Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 122
Текст из файла (страница 122)
ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 7'. Интеграл Р а а б е. С формулой дополнения связано и вычисление важного интеграла: 1 Яо= ~1п Г(а) йа, о очевидно, существующего, так как [см. (9)] 1п Г(а) = 1и Г(а+ 1) — 1и а. Заменяя а иа 1 — а, можно написать Я,= '[ 1п Г(! — а) а5а о н, складывая: 2Яо = ~ 1п Г(а) Г(1 — а) а5а = [ 1и —.' ба = 1 а 2а = 1и и - - ~ 1п яп х бх = 1и п - — ~ 1п яп х бх. а л) Подставляя сюда значение уже известного нам [492, 1'1 интеграла, найдем: 1 Я = [г!п Г(а) а5а=!п ~2п, (18) о Р а а б е рассмотрел интеграл (при а -О) аа1 а+1 а Я(а) ~ 1пГ(а)51а= ~ о о Так как, очевидно, Я'(а) = 1п Г(а+ 1) — 1п Г(а) = !и а [см.
(9)], то интегрируя, находим для а»О Я(а)=а(1п а-1)+С. Но й(а) сохраняет непрерывность и при а=О; переходя здесь к пределу при а-О, убеждаемся, что С Яо. Подставляя значение (18), приходим к формуле Р а аб е: а+1 Я(а)= [ 1п Г(а) 5йо=а(1п ц — 1) ч-1п 1'2п, о 1552 ГЛ. ХЗЧ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8'.
Формула Ле ж а и др а. Если в интеграле 1 1 3 В(а, )= ~х '(1 — х)' 'дх=~~--(--х) ~ ах=2 ~~--~--х) ] ах с о е 1 .,— сделать подстановку --х=-'уГ то получим г г" ' 1 В(а, а)= м,) Г й(1-1) -'г((=гм,В~г' а) О Заменим в обоих случаях функцию В ее выражением (14) через Т: (1) 1 (а) Г(а) 1 (г) 1 — Г(а) Г(га) 2м — '* ( 11 ' Г(а+-) 2) /11 Сокрагцая на Т(а) и подставляя вместо Г )-~ его значение угзг (см. (1б)] придем к формуле Лежандра: Г(а)Г'( чг) =2 — „„, ,Г(га). (20) 532. Одяозначвое определение фувквии Г ее свойствами.
мы зыаем, что функция Г(а) непрермвыа вместе со своей производной для положительных значений аргумента. Кроме того (см. (9), (20) н (15)1, она удовлепюряет функциоыальным уравыевиям: (1) Ф(а-ь!) аФ(а), (П) Ф(.)Ф~ + — Ф(га), 1) )'и 21) гм-' (П1) Ф(а)Ф(1-а) 11п аи Мы покажем, что эти свойства в совокуккости околке характеризуют функцию Г (так что каждая функция, обладающая этими свойствами, толщественна с Г).
Однях свойств (1) и (П) длл этого ыедостаточно, так как, наряду с Г, нми обладает и функция Ф(а) = Г(а) !в в)пз ал)и (пры и О). Точно так жс недостаточно и свойств (П) и (П1), ибо ови принадлежат в функции 1 Ф(а)=Г(а) з к (при тиО). 762 ГЛ. ХЗЧ. ИН~-'ГРАЛЬЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (333 Но, каково бы ни было а, сумму слева можно рассматривать как интегральную сумму для игпесрала ) Л(х) г(х ч. о Поэтому 1 г"-з (ацщ г)(а)=- 1пп — л,' с)~ — ~= ) г)(х)с(х=1.(1)-Е(О)=О и--2п о ~ 2п~ о (ввиду (1")).
В таком случае й(а) =сопзг, значит и М(а) = сонм. Но мы видели, что (11 М~ — ! = 1, так что М(а) ы1 и Ф(а) ы Г(а), ч. и тр. д. 12! В заключение отметим еще, что требование дифференпируемости играет при этом существенную роль и ие может быть отброшено. Если, например, положить 1 Ь(а) = .У вЂ” ып (2" ла), н=з 2" то в лице й(а) будем иметь непрерывную фушщию, удовлетворяющую условиям Л) 1 (1") и (П"). Вместе с тем г.(О) = О и Е ~ — ) —, так что г.(а) не сводится к постоянной! (4 ' 533. Другав фувкциоаальная характеристика функияи Г.
