Ьх Их, то ирицем к дифференциальному уравнению е ВН вЂ” 1-2ЬН= 1. 5(Ь Умножав обе его части иа ел*, слева получим, очевидно, производную от произведения ел'.Н по Ь; интегрируя от О до Ь, найдем ел'.Н= ~ ел*~(Ь 727 з 3.
испОльзОВАние РАВномеРнОИ сходимости (так как Н=О при Ь=О). Таким образом, Н=е-з' ~ ес АА е Искомый интеграл лишь множителем 1/)са отличается от Р е ш е н и е. интеграла с' г у )'е у'Иу, е где с'-аЬ (подстановка у= )сш). Имеем: с* с' ссу — -2с ~ е З' — = — 2~ е "с(з= -2У ссс у' е е с) подстановка у= — ! .
Отсюда ~Я А 2 У=Ае Ошеет. — я — е ' . (Ср. 497, 8)). 2" е 7) Вычислить интеграл е " соз Ы вЂ” е сй соз Ь,г у ' ссг (а,с,вО). С е Решение. Дифференцируя по а и по Ь порознь, получим: ЭУ вЂ” = — ~ е ессозЫсз)= ае е а сс зЬЬз* ЭУ Ь вЂ” - — р-ес з)п Ьг Аг = — — . ЬЬ 3 а'+Ь' е Здесь для выражения интеграла пришлось ввести новую, снезлементарвую» функцию р(х)- ~ ес'сс) с (ср. Я9, 6) (в)). 6) Вычислить интеграл (а, Ь 0) 728 Гл, х|ч, интеГРАлы, зАВисящие от ИАРАметуА 1523 Нетрудно по этим частным производным восстановить самую функцию * 1 У= — — 1п(аз+Ь')+С, 2 где С не завнсит ни от а, нн от Ь.
Так как при а =а, н Ь = Ь~ будет 2= 0, то 1 С вЂ” (пи -Ьз|), 2 так что 1 а*,+Ь', /= — 1и 2 а'+Ь' 8) Вычислить интегралы (а О, Ь~О): е ~с о"'ниЬхз|)х. о я= ~е ' Ьх'|(х, о Решен не. Найдем производные этих интегралов по параметру Ь, пользуясь правилом Л е йб ница| гй |(е г — = — ~ х'е охгып Ьт'сх, — = ~ х'е высо| Ьхо|(х, )Ь У' ' аЬ 1 о о Интегрированием по частям отсюда легко получить |(о 1 Ь ~(и — = — и-| —— |(Ь 2а а |(Ь Ь~ 1 Ь Уо — = — — Ю вЂ” — —, а|Ь 2а а Ю или — Решая эти уравнения относительно производных— |уи Ьи+ао |уе ая — Ьи (20) |)Ь Хаз+Ьз) г(Ь 2(а +Ь ) Вго можно интегрировать обыщым путем, отделяя переменные.
Чтобы взбежать пользования логарифмами комплексных чисел, можно и непосредственно убедиться, что о' 7Ь вЂ” (в 1|е-Ь|) =0 в силу дифференциального уравнения, откуда в| ||ге:Ь| = с =- сопз|. * Впоследствии мы займемся этим вопросом систематически, здесь же опервообразная функция» устанавливается на глаз, Таким образом, для определения неизвестиых функций а, е от Ь мы получили систему дифференциальных уравнений. Вводя комплексную функцию и = ив1о от вещественной переменной Ь, легко свести дело к одному уравнению (с отделяющимися переменными). Именно, если второе из уРавнений (20) умножить иа | и почленио сложить с первым, то пРидем к уравнению г(в — Ь+ в( г)Ь 2(а|+ Ь') 2 а - Ьг' 523[ ! 3, испОльзОВАние РАВнОмеРнОЙ сходимости [[и Полагая Ь-О, легко найти с= —, так что 2 ')ся ! "[л )с а+ Ьс' 2 )~~с-Ьс 2 З~Р7Ь Под символом ~а а Ьс мы разумеем те ветви корней, которые при Ь = 0 обращаются в арифметический корень + )си.
