Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Таким образом, Г(а) не имеет корней. В заключение упомянем, что как формула Эйлера — Гаусса (7), так л формула В ей ерш трасса (30) с успехом могут быть положены в основу определения функций Г(а) сразу во асей плоскости. о Это последнее замечание о распространении функции Г может бмть понято лишь теми, кто знаком с основными понятиями н терминами теории фувввнй комплексной переменной. *о В тех точках, где Р(а) имеет полюс, з!и ал обращается в нуль. ( Нохп Р(а)= )! хо ое "ах= ~ ха ~.~~ Их=~ о л! о 1 ( 1)а ( 1)ч л! х о" о и! а+я о 782 Гл.
х1ч. НнтиГРАлы„злнисяшии от пАРАмнтРА [539 539. Вычислееяе пекоторык онределеввык явтег[млов. Обратимся К рассмотрению некоторых интегралов, при вычислении которых используется функция Г(а) и ее свойства. 1) Дифференцируя по о формулу Г(е)= ~хе 'е х ох, е мы получили в 531, Г формулу (8): Г'(а)= ~ хе 'е "!охах. е Полагая здесь а= 1, так как Г'(1)- — С, получим: е х 1п х1(х= — С. о Подстановка х= — )п и приведет к любопытному интегралу 1 йз( — !пи) г(и= — С.
Если взять а='~г и положить х= ге, то найдем: -- ~+— 11) [л е — 1' 1и Г ~(! = — Г ~ — ~ = — — (С Р 2 1и 2), 4 [2~ 4 о как это легко получается из разложения (27) — с учетом логарифмического ряда. Повторяя дифференцирование по а, мы пришли к равенству (8'): Г'(а)= ~хе 'е "1п'х йт. е При а= 1 оно дает нам: лг е "1пг хг(к=Г"(1)= С'+ —. 6 о Последний результат получается из (28), если при этом воспользоваться известным 1 ле рядом ~; — = —.
Наконец, полагаяи здесь а=",„с помошью подстановки х=!' Гй б получим еще такой интеграл: '[гл г ле 1 е-1' !и' г гй = — ~(С+2 1п 2)1-Р— ~ 8 2 е и т. д. 1 5. эйлероны интеГРАлы 2) Вычислить интеграл всОР х в= ~ — Ах, О где Р есть рациональная дробь с нечетными числителем и знаменателем. Указание. Воспользоваться формулой Лобачевского (497, 14)В в согласии с ней 2 Х= ~5(пР ' хг(х. О Г~ — ') ~Г( — ')~ См.
$32, 4) (б) Ответ. Х- — =2Р 2 ~р+ 1~ Г(р) 3) Вычислить интегралы (Ь 0): сов Ьх А ~ 4х, хв О (О«в т) Имеем (см. (13)В 1 1 г 1 г — = — — ~ 2' 'е ™г(г, так что А= ) совЬхАх ~25 'в вхг(г. х' Г(5) Г(5) О О О Переставив внтегрирования, получим 1 Г Г ! ~ 2542 А= — рв 55(2 ~ в — вхсовЬхв(х= — — ~— Г(5) Г(в)" 254-ЬО О О о или, полагая Ь'г 25, в г 541 1 — 5~ Ьв ' л В ( 2 2 2Г(5) лЬО 5 -~-1 впз — — л 2Г(5) сов— 2 2 (см. (4), (5)). Аналогично лЬО ° В= В;5 2Г(в) 51п— 2 Обоснование перестановки интегралов проводится так же, как и при вычисле- гв(п х вви интегРала 51 — — 5(х в 324, 11). х О Ьв5 ггв Ь'' А= — ~ . 42=— 2Г(5) " 1-ь г 2Г(5) О В= ~ — "А. О (О 5«2) ГЛ.
