Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 124
Текст из файла (страница 124)
1) Пользуясь тем, что г!и е — г=1(га 1- — ! и ! и доказать, что (при а О) и г!и Г(а)' ~г га гаг=!(т !Гга !)! — — Вг, и и е о и вывести отсгодв формулу (7). 'па ГЛ. Х!Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 1538 У к а з а н и е. Предельное равенство устанавливается так же, как зто было сделано в задачах 10) и 1!) и' 519. Подстановкой т !/и преобразуем интеграл 1- — ) = г)а га-1~1 — — ),(!=на ) та 1(1 — т)абт=л'й(а,и-г1) и~ и используем формулу (3). 2) Из формулы (23) П,а) Х Г (1+х)а) х о не пас р едс твенно вывести формулу (24) о Заметим, что трудность здесь в том, что н е л ь з я интеграл (24) рассматривать как разность двух интегралов (иначе вопрос был бы исчерпан преобразованном второго подстановкой х=еи-1).
Поэтому, обходя ее, напишем; 2"'(а), ( в " Их а(х ) — = 1!ш Г(и) ! о! х О+х)а х) Ф ( Риайя г а аи !пп э! — - э! — !(и) го( и 1-е" г !а(1+а) -';":Л вЂ” '." — ','-".1""-.Цà — '-:-')' Ф о так как а-аа 1пп ! — Ии О. а о 3 1-е !а(1-!-а! !Это видно из того, что интеграл оценивается выражением а-1п (1хг) е ] (1+1)а — 2П+е)— 3) Исходя из определения эйлеровой постоянной равенством ( а С= !'нп ~ ~ — — 1п и), и 1 а 538] ! К ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 777 установить интегральные формулы 1 ! г! гл г! П 5)л г -1Ф= 5! — 51-51 Ыг е о л 1Ь 1п л=- ) —. 1 то С 1'ип~) — лх-) — ]= л л =!ип [] ~1 — ~1- — ) ] — — ) — ) = е 1 1 л -1вп ]) [1-(1- — ) ] — — ) (1- — ) о 1 Предельный переход во втором интеграле проводится, как и в 1). Относительно преобразования (а) в (б) см.
2). 4) Полагая (при и 0 и х= 1) 1 Г 1 ! Г'(а) ь(г, а) ~ —, доказать, что 1!Го ~б(5, а) - — ] о (и+ и)е г 1+о 5-1 Г(а) Мы имели [534, 12) (а)] 1 г хл 'е их Пг, и)- — ] г(х! Г(х) 1-е е Поэтому 1 1 (гхл ге лх ] 1 ~. Ге — ах е — х! ь(5, а) — — -= - — — ' ] йх-Г(з-1) = — — ] хл '~ — — ]л(х.
5 ! Г(5) [1 ! и-» [ Г(5)~ [1 е — х Предельный переход при 5-1 можно произвести под знаком интеграла, так как подинтегральное выражение, в промежутках [О, 1] и [1, + ] порознь, стремится к своему пределу монотонно 518. Затем испольэовать формулу (24). При а=! в частности, получается 1 !пп ~((5) — - — [= С. л 1-Рог 5 — 1 ! [Ср. 375, 1)].
(а) С= ] (1-е-х) е Так как 1 л-'„=~л е 1(х г 1(х 1 )Ии — -"е "— (б)С ~~ — — -е х х 1-1- и и 1 е 778 Гл. х1ж интеГРАлы, 3АВисящие от пАРАметРА 1338 5) Вычислить величину бесконечного произведение Р 1(и„, л=1 (л-ь а,)(ле а,)... (и+ ал) ил = (аэ, Ьэ — 1). (л + Ь,)(л+ Ьл)... (л.~- Ьл) (Э и л е р]. (Так как (а,<-...+ал)-(Ь,+...+Ьл) Ал 1+ + и л' (]Ил] ~Л т ) то сходшцвмся бесконечное произведение будет лишь при условии а, +... е аи = Ь, +...
-~ Ьи,' в этом предположении и предлагается вычислить Р]. Указание. Представив ил в виде ~1-ь-) в ".+» ) использовать формулу Вейерштрасса (30). Г(1+Ь,)Г(1+Ь,)...Г(1+»и) Ответ. Р = Г(1+ а,)Г(1+ ал)... Г(1+ аи) 6) Предполагая О ]аэ], ]»1]. 1, вывести из 5) другой результат Эйлера: Ип Ь ° в(п Ь °... ° ']п Ьил 17 и.-, л-- з]па,л зша,л ... в]паин У к а з а н и е. Воспользоватьсл формулой Г(1+с) Г(1 — с) —, (О ]с]«1), которая вытекает из (9) и (15).