Известно, что 1сс иь [ГисЧ:Ьс [/ — а+~ас+Ьз )ги--Ы=1с 2 )[ 2 гакам образом Приравнивая отдельно вещественные н мнимые части, получим, наконец: !1Ы/ Р)си ЬЬ* и= ~ е ихзсозЬх'ссх=-~[ — ~[ 2~ 2 ~ а'+Ьс Эти формулы выведены вами при существенном предположении, что а»О. [о так как оба интеграла, как легко убедиться с помощью теоремы 2 [см. и 515, '), являются непрерывными функциямн от и и при а = О, то, переходя в полученных авенствах к пределу при п О, найдем [если Ь 0): созЬхсИх ~ зспЬхзссх=- [с' —, 2 2Ь е е е.
интегралы френеля [ср. 522, 5'). 9) Похажем, кяк с помощью дифференциального уравнения могут быть просто ячнслены интегралы Лапласа [ср. 522, 4): асов ))х гхзшсух у= з! — сух и г з! — — ссх [сс,[)»0). ис-~-х' 1 .*+.* е е ( - а + )сае+ Ьс у=*!' 2 сияем оба корня з д е с ь берутся с шпосом, во внимание к закщоченному только 1 о условщо и к тому, что ху- — Ь = О, 2 е Полагая )саЧ-Ьс'=х-ьу» будем сется: с а+ )гисч-Ьс х= т 2 иметь: а х'-у', Ь 2ху. Отсюда и полу- 730 ГЛ.
Х»У, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Мы уже видели, что Дальнейшее дифференцирование по»» производить под знаком интеграла невозможно, ибо в результате такого дифференцирования получился'бы уже расходящийся интеграл. Однако если к написанному равенству почленно прибавить равенство гэш»ух — = э» — »(х х е [522, 2')», то получим: г(у л [ з»п бх — +--." ~ »»х. г»»» 2 ) х(а»+х») с Здесь лифференцировать под знаком интеграла снова можно и таким путем мы найдем »»»у Г соз бх — = а' з» вЂ” »»х, »(»д а»+ х' е т. е.
Для этого простого дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, ло корням Эа»характеристического уравнения», легко составить общее решение у= С еч»-РС»е чг, где С, и С» — постоянные. Но прн всех значениях б величина у ограничена: »»х л |у~ а„[ — - — ° 3 а»-ьх» 2а' е значит С, необходимо равно 0 (ибо иначе„прн ))- Р, и величина у безгранично возрастала бы).
Для определения же постоянной С, положим () = 0; очевидно: л С» — ° 2а Окончательно, Отсюда дифференцированием получается и х. " Впрочем, для дальнейшего нам вовсе не нужно значение этого интеграла; достаточно лишь знать, что при всех )) О он сохраняет постоявное значение, а в этом легко убедиться простой подстановкой Г=рх. 5231 1 з. иопользоиянгон гявномивной сходимооти 10) Вычислить интегралы Существование и непрерывность иатегралов при всех значениях х обеспечивается наличием мажоранты: е — х'.
По правилу Л е й б н и ц а: — = — ) е-х'ып — — гул= — 2) е у о)ну" гГу. йг хт х' о о (=3 Второй интеграл сходится раваомерно — как при у=О, так и при у=. — для гсех значений х, значит, первый сходится равномерно — как при х= , так и при г 0 — для значений х, удовлетворяющих неравенствам О«хи ях.шА + . Таким образом, для х 0 применение правила Лейбница оправдано.
Дальнейшее дифференцирование по а (которое оправдывается аналогично) част нам: — = — 2 ) е ги ып у' — — гуу=4) е-х'з!и — Нх=4е. А го о о Галио так же аче — — — -4и. Нх" Полагая го=-и+Гш имеем для определения гг дифференциальное уравнение :оставим «характеристическое» уравнение; йг+4г'= 0 и по корням его 1= х )Г2р )г2г' ~впишем общее решение дифференциального уравнения. гг=-иЧ-ге=Ае ")г (соха )г24!вша)г2)+Ве~~ (сохи)г2-1о)пи)г2). 'ак как функция гг при всех х ограничена, то необходимо: В= 0; но при и = О должно )гв )I ыть н —, так что А —. Окончательно, 2 2 е= — и *' огпх)2.
„го . 2 )ги -.«тг и= — е '"' соях)г2, 2 11) Доказать тождество е-х'хгух а ~ е-х'ггх (а 0). )'хо+аз )Гп ) х о о хг и = ) е-х'соо — г)х, хя о а' е= ) е и'о)п — гух, хя о узг ГЛ. х!у. интпГРАлы, 3АВисящие От ПАРАметРА [523 Обозвачвм первый интеграл через и, а второй — через е. Полагая в и: ха+ а' = у', преобразуем его к виду: л = еа' ~~ е- У с(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
