Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 121
Текст из файла (страница 121)
(2') Если Ь равно натуральному числу л, то, последовательно применяя формулу (2), найдем: л — 1 л — 2 1 В(а, и)= — — — ° —, — —.В(,1) а-гл-1 а+л — 2 ' ' ' а-г1 * Наоборот, если значение хоть одного из паралгегров л, Ь будет -=О, то интеграл расходится. '* Мы используем ниже тождество хл =х'-) — хл-ц! - з) Рассматриваемый интеграл, как мы знаем (483, 3) (а)), для положительных значений а и Ь (хотя бы и меньших единицы) сходится* р, следовательно, действительно может быть положен в основу определения функции В. Установим некоторые ее свойства.
1'. Прежде всего, почти непосредственно (подстановкой х=1 — 1) получаем: ГЛ. Х|У. ИИТПГРАЛЪ|, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕГРА 1529 752 Но В(а, 1)= ~хо 1«(х=- . о Поэтому для В(а, л) и — одновременно — для В(п, а) получается окончательное выражение 1 ° 2 ° З...(л — 1) В(п, а)=В(а, л) а (ач1) (а»2)...(а-(В-1) (3) Если и а равно натуральному числу т, то (я — 1)1(|л — 1)1 В(т, л) = (»л«л 1)1 о (4) 4'. Положим в формуле (4) (»=-1 — а, сч|ггая, что О -а 1; мы найдем »)а-1 В(а, 1 - а) = ~ ау.
- ~1.»т о Читатель узнает уже вычисленный выше интеграл, также связываемьй с именем Э й л е р а [см. 519, 4) (а) или 522, 1'). Подставляя его зна- чение, приходим к формуле В(а, 1 — а)= —.— (О -а 1). з(п ал 1 Если, в частности взять а=1 — а=-, то получим: 2' (5а) 1«4ы ограничимся этими немногими свойствами функции «Бета» потому, что — как увидим сейчас — она очень просто выражается через другую функцию — «Гамма», которая и будет главным прел- метом нашего изучения в настоящем параграфе.
Эту формулу можно применять и при т= 1 или и =1, если под символом О! разуметь 1. 3'. Дадим для функции В другое аналитическое представление, которое часто бывает полезно. Именно, если в интеграле (1) произвести подстановку х = — —, где у — новая переменная, изменяющаяся У 1,'-> ' от О до , то и получим 753 1 5. эйлеровы интеГРАлы 530.
Эйлеров ввтеграл второго рода. Это название было присвоено Л еж ан д р о м замечательному интегралу: Г(а) ~' хв-1е-х,ух о (6) 1 Г(а) = ~(1п — ) 41г. о Как известно (77, 5) (б)); 1 1п — = 1пп и (1 — ей!, в причем выражение и(1 — яй,) при возрастании и стремится к своему пределу в о з р а стая**. В таком случае, на основании 518, оправдано равенство 1'14-1 Г(а) = йн1 Ив-1 ~ (! ,й) 4я в о или — если прибегнуть к подстановке я=у"— Г(а) = !Ипил ! ул-1(! у)а — 14уу и о Но, согласно (3), 1 1 2 З...(л-1) а (а+1) (а+2).. да+в — 1) ' о * При а«о юпеграл расходится.
'" В этом можно убедиться методами дифференциального исчисления, рас- 1-5" сматривая выражение †-- как функцию ото. 48 Г. М. Фвттввтовьв, т. и который сходится при любом а 0 (483т 5 (в))" и определяет функцию Г (4Гаммав). Функция Г, после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Обстоятельное изучение свойств функции Г, исходя из ее интегрального определения (б), послужит одновременно и прекрасным примером применения изложенной выше теории интегралов, зависящих от параметра.
В главах Х1 и Х11 402, 10); 408; 441, 1 !) мы встречали уже функцию Г, но определяли ее иначе„' покажем же, прежде всего, тождество обоих определений (конечно, для а .О). ! Полагая в (б) х=!п —, найдем: г' Гл. х1к ннтвгвллы, зввнсяшие От пяовметРА !331 531. Простейшие свойства функции Г. 1'. Функция Г(а) при всех значениях а 0 непрерывна и имеет непрерывные же производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (б) под знаком интеграла, получим Г(а)= [х '1пх.е "а(х.
о (8) Применение правила Л е й б н и ц а оправдано тем, что оба интеграла хо '1пх е хнах и ~х' — '!Лх е хнах сходятся р а в н о м е р н о относительно а: первый при х= О для а-ао. О (мажоранта х" ')1пх!), а второй при х=- для а-А (мажоранта хяе ") *). Таким же путем можно убедиться н в существовании второй про- изводной Г'(а)= ~хо '(!их)'е хнах (8*) о и всех дальнейших. 2'. Из (б), интегрированием по частям, сразу получаем: а ~ хо-1е-х с(х хае-х~ о ~ хое-х сух (о о о т. е. [ср.
402 (15)) Г(а+ 1) = а. Г(а). Эта формула, повторно примененная, дает Г(а + и) = (а ь и — 1)(а ь п — 2)... (а ь 1)аГ(а). (10) Таким путем вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычисленнго Г для аргумента .1. ° Дпя х»о, очевидно, )в х х. Таким образом, окончательно, приходим к знаменитой формуле Эйлера-Гаусса: 1 2 3...(л-1) а.(а+1) (а-о2)...(а+л-1) ' (7) которая выше послужила нам отправной точкой [402 (14)). В дальнейшем свойства функции Г, как указывалось, мы будем извлекать из ее интегрального представления (б). 5311 755 Ф 5. ЗЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ Если в (10) взять а=1 и принять во внимание, что Г(1)= ~е "с(х=1, ь то окажется, что Г(п + 1) = и1 (12) Функиия Г является естественным распространением — на область любых положительных значений аргумента — факториала п1, определенного лишь для натуральных значений и.
