Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Г(а-; [)-ь 1) Так как У= О при а = О, то необходимо С= !п Г(В+ Ы, следовательно, 1 (а+1)Г())+1) Х= й) Г(а+О+ 1) Аналогично находятся интегралы 1 х О! х )(! х') 1(а+у ) !)1 (а+)5 ~ !) («» — 1 «ьр» — ~ К- Вх= !и (1-х) 1п х 1'(а--!)1'(а-ЬД+у-Ь1)' о 1 В= (1 — х«)(1 — хр)(1 — хг) Их= (1-х) 1п х о 1(а-ь !)Г(Дз-1)1'(ух1)Г(а+В+у+1) =!а -1 о т. л.) Г( +О+!)Г( -~:. +!)Г([) уч-!) и т.
и. 8401 5 5. эйлеговы интеггалы 789 1 а Ь вЂ” и Если в интеграле К взять У вЂ”, и= — — 1, Р= - -- н сделать подстановку 2 2 2 х = с», то придем к интегралу При Ь = 1 — а отсюда получается любопытный интеграл 1 Са — Г-С-а — «1=1п !ив (14 С) 1п с 2 о (О а 1). $40. Формула Стирлннга. Обратимся теперь к выводу удобных приближенных формул для 1п Г(и) и к вопросу о вычислении значений этого логарифма (и самой функции Г).
Отправной точкой нам будет служить формула (24) для логарифмической производной Г: ГС» х а ах С) !и Г(а) - )!' ! — — ) «х, о Так как подинтегральное выражение представляет собой непрерывную функцию от обоих аргументов х и а при хмО и а 0(при х=О в этом можно убедиться разложением в ряд), а при х= интеграл сходится равномерно относительно а для а~а» ь 0 — мажораита е-х а-а» х 1-е —" — то можно проинтегрировать по а, от 1 до а, под знаком интеграла: а х а ах!Гсх !л Г(а) ] ~(а-1)а "- ] — (а О). 1 — а х х о Изменяя знак переменной интегрирования, перейдем к промежутку [ —, 0[; г Гаах- ах 1«Х !и !'(а) = [ ~ -(а-1)ах] —. ех — 1 х (35) И этот интеграл сходится равномерно при х- — - для 0 а,~а~А +; проинтегрируем снова по а, от а до а+1, под знаком интеграла »о 1 о Л(а) ] 1п Г(а) «а = ] [ — — — — (а — — ) ах] — .
а (ЗЬ) Приведенных примеров достаточно, чтобы показать, насколько расширяются наши возможности представления интегралов конечной формулой благодаря введению функции Г. Даже в тех случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение се все же часто облегчается использованием функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.
ГЛ. Х|Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 1540 для упрощения выражения (Зз/. Именно, вычитая нз него (Зб) и прибавляя (37), получим: 1 гг 1 1 1теах|/х 1и Г(а) — Д(а)-.' — Ег п ') [ — — — 9 — 1 2 "е" — 1 х 2 х Полагая, лля удобства. о (38) и подставляя вместо /!(а) известное уже нам выражение (19) интеграла Р а а б е, получим П !и Г(а) = !п ! 2»+ [а- — ~ 1п а — а-ь а|(а), 2~ (39) В главе ХП (441, 10) мы имели разложение на простые дроби пшерболического к отваге пса: 1 2х сгЬх= — + ~ х а=г х'+/гала действительное для всех значений х»0. Заменяя здесь х на х/2, можно преобра- зовать его к виду (ср.
449): х х 2х' — + — =1+ 2;" е"-1 2 а=| хз+4дал' илн, наконец, ! / 1 1 П 1 Дх) = — ~ — — — — 4 — ! 2,~~ х (ех-1 х 2! г=г ха-Ь4/гала В лице У(х) мы узнаем функцию, входящую в подинтегральное выражение (38). Фиксируем любое неотрицательное целое число г» и заменим каждый член ряда тоащественной ему суммой 1 1 х' х| хьа | (- !)т — ! х|44Е|иа 4/гая| (4Жта)| (4/гала)| (4/ггхз)м хив 1 | ( !)»| (4/гала)м+| х| 1+— 4дьла Суммируем отдельно слагаемые вида 1)а-| (1,я„с») (4/сала)" Мы используем полученный интеграл, равно как и элементарный интеграл Ф р у ллани (498)| е Г и х - е - ах а|Х г ест - е" |/х — 1па= ) (37) 2 х 2 х Г 5.
ОЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 791 при 0=1„2, Э, ... Полагая, как обычно, 1 1 — = гв„получим результат ( — 1)" — ' ° га„хаа г Ейа (2л)и' если ввести «-е число Бернулли (449); 2 (2л)! (2л)т (40) то этот результат перепишется так: ( — 1 )а — М, ха а — а Ва 2. (2я)! хг ) Что же касается последних слагаемых, снабженных множителями 1 (1-~ 4/М) представляющими положительные правильные дроби, то, суммируя их, придем к члену ( — 1)т.