В предыдущем и' была дана характеристика функции Г(а), как единстееююй непрерывной вместе со слоги производной Функции, удоелетеоряющей фуннциогиыьным уравнениям (1) и (П) и не обращающейся е О (для а О). Здесь же мы дадим более простую характеристику функции Г(а), используя лищь о д н о функциональное уравнение (1), но налагая на функцию еще требование ллогарифмичсской вылуклостиз, смысл которого мы сейчас выясним. В л' 141 было дано определение выпуклой функции Дх).
Положительная функция У(х), заданная в промежутке ~с, называется логарифм и чески л ы и у к л о й е этом промежутке, если ее логарифм 1и У(х) оказывается еынунлой функцией. Так как /(х) е" Х(х), то в силу 142. 3' из ло га риф м и ческ о й тлпуклости функции У(х) вытекает ее выпуклость; обратное заключение, вообще, неверно. Таким образом, логарифмически выпуклые функции составляют лишь часть всего класса выпуклых функций. Пользуясь теоремой 2 и' 143, можно установить условие логарифмической выпуКЛоСти: иусть положительная функция ((х) ненрерыена вместе СО своей производной Г(х) е промежутке К и имеет о н у т р и промежутка конечную вторую нроизоодную у "(х); тогда для логарифмической выпуклости функции Дх) о К необходимо и достаточно, чтобы внутри К было У(х) ~"(х) — К(х))зтб.
Доказательство состоит в применении упомянутой теоремы к функции 1пу(х). о Учитывая при этом периодичность фунилгн 1(а), в силу (!"'). ! 5. ЭЙЛИРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 763 Ворвемся теперь к фуыкции Г(х). Бе первая и вторая производные выражаются формулами (8) и (8в). По ыеравеыству Буняковского [321, (13'); 483, 7))з [(с(х)[з Хх. ) [зр(х)]' йх- ~ ~(с(х)юр(х) з(х~ ~О, в в если положить здесь р(х) [/хо 'е " Р(х)= )Гхо 'е " 1п х, Г(о) Г "(а) — [Г'(а))з О.
а=О, Ь получим: 2) Ф(а) логарифмически выпукла и 3) Ф(1) =1, то Ф(а)иГ(а). Допустим, что для Ф(а) выполнены все эти три условия. Повторно применяя уравнение ()), придем к общему равенства Ф(а+и) (а-Ьп-1)(а-Ьп-2) ... (ай1) а Ф(а), (21) где п — любое ватуральиое число; отсюда, полагая а 1 [см. 3)[ и заменяя п ыа и-1, найдем: Ф(п)=(п-1)! (22) Отметим, что достаточно доказать совпадение Ф(а) с Г(о) в промежутке (О, 1), ибо, вследствие (1), эти фуивции будут совпадать и повсюду. Пусть же 0 а«!. Вспомиим иеравеыство (б) и' 143 Дх,) — р"(х) р"(ха — р"(х) х,-х х,-х имеющее место для выпуклой функции у(х) при едииствевыом условии: хз«х,*. Применив дважды это иеравевство к выпуклой, ввиду 2), функции )п Ф(а) при любом паи2, получим йз Ф( — 1еп) — )пФ(п) !и Ф(а)-и) — 1п Ф(п) )и Ф(1+и) — )л Ф(п) (- 1-ьп) - п (а-'; л)- п (1 е п) - и ияи — с учетом (22)— Ф(а — , 'и) — йз(п — 1)! 1и (и-1)м5)п Мп п.
а Отсюда следует 1п (и - 1)'(и - 1)1:ж)п Ф(а+ п) !и пв (п — 1)1, а значит: (и — 1)в (п — 1))*кФ(а ';п)мпи (п-1)! в Правда, в указавиом месте было предположено, что х, х«хе, ио ыетрудио убедиться, что ыаписаииое иеравеисгво справедливо при любом положении точки х, лишь бьз оыа ие совпадала с х, и х,, Отсюда, по только что приведеиыому условию, функция Г(а) в промехсутке (О, ) оказывается логарифмически выпуклой.
Вот этим-то свойством, совмеспю с уравыением (1), функция Г и определяется с то ч и остью до постоял и ого множителя. Иными словами: Если 1) в пролзепсутке (О, ) Ф(а) удовлетворяет уравнению (1) Ф(а+ 1) = а. Ф(а), ГЛ Х1У. ИИТВГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [534 (л — 1). (11 — 1)! л»(и -1)! Ф(а)~ а(»41) ....(а ги — 1) а(аЧ-1) ... (а+и-1) Наконец, заменяя в первом из них и на лт1, представим полученные неравенства в виде: 1 2.3 ... (л — 1) а+и Ф(а) л» Ф(а) — . а.(а41).... (а+л — 1) и Отсюда уже ясно, что 123 ... (и-1) Ф(а) = 1вп л»вЂ” =г( ) » - а (а+1) ....(а+и-1) — в силу формулы (Т) Эйлера — Гаусса. 334. Примеры.