К(Ч. ИПРЕГРЛЛЫ, Заяинсяитми От ППРПМЕтря 4) Вычислить интегралы 51П Х вЂ” — 1п хе(х, х е 51п х — 1п' х !1х. х е Согласно 3), интеграл (0«5 2) Г5!П Х л у = ~ — . !(х =— хз, гл 9 2Г(г) 5(ив 2 ИПХ Л [,, 5Л и ах[5 1п' х !)х =, Г'(5) 51п — -Ь вЂ” Гфф соз — °вЂ” ха ' Г, зл15'1 2 2 21 е [Г(г) 5!и — ~ 2! л 1 5Л гл ля , гл! Г (5) 51п — -!.ПГ ГЗ) со5 — — — Г(5) 51п — ) . 2 глз( 2 2 4 2~ [ Г(5) 5!П вЂ” ~ Полагая в обоих равенствах 5 = 1, найдем значения искомых интегралов 51П х л — — 1п х !1Х вЂ” Г'(1). х 2 е 5!П Х и лг — 1п' х !(х = л[Г(1))' - — Г"(1) + — .
х 2 8 е лз Учитывая, что [ср, 1)[ Г'(1) - — С, Г "(1) = С'+ —, окончательно будем иметь: б 51П Х и Г51П х — — -1пх!(х= — — С, [ !п'х х 2 х с е з! Мы имели уже [см. 534, 4 (б)) формулу )5 )Гл Г(а) 51пга ! Ч! 5(41 =— е Г[а+ — ~ и лг !Гх= — Сзи — . 2 24 (а 0). Дифференцируя его по параметру 5 (пользуясь правилом Л ей Они ц а), найдем: 5!П Х л 1 ( гл и гл) — — 1п х !)х = —.— 'Г'(5) 5!п — + — Г(5) соз — ~.
г 1, 1[ г'2 с 1Г(5) 5!п — ~ 2 Применение правила Л е й б н и ц а оправдывается равномерной скодимостью получвиного иНтЕГРала относительно 5 КаК при х= (для 5 Г, О, см. 515, 4'), так и при х=-0(для гтг„мажоранта [1пх[:х' '). Продифференпировав полученное раяенство еюе раз (что обосновывается аналогично), найдем: 539) 785 1 3. эйлнРОВьг интиГРАлы Лифферащируя по и (с применением правила Лейбница, 520), получим 11 лтз Н)п Г а+ — 1 7, Г(и) ~й !и Г(и) ( 2) "$!птп-гр !пэ!П(пт(р- —— Если воспользоваться формулой Гаусса (25), то выражение в скобках пере- пишется в виде гп г г и гиггг. 1 — г о Положим теперь 2а — 1 = 2л„где и — любое натуральное число или нуль, и сделаем подстановку г= и'.
Тогда получим и'(" -1 „.- ~ Яп 91азшей!и= — — Йи, г г( ч-П з !+и При и = О эта формула дает уже известный результат: л 3 !п зш 9 4п = — — !и 2. 2 о При л~! мы приходим к новому интегралу и (2в — 1)й( 1 ! 1 з!Пт" р.!ив!иста(п= — 1 — — + — — ° . ° — — — 1и 2) . 2 глй ( 2 3 2в о б) Вычислигь интегралы (и О, р О) и ~ е и"хР тсозЬхйх, е= ~е е*хР тип Ьхпа.
о о Решение проводится аналогично 8) и' 523. Для функции те и+от от Ь, как и там, получается дифференциальное уравнение тгн Р (Ь вЂ” а|')и, КЬ а'+Ь' кот"орое можно переписать в виде: йт — Рн т(Ь а-Ь! Легко проверить, что — в силу этого ураннения— .( -Ь!)Рл = ' под (а а ь!)Р здесь и ниже мы разумеем ту ветвь степенной функции, которая при Ь = О обращается в положительное вещественное число аР. 50 Г. М. Фитттитольп, т. П 786 (539 ГЛ. Х!Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Полагая здесь Ь=О, находим, что с=Г(Р).