0 . х'т Ва+з 2(2т+ 2)! где 0 также есть положительная правильная дробь. Окончательно получим такое выражение для г'(х): Подстайнв это в (Зб), проинтегрируем почленно. Так как 2л! еаххга Вх ~ е — аххт 0х ам+ ' 2т! еах 0 хат0х=0. ~ еахх'та~к=0 (О 0 1) а, лат+ з то находим, что В, 1 В, 1 В, т(а)= — — — — — -~, .
—,,, !.(-1)т — 3 . + 1.2 а 3 4 аа 5 6 а' (2т — 1)2т аат .!. ( 1)т0. в, ! — (О 0 1). (2гл)- 1)(2т + 2) а™ 5 * Обрапгаем внимание читателя на то„что 0 зависит от х, а 0 — нет. в, в, в, Бт Ях) = — — — хаь — ха —... -1-( — 1)т г — ха'а 2! 4! б! 2т! .!. ( — 1)т, О, в хат (О 0 1). (2т+2)! 792 ГЛ. Х!Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИПЛШИВ ОТ ПАРАМЕТРА !541 Наконец, если в (39), вместо е (а), подставить полученное выражение, то мы прзщем к формулж П В1 1 !и Г(а)=1и [Г2ллч-~а- — ~ !па-а+ — - —— 2~ 12 а В, 1 В 1 — — — Р., +(-1) -' — л — — + 3.4 а* (2т-1)2т а'е' 4(-1)т О. — (О 0 1), (41) (2т+ 1)(2т+ 2) а'т+ ' носящей имя Сти рлн ига (Е Бз!г1шй).
В простейшем случае при т-0 формула принимает вид 1) 0 !иГ(а)=1и )2л+(а- — ~!иа-а+ — (О 0 1). 1 Если, отбросив дол о ли и тельный член (содержащий множителем О), вродолжнть ряд членов в формуле до бесконечности, то получится гак называемый ряд С т яр хи лг а; 1) В, 1 В, 1 1и Г(а)го!и )г2лч-(а- — ~ 1и а-а+ — — — — — ь 2~ 12 а 34аз Вт 1 .! ...+( 1)т-1 (2т-1).2т а'т Этот ряд будет расход ящимсв. Действительно, ввиду (40), абсо- лютная величина общего члена ряда С тир линга при л- В„1 1 (2л — 2)! (ул-1)2л ат ' л (2ла)'" Тем не менее этот ряд очень полезен для приближенного вычисления функции 1и Г(а), являясь ее ас им птотическим представлением и в то же время обвертыва я ее.
Мы уже сталкивались каке формулой, так и с рядом С т и р л и н г а для 1и (л!) [см. 469, (26) и (27)!. Только что полученные разложевия имеют более общий характер. Если пожелать вывести из нвх прежние результаты, то следует положить а л и, кроме того, прибавить еще 1и л, так,как Г(л) л — 11 а не л.' И в рассматриваемом общем случае также, потевцируя [464, 3'), можно получить асимптотическое разложение для симой функции Г(а) [см. 469). 541. Вычисление эйлертюй постояшюй.
Вернемся к формуле (39), которую продифференцируем по а: е 1 В !и Г(а) = 1и а — — + о/(а), где т'(а) ~ хе ах.Г(х) дх. 2а Повторяя прежние выкладки, получим В, 1 В, 1 В 1 ег(а) = ~ ..!. ~.... ( 1)т '" . 2 ат 4 а' 2т алв +(-1)т+' 0' —.— (О 0' 1). (42) Ы+2 ФРю~ -' 5421 1 5. эйлеРОВы иитпгРАлы 793 Отсюда и приходим к асимлтотнческому разложению 1 В 1 Вг 1 Вл 1 В 1п Г(а) го 1п о Š— — — ' — + — ' — —... + (- 1)" — — ". — +... 2а 2 а' 4 а' 2л агл Ф о р м а л ь н о оно может быть получено почленным дифференцированием ряда Стирлннга». Из выведенной формулы (42) можно извлечь удобный прием для вычисления эйлероной постоянной С.
Полагая в формуле Г а у с с а (25) а равным натуральному числу (г, найдем 1 г1 — |" С= ~" — — (|-В!и Г((г). 1 — | е Но |1 — ! = !+|е... +11-», 1 — г так что |а — | 1 Й-!-| — +...+— 1 — г 2 lг — 1 о Используя формулу (42) прн а = я, окончательно получим 1 1 1 1 1 1 С = 1+ — 4... 4 — — !п (г+ — -|- — — — + —— 2 /г — 1 2/г 12(г» 120/г! 252А» 1 Вл 1 , Вл+! 1 — — +... -';(- 1)л — — 4(- 1)" +' О' —, (О В' 1) 240/»» 2л )ггл 2л42 /с~"+а По этой формуле, взяв й= 10 и вычисляя члены вплоть до содержашего 7»м, Эйлер нашел значение С с 15-ю знаками: С=0,577 215664901 532... 542.