1) Найти интеграл хз' 1(1-хт)г 'г(х (1, а, т О). о Полагая хм=у, сводим его к эйлерову интегралу первого У к а з а н и е. рода. Ответ. Предлагается с помощью этого результата доказать, например, что при любом натуральном и 1 1 йх х" йх и — — (Эйлер). у[,т 3)1, ° 2 о о 2) Вычислить интеграл 1 хр 1(1-х)о г(т (а, [)тО; у, р, д »0). [»и+ р(1 — х)+у)Р+О о С помощью подстановки (аьу)х (!у+у)(1 — х) (»+у)(!3-~-у) ах С, =1 — г, = аг ах+()(1-х)+у ' ахч-[[(1 — х)+у ' [ах+!3(1 -х)ту[' прсдлоненный интеграл приводится к виду 1 В(р, а) Ггр- П-1)о- в!- (а-оу)Р([)Ч.у)О./ (а+у)Р(!У+у)Ч' о Переходя теперь, с помощью формулы (21), к самому значению Ф(а), придем к неравенствам уб5 5341 1 З.
ЭйЛНВОВЫ ИнчиГВЯЛЫ 3) Найти интегралы 1 (а) ха г(1-х)ь аг, (х+р)гвь ь (л,в,р 0) (1 Ьх)нв — гП х)ьа -г (б) Вх. (1 ) хл)Я+л ьль ь) У к а з а и и я. (а) Подстановка у =(1+р) — . (6) Подстановка и = х+р совлрв-зшр саля я В(ь =- (соя(р-з)п р~ 2 яп (я савла) 4) Найти интегралы л (в) ~~з)п -г~,созе —,„и, е (а, Ььб); (б) ~ япа †' е Ыд = ) сова гн а)н (а О); (в) ~ гй' р йр ()с/ !). (а) Полагая х=з)пр„приведем предложенный интеграл к ин- Р е гл е н и е. тегралу г ь --1 хь '(1 — х') Вх, а так что, ияюльзуя задачу 1), будем иметь ~я(пв — глрсояь — г(лг(гр ... В 1 (14х)' 2 1рхь 1 Ответ. (а) В(а, Ы; (б) 2млл лВ(т, л). (1+у)'рь Отси)да, в свою очередь, может быть получен ряд любопытных интегралов.
Например, если в последнем взять л=1 — )л, положить 2т-1=соз2а и сделать подстановку х=!йр, то найдем: 1534 766 1'Л. Х19. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (б) В частности, при Ь=1, получим отсюда С помощью формулы Лежандр а этот результат может быль переписан в виде: а1'О) ~ ыпа — ~на(9 — 2а-а.. =2а — аВ~ Г(а) (2 2) (в) Наконец, полагая в (а) а=!ис и Ь=1 — с, где ]с, '1, найдем (используя формулу дополнения) ~г89 9= — Г~ -'-')Г~ -)= а 2 соз— 2 5) Определить плошадь Р фигуры, ограниченной кривою г' = з]пэ 0 соз О.
Р е ш е н и е. Кривая имеет две петли — в одну и в три четверти; достаточно удвоить плошадь одной из них. По формуле для плогцади в полярных координатах ]338 (9)] имеем: Р = 2 — з]п ' О соэ '* 0 г(0 = 2 ) 2Г(2) 8 (4) (4] 3 а ]ем. зад. 4) (а) и соотношения (9), (12), (15)]. 6) Определить (а) плошадь Р фигуры, ограниченной одним витком кривой (гл — натуральное число) гм = ага соз МО и (б) длину Ю этого витка. а] решение. (а) Р=2 — ~ соз'"гаОг(О=- — ~ соки(а09= 2„~ ш "я 6-')и. 6 (см. зад.
4) (б) и соотношения (9), (3))]. а Легко проверить, что в этой формуле как частные случаи солержатся о б е формулы (8) и' 312, 1 5. зйлнйовы ннтвгвалы (б) По формуле для длины дуги в полярных координатах 1329 (46)] Я=-2а [ созб т0 110 — ] воза' РИР=-2 -,'- ....,[ й~' (см. зал. 4) (б)]. 7) Вычислить интералы ИО (а) ) — —, ] 3 — соз О (б) )- 5]п (о ~а 1 5(е (а»О, О 0 1). ~1 + 0 соз(о/ 1 В-)г созе о (а) Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