3'. Ход из мене ни я функции Г. Теперь мы можем составить себе общее представление о поведении функции Г(а) при возрастании а от 0 до Из (11) и (12) имеем: Г(1) =Г(2) = 1, так что, по теореме Р о л л я, между 1 и 2 должен лежать корень а, производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая.
производная Г'(и), как видно Рис, бл. из ее выражения (8ь), всегда положительна. Следовательно, при 0 а аь производная Г'(а). О, и функция Г(а) убывает, а при аь«а. будет Г'(а) О, так что Г(а) возрастает; при а = аь налицо м и н и м у м. Вычисление, которого мы не приводим, дает а, =- 1,4616 ..., ппп Г(а) =Г(а,) =0,8856 .. 75б гл. хОч. ннтвгвалы, злвнсящив от пАОАмвгвА 1551 Интересно установить еще предел для Г(а) прн приближении а к О нли к -. Из (11) (и из 1') ясно, что Г(п) = Г(а-';1) а при а- О.
С другой стороны, ввиду (12) Г(а) - и!, лишь только а~п+1, т. е. Г(а)-+ и при а + График функции Г(а) представлен на рис. 64. (Сейчас нам интересна его часть, лежащая в первом координатном углу.) 4'. Связь между функциями В и Г. Для того чтобы установить эту связь, мы подстановкой х=)у (1 О) преобразуем (6) к виду: Г(О) г — ~уО зе о'Ву (13) О Заменяя здесь а на а+Ь н одновременно 1 на 1+6 получим: 1,ООО-Ое н+отО( . 1)О+)=~У е У.
О Умножнм теперь обе части этот равенства на 1О ' и проинтегрируемпо)отбдо-: Г(а"-Ь)" й= ~1 Ой~у'"О зе Н")тйу. 3 (1 О. О > ьь О О О В интеграле слева мы узнаем функцию В(а, Ь) 1см. (4)); справа же переставим интегральь В результате получим (с учетом (13) и (6)]: Г(ач Ь) ° В(а, Ь) = ~уО О 'е тО1у ~1' ~е 'тн)= О О ) +' 'е ° ~~ — ~'О(у=Г(п)~уО 'е лу=Г( ).Г(Ь) ' ~т О О откуда, наконец, В(а Ь)= (14) Г~,аеь) Приведенный изящный вывод этого соотношения Э й л е р а принадлежит Д и р и х л е. Впрочем, для обоснования его надлежит еще оправдать перестановку интегралов. Мы сделаем это, ограничиваясь поначалу предположением, что а 1, Ь 1. Тогда для функции ГО туО" О 'Е бььпт 53Ц 757 $ К ЗЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ оказываются выполненными все условия следствия и' 521: зта функция непрерывна (и притом положительна) для у~О н г О, а интегралы 7а — 1 г' ' ~ у'"' 'е и+От ду = Г(а Р ь)- (147)+р о 1е у~ )' ве 'У Й=Г(а)у~ 1е у а в свою очередь представляет собою не п рерыв иые функции: первый — от Г для 7-0, второй — от у для уэ О.
Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (14) — для случая а 1, Ь 1. Если же известно лишь, что а =0 и Ь.=О, то — по доказанному— имеем Г(а+ 1) Г(Ь-Р )) Г(а+Ь-~-2) А отсюда, используя формулы приведения (2), (2') для функции В и (9) для функции Г, легко вновь получить формулу (14) уже без ненужных ограничений. 5'. Формула дополнения.
Если в формуле (14) положить Ь=1-а (считая 0«а«1), то, ввицу (5) и (11), получим соотношение [ср. 408 (30)) (15) Г(а) Г(1-а) =,—. которое и называется формулой д оп о ли ени я. 1 При а= — отсюда находим (так как Г(а) =.0): (16) Если в интеграле ."делать подстановку е=х', то вновь получим значение интеграла Эйлера-Пуассона: 758 ГЛ.
Х1Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 1631 б'. В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Э й л е р о м) величину произведения (Где и — любое натуральное число) Е=Г(-) Г(-) ...Г( — ) Г( ) . Переписав это произведение в обратном порядке: „,(и-1) (» — 2),(2) (1) перемножим оба выражения: Е' Д Г(-") Г( — -) полнения. Мы получим лп л . л л ие — Зш 2 —... Ии(и-1)— и и и Теперь для вычисления произведения синусов (ср. стр. б21), рассмотрим тождество пп 1" — 1( 2»л ..
2п»1 — .П (е — со5 — — 1кйп — ') , П( и и ~ и устремим в нем к к 1. В пределе: 2пл .. 2»»1 и= Д (1-соа — — 151п — ) п=1 и и ~ или, приравнивая модули, 2»л .. 2пл и= ~7 ~1-соз — -1'51п— п=1 и и п-1 =2» 1П 51П вЂ”, п=1 и' так что п — 1 пл и и 2»-и Д 51П п=1 Подставляя зто в выражение для Е', окончательно получаем: п-1 и-1 (и) (2л) З Е= ДГ и к каждой паре множителей ГЙГ'1 — ) применим формулу до- 5зц 1 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
