Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Подстановка: со50 1 — 2]гх. Ответ. — — [Г[ — )~ . О Ч 1г1 — /г (о (б) У к а з а н и е. Подстановка: 10 — — — 10 —. Ответ. (1 — 05)515 Г(а) 8) Доказать, что 1 1 (1-,) '0 =)З [(, -Ц,1. 1 Рен1еиие. Положим 1 1 1 (! — хв) 5 Ых = 1,, ~ (х*- 1) ' Их о 1 =- 15 о 1 1 (1 х.) 5,1„= ~'(1 „хз)-50х 1 о Подлежит доказательству равенство 1,+1,=]ГЗА.
Применяя к этим интегралам подстановки (соответственно) х=гв, Х=г 1 х = (1 ' — 1)', приведем нх к эйлеровым интегралам первого рода. затем придется лишь несколько раз использовать формулу дополнения. 9) Доказать формулу (принаддежашуго Д и р и х л е) гв уххв ' гв кгуг Г(г)~ Их=Г(в) ~ г(у (1 г, О, г 0). (О+ ху " (/4 у)' гл. хгч. иитнгрллы. злвисящин от плвлмнтна (б24 Интегралы к-) 1, 11 1 — -зшог 2 )( — 1,, Е = ) 1( 1 — -з!по(о Фр 2 о последовательными подстановками сову= (, !'=х приводятся к зйлеровым ин- тегралам первого рода: 1 з 1 1 Г-о К= — ~ х "(1 — х) з ~(х, 2 1'2 о 1 1 з Г 1 Е= — ~ х о(1 — х) ~(х+ 1 х (1-х) о(х 4 (Г2 так, что 1 1 1 Г-й 2Е-К= — ~ х о(1-х) з 4х.
2 'Гг2 о Отсюда искомая постоянная Г( — )Г( — ) Г~ — )Г~ — ) 11) Разложить в рлцы китегралы: , хо-г (б) ~ —. Ых. е" +1 гхо ' (а) ~ — е(х, о"-1 о (з и о (, о) У к а з а и и е. Подставить Г(г) г Г(о) — ~1 о-(К+х)туг-!,(у = )е (У+у)ххо '~(х (у.~. х)г ) (Г-'гу)* о о н использовать перестановку интегралов по х и по у (случай п о л о ж и т е л ь и о й функции). 10) В задаче 12) и' 511 мы доказали тождество ЕК'+Е'К -КК' с соим (относительно обозначений см. в указанном месте).
Затем, с помон(ью некоего предельного перехода бмло установлено, что с= —. Этот же результат можно 2 было бы получить, вычислив величину левой части при каком-нибудь часпюм значении и Пусть и = 1/ 1Г2; тогда й' = (г, Е'= Е и К'- К, и тождество принимает вид 2ЕК-К'=(2Е-К) К=с. 1 3. ЭйЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 769 Ре ше и не. г Хз г 1 (а) ~ — с(х ~ хз с ~о — лхс!х — ~ ~ хз сз-ох с(х — 1 (з),~ 1 (з),((з) зх — ! " с 1 лт о о о г хз-с - ( !)л — с 2хз-с (б) [ — сох= Г(з! ~, . Мажораита: —. ес+ 1 с ссз Ет+ ! о Е с л и з 1, то этот результат можно представить в виде Г(з)(1 - 2с — з) ь(з), ибо ,~~ — (1 — 2' ')=~ — — 2„~ — =~ лз с лз с (2л)з с лт 12) Некоторое обобшение предыдушей задачи представляют разложения: г хз-се-ах 1 (а) [ ссх=Г(з) ~ (»1, О) 1 — е " о=о(а-~-и)' [11) (а) отсюда получается при а = 1]; зхз — с с(х (б) ~ =ГОО ~ о (-1~с «1 и з О, или с=1 и з 1) [П) (а) отсюда получается при с=1, а 11) (б) — при х= — Ц.
13) Обозначая сумму гипергеометрического ряда [см. 441, 6)] сс(сс-', !)...(ашя — 1)б(6+1)...(8+л-1) !+~ хл о=с 1 ° 2...л у(у+!)...(у+л — 1) через Р(а, Д, у, х), доказать соотношение; Г(у) Г(у-и — р) Р(а, с). у, 1)- Г(у-а) Г(у-])) (Гаусс). Считая а О и у-и»О, рассмотрим интеграл 1 1(х)- ~с«-с(1-с)т — -с(1-зх)-гс(г о 99 Г. М. Фзстсягольо, т. Н если через ь(з) [фуикпия сдзетаз Р и мана], как обычно, обозначить сумму по- следнего ряда, Мы воспользовались здесь теоремой об интегрировании положи- тельного ряда [518] и формулой (1Э). 770 гл.