Соетавлеяие таблицы десятичных логарифмов функцни Г. Укажем вкратце путь для составления упомянутой таблицы. Вернемся к формуле (27), которую, заменяя а на 1еа, напишем в виде = — С+„2( — — — -„-). Последовательным дифференцированием придем к формуле для л-и производной |(л Ы'(!+а) 1 =( — 1)л(л — 1)! 2 г(лп „(о.|. (г)л (равномерная сходимость получаемых рядов оправдывает почленное дифферен- цирование). » Таким образом, в данном с лу чае оказалось допустимым почленное лифференцирование есимптотического разложения (ср. замечание в и' 464). 1342 ГЛ. Хзу. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Таким образом, находим козффиииенты ряда Т е й л о р а; 1 Г«зл 1и Г(!еа)1 зл 1 =(- 1)л — ", где зл= Л и! дал "=О л Л=! («л Тогда для ~ а~ «1 будем иметь: 1 1 1 1и Г(14а)= — Сૠ— 5«аз- — газ+ — з а" —...
2 3 г 4 Так как числа зз, (особенно для болыпих l«) близки к 1, то выгодно прибавить почленно разложение (также справедливое для )а! 1) 1 1 1 1и(1«-а)=а- — а'+ — а'- — а«~-.. 2 3 4 что дает нам 1 1 1и Г(1+а)- -!и(1+а)+(1-С)ૠ— (5,-1)аз---(5,-1)азе.,. 2 3 Умножив на модуль М и полагая 1 1 М(1 — С) =- С, — М(зз — 1) = С, — М(з' — 1) = С«, 2 3 получим 1и Г(1+а) = — 1и (1+а) ' Сза«-С«аз — С а»РСа' — ..
(43) Заменяя а на — а, вычтем получаемое разложение 1и Г(1 - а) = - 1и (1 - а) -С!а~-С«аз«-С»аз«-С«а«+ .. из предыдущего. Так как, по формуле дополнения, ал ал Г(1 — а)Г(1+а) = — и 1и Г(1 — а) = — 1и Г(1 4 а) 41и— язи ал ии ал то найдем: 1 ал 1 1«а 1и Г(1«-а)= — 1и —,— — 1и РСза-Сказ-Сзаз-... (44) 2 пиал 2 1 — а Лежандр дал значения коэффициентов Сл (для и~15) и их логарифмы и вычислил с помощью формул (43) и (44) десятичные логарифмы Г(а) для а от 1 до 2 через 0,001, сначала с 7, а затем и с 12 десятичными знаками.
Заканчивая этим изучение функции «Гамма», мы видим, что, исходя из ее представления с помощью интеграла, содержащего параметр а, мы не только ознакомились с глубокими ее свойствами, но и научились вычислять ее. Новая функция эта является в такой же мере освоенной нами, как и элементарные функции.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аб*юзы я--Реям 84 Абель 290, 292, 527 Абеля лемма 306 — подстюювка 69. 608 — преобразовав»с Э05, 312. 403 — прювак резво гераоя схолимост» ряда 429 — — еходимости ввтсграла 564 — — — ряда 307 — теорема 328, 397, 516 Абел» вЂ” Пуыхона метод обобшснааго сумРо а я Рялов 401, 409 Абсопютао иатеграрусма» фуюшкя 563, 586 — сходюиссе» дроазвсдевяе 356 — еходяюлдся лесобспгеввыб явтеграл 563, 586 — — рзд 296, 356, 513 — — — псреместятельаое свойство 315, 332, 356, ЯЗ вЂ” — —, умвоисиис 321, 513 Адамар 300 Аллитлваая Фуикцвк яромеиутка 225 Алдвтяваость объема 203 — площади 188 Алгсбрапческа» часть витеграла, выделевис 68 Амплитула 252 Авзлитюмска» Фуюшкя 449, 450, 491, 499, 502 Аргумсвт «омплексиого чвсла 510 Арксивус, глазлое звачеияе 525 — Р»л 458, Арктапгюс. главвое эвачейвс 524 —, степеилоб ряд 368, 457, 524 Арзвмсдова шираль 175, 199 Арлела 433 438, 743, 745 Асвмптотичсскв» ряд 534, 650, 793 — —, действа» 536 — —, лвФФеревцвровавие 540, 793 — —, сливствелиость 534 — —, вптсгряровавие 538 — †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