Таким образом, Г(Р) Г(р) Г(р) 1 Ь, Ь ! Ю= (ач Ы)Р !соьр агсгй — Ргяп р агсь8 — '. (а — Ь1)Р (аь РЬ1)Р (аь+Ьь)Р)1[( о а( Приравнивая порознь вешествеиные и мнимые части, получим, наконец; Г(, р) е= яп РО, (аь -Р Ьь)р" Г( р) и.= соь рВ, (оь-РЬ1)РЛ Г(р), Е'(р) е= япРОяпрВ= соьРОьтрО. Ьр ар Предлагается получить отсюда интегралы А и 0 задачи 3), полагая р=1 — х и Ь и! устремлня а к О ~при Ь» О угол В агсгй — будет тогда стремиться к — ~ . а 21' Дифференцируя по р интегралы и, е, можно получить ряд новых интегралов; предостаиляем это читателю. Т) Найденные для интегралов и, е значения позволят нам вычислить другие интересные интегралы. Умножим обе части равенства Е"( р) соьр О.сох рб= ~ е е*хр 1 соь Ьх 1Ех зр о на 00 ао.ьйч 10.— — =Ьо 110 соьа В (считая О О«р н О 1) и проинтегрируем слева по В от О до —, а справа Во Ьотб 2 до *.
И результате получим 12 ер О Е1= соьр о О япо-'О соьр01(0=- — ~ Ьо — губ~в '"хР гсозЬхг(х. Г(,р) о о Если переставить справа интегралы, то зто сразу приведет к вычислевию * Связь между переменными Ь и 0 дается формулой Ь а гй В (а=соль!). Ь где для краткости поло кено: О-агсг8 —. и Ь л Заменяя !аь-!-Ьь через или через, можно переписать результат япО соь 0 в виде Г(р) Г(р) и- - - = япр ОсоьрО= — соьРОсоь РВ, ЬР ар 3 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 787 интеграла Х,: ОР О г 1 сок Ьх а' ) е — аххр-х г)х ~ — ОЬ.
'=Г(,)1 ' 3 Ь-О О О Ох Из 3) легко установить, что значение ваутреннего интеграла будет Г(О) соз — х- О, 2 так что Ол лр ОГ(О) соз— 2 У1 = ~е аххР О ' Ох Г(р) а и, окончательно, Г(О)) (р -О) Ол 21 = "сокР— ч — '51пе-1О созрО ОО- соз — . Г(р) 2 Аналогично можно вывести: а1З Г(д)Г(р — д) Ол аа ~ созр-Π— 'О 51пе — 10.51прбх(О=- — з(П вЂ” . Г(р) 2 О Покажем теперь, как обосновать перестановку интегралов, без чего, разумеется, результат не может считаться установлевным. Так как интеграл хр — 'е ахЬО 'созЬхх(х О сходится равномерно для ОаЬО~Ь~В а-, то в в Ь'1 14Ь~хр 'е ахссзЬхдх ~е '"хр 11(х ~ЬО 'созЬхх(Ь= а, О а ь, лх е аххр О гаях ~ ич 1созлг(и. Ванну сузлествования интеграла ~ ие ' соз и ды, внутренний интеграл при О Ь,-О н В-+ стремится к нему, оставаясь огравичеиным1 ис ' соз и х)л ~ жуа гл.
х)у. интнп Алы, зхвисяп(ии от пьоьмнт х так что асе подннтегральное выражение мажорируется функцией 1. е оххр О и предельный переход при Ь« -О и В- «- допустимпод знаком интеграла и т. д. 8) Положим 1 г1-х) и(г]=))!п1(г)=- ~ Вх-С 1-х о [см. (25)[. Тогда хр-хе Вх=р(я+!)-у(р-Ь!) 1-х о (при р+1 О, о,'-1»0). Заметяв это, рассмотрим интеграл (1 — х )(1-хр) .1= г(х (1-х)!и х о <«»-), р -), «ор — )) Его производная по а 1 «11 ~ х"(1-хо) «( Г(а-Ь1) Вх = у(а+ 1) — р(а -ь)уз- !) — 1п га 1 — х В Г(а+В-Ь1) о Поэтому Г(а+ 1) 1 1п ч-С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