х!у. интпгралы, зависящий от паиамнтва [йэб при 0 х 1. Так как ряд ~Д(Р+1)."(В+ -П (1, )-к= ~ х"т" «=е 1 2...л сходится (при фиксированном х) р а в н о м е р н о относительно т в промежутке [О, !], то — умножая на интегрируемую в этом промежутке функпию х« '(1— -т)г ' — полученный ряд можем интегрировать почленно. Мы првдем к разложению 1(х) =.~~ )„х", е где ЯВ41)...([);-я — 1) Г(а+и) Г(у-и) ! 2...л Г(уея) г(к)г(у- ) и( -,!)...(а,-л-!)5(л+!)...(4+и П Г(у) 1 2...и у(у+1)...(уья — 1) [см. (10)]. Таким образом, Г(а)Г(у — а! !(х'1= . Г(а, Л, у, х).
г(у) Для получения формулы Гаусса остается ляшь перейти здесь к пределу при х-1 (считая у-а-у 0). В ряде этот переход можно выполнить почлевно по теореме А б е л я [437, б']. В интеграле же можно перейти к пределу под знаком интеграла — ввиду наличия мажораиты; 㫠— '(1-х)г — « — г (при р 0) или т««(! — гр — — я — г (при [) 0), В результате [см. (14)] Г(а)г(у — и — )7) Г(а)Г(у — я) Г(у — б) Г(у! откуда и следует доказываемое соотношение. Из него, в частности„при у =1, )5 = -а получается [с учетом (11), (9), (15)], любопытное разложение (О а «1).
И «, а« а'(я' — !) а'(а — 1)( — 4) — — 1 * ал 1 (1 2)' (1 2 3)' 535. Логарифмическая ироизводиаа функции 4 . Продолжая изучение свойств функции Г, обратимся к рассмотрению ее л о г а р и ф мичес к ойй производной, т. е. выражения 4]п Г(а) Г'(а) 4а Г(а) ' 9'. Различные представления этого выражения в виде интегралов можно получить и из формулы (8). Но проще исходить нз следующих «Оно, впрочем, может быть выведено и преобразованяем известного бесконечного произведения, выражающего сявус [40а]. 1 а эйлввовы интвгьхлы 771 соображений.
Имеем: Г(а>Г(Ь> Г(Ь> Ь Г( -ОЬ>-Г(а> Г(а~- Ь> Г(а-~-Ь> Ь Г(Ь + 1> Г(а + Ь> — Г(а> = г(ась> ' так что, если перейти здесь к пределу при Ь О, — = 1пп [Г(Ь) — В(а, Ь)). ГОО о-о Возьмем сначала (см. (6) и (4>): Г(Ь) = [хо 'е " Вх, В(а, Ь) = [ — о Ых. о о Тогда 1 =1пп [хо [е "— —, ~ Ых о и, выполняя предельный переход под знаком интеграла, получим фор- мулу Кошке (23) Для оправдания предельного перехода заметим, что вблизи х=О, Ь =О выражение будет непрерывной функцией от х и Ь, а хо 1. Для достаточно больп>их х и Ь~ьо имеется мажоранта: х'-'[ — -е '~.
Бели же в выражении (!) для В сначала сделать подстановку х= =е >: В(а, Ь) = ) е "(1 — е — ~)о — ' с(1 о то можно написать Г'(а> — 11нз > (Е-аХΠ— Š— аа(1 Е-а)Π— 3] ВХ Г(а> о .~.о > о 772 гл, хнх интегралы, зависящий от павам втнв [бэб Переходя здесь к пределу под знаком интеграла (что оправдывается аналогично)„придем к другой формуле: Г(а) )'(е х е ах ) е (24) Наоборот, можно вовсе устранить показательные выражения нз подннтегральной функции. С этой целью положим в (23) а=[: где С есть так называемая зйлерова постотшал '. Вычитая почленно это равенство нз (23), получим Г'() С (( 1 1 1Ы Г(а) " 3 11-~-х (1+х)а[ х ' е 1 Наконец, подстановка г= — приведет нас к формуле Гаусса: 1-~х т Г'(а), С ~1-га ',[Г Г(а) 1 1 — г о (25) а-1 Г(а)Г~ае — )..Г(ач- ) =-, Г(па) (26) (и — любое натуральное число).
Она выражает те о рему у ми оже нн я для функции Г. Полагая в (25) г=й, получим: 1 7 (а) Гав — х ааа-х — т С=лэ[ йг, Г(а) ) -а а " Мы имели в главе Х1 Рб7, 1О)) другое определение этой постоянной. Ниже ыы убедимся в тождестве обоих опрелелевий. 536. Теорема умножения для функции Г. 10'.
Опираясь на представление (25) для логарифмической производной, установим теперь следующую замечательную формулу, также принадлежащую Г а у с с у: 773 % 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ откуда, заменяя а на ао — (Р=О, 1,, и — 1), л1 ! Гил — 1 илло -~ Г~ае — ) о и, суммируя по Р от О до л-1, л) 1 Г а-Р— ) -' Г) о л) Сопоставим это равенство со следующим: 1 о Умножив последнее равенство на и и вычитая из предыдущего, най- дем: о 1 „,Г.+ ) = И г( 1 л Г'(иа) Г1ли" 1 1 1 1 — и" ,=о 1 о) Г(ва) ) ~1-«" 1-«1 1-«о = Г'.+ ' о что можно написать в виде; Г(а)Г ~а+ — )...
Г ~а+ — ) 1и и !и и. Отсюда, интегрируя, получим Г(а)Г ~а+-) ° "Г ~а-Р— ) 1и ----- —" — - — — — -- = - ал 1и и -Р 1п Со Г(ла) или Г(и)Г ~и-'; — )...Г ~а-Р— ) Г(ла) Для определения постоянной С положим здесь а= —. Очевидно, 1 л С=ЛЕ, где Е есть то произведение 3 й л е р а, которое мы вычис- * Предвидя потенцирование. мм заранее берем произвольную постоянную под видом 1п С. 774 ГЛ. Х1У. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [537 ляли в 531, 6'.
Подставляя его значение из (17), придем к формуле (26). Частным случаем формулы Г а у с с а является ранее выведенная независимо формула Л е ж ан д р а (20). Действительно, если в (26) взять л=2, то получим формулу Г( )Г ~ ,—) = —, Г(2а), П аа— которая равносильна (20).
537. Некоторые разложения в ряды и произведения. 11'. Источником их является та же формула (25). Разложим подинтегральное выражение в ряд: а-1 (1 Та-1) ~ Т Р (7 За.-а-1) =Π— -О все члены которого имеют один и тот же знак. Почленное интегри- рование дает: Р 1П Г(а) О С= ~ ( — — — — Р) . (27) Р 1П Г(а) — Р, — . а О (а+11 (28) Так как и этот ряд сходится равномерно для а .0 (мажорируется 11 рядом Р, — ), то почленное дифференцирование оправдано. „„) 12'.
Проинтегрировав почленно ряд (27) по а от 1 до а -0 (что законно, ввиду равномерной сходимости ряда), получим " Оа-1 а+ОЗ 1п Г(а)+ С(а — 1) = ~ ~ — — 1п — ) . ,.=а "+1 (29) Заменяя здесь а на а+1 (при а - — 1), перепип1ерз разложение в виде 1и Г(а+ 1) е Са = Р, ~ — — 1п — ) 1а ае л) Ряд этот сходится равномерно для 0 . а -.а, ибо мажорируется рядом (..ф — „', Если его почленно продифференцировать по а, то получим замечательное по простоте разложение е а зилввовы интвгтилы 775 или 1и — — =Сам ~ ~1и (1;--) — ~~. Отсюда, потенцируя, приходим к уже известной нам формуле Вейер гатр асса (ср. 402 (16)], дающей разложение —,— ---в бес- 1 Г( -Ь1) конечное произведение: а 1 а~! л Г(а-ь!) „, ! й) =ее' 1)' !1 ~--1! е (а= — !).
(30) 13с. Возвращаясь к (29), положим здесь а=2. Так как !и 1' (2) = =1и 1=0, то получим: (31) Заметим попутно, что отсюда г и С= 1пп [ 5' — — ! и (и <- 1) ], и ~1(г и мы приходим к уже знакомому нам определению эйлеровой постоянной (367, 10)). Наконец, умножая (31) на а-1 и вычитая почленио из (29), мы исключим С: !и Г(а) - ~ !((а - 1) !и — - 1п — ~ = 1пп 1и !'л'-' и+2 а+из . г ! 1 2...(и — 1) к+1 к-ь1~ „„„~ а(а+!)...(а+и-2) или, что то же, Отсюда, потенцируя, мы вновь находим формулу (7) Э й л е р аГаус с а, выше установленную другим путем, $38. Примеры и доаодаеваа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