7) Вернемся к формуле Гаусс а: Г(у)Г(у- -Ф) Г(у — а)Г(у — Р) которая в 534, 13) была установлена в предположении, что а»О, у-а»О н у-а-7) О. Сейчас предлагается доказать ее другим путем, предюлатая лишь положительнымн аргументы функпии Г в правой части формухпв и опустив ненужное условие и О. 779 1 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ Укажем план доказательства. Обозначям, соответственно, через ал, Ьл, сл общие члены гипергеометрических рядов А = Р(и, )), у, 1), В- Р(и, — 1, )), у, 1), С Р(а, )), у+ 1, 1). Непосредственно проверяются соотношеаня й ал — ал+»= (1 — — ) сл Ьл+» у (У-и)(ал-Ь„)=уал»-5(л — 1)а,, — лал и доказывается, что лал -О.
Складывая зти соотношениа при изменении указателя от 1 до я и переходя к пределу, получим: уВ-(у — )))С, (у-и)(А — В)=ВА, откуда А= (у-и)(у-,5) С. у(у- -!)) рассмотрим теперь выражение Г(у - а)Г(у -Р) йа, Р, у, 1). Г(у)Г(у — а -б) (32) предыдущее соотношение (в связи с (9)) показывает, что значенае этого выражения не изменится при замене у на уе 1.
Таким образом, Г(у- ) Г(у-))) Г(у -«) Г(у+ -В) Р(и Р у, 1) Р(и, )), уе , 1) Г(у) Г(у-а — у) ' ' Г(ует) Г(у+т-и — ()) так как он представляет собой остаточное произведение для сходящегося [в силу 5)) произведешш »т (у-и-улКу-~+л) л г(У-ьл)(У-и-))+л)' В таком случае выражение (32) оказывается равным 1, а это равносильно формуле Гаусса. Из этой формулы теперь можно, при у=1, и=В= — »)'„получить разложение [à †)1 2 мвкно доказать и более общий результат, что сумма биномиальных коэффиниентов, отвечающих показателю т бинома, при т -»!'„равна Г(1+ 2т) (у=1, и=Ь'= -т).
(Г(1+т))' Раньше мы это сделать не могли нз-за огравичения и О. Перейдем здесь справа к пределу при т- . Из равномерной, относительно т, сходимости ряда Р(и, )), у+ т, 1) следует (4331 что его сумма стремится к 1. Таков же будет предел и множиттш Г(у -5 т - и) Г(у -~ т - ()) Г(у+т) Г(у-ьт-и-р) ГЛ. Х1Ч.
ИНГЕГРАЛЪ|, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [838 8) Распространение Г(а) на случай отрицательных а. По формуле (9), Г(аь1) Г(а)- а так что значение Г(а) определяется через значение Г(а+1). Ясли — 1 а О, то ао1 О, и Г(а+1) имеет смысл. Определим Г(а) по предыдущей формуле; таким образом, определение функции Г(и) распространено и на случай — 1 а О.
Вообще, если — и а — (и — 1), то, распространяя на этот случай формулу (10), о п р е д е л и м Г(а) равенст| ом Г(а-|- и) Г(а). а(а+1)...(аал — 1) (33) Вели для большей отчетливости положить здесь а= — пьа, где 0 а, 1, то оп ре де лен и е это перепишется так: Г(а) Г(а и) ( Пп (1 — а)(2 — а)...
(н — а) (34) — [Г(а-п)[ —, [Г(а-и)[' !Г(а-и)! [Г(а-пь1)[, !Г(а-пЧ-1)!' и+1-а и+1-и (п+1-аР Г'(а„) Г(ан) ч 1 |' ап 11) Доказать, что прн -н а — (и-1) фуыкция Г(а) выражается интегралом х х' х" |! Г(а)=~ «-'(е- -1-! — — — ->...Ч-(-!)» д. 1! 2! (и — 1)| о У к а з а и и е. Применить интегрирование по частям; см. 8). 12) В главе Х1 [402, 10)), ысходя ез определения функции Г(а) формулой Э йлера — Гаусса (7), — и притом сразу для любых вещественных значений Отсюда сразу видно, что зыак Г(а) для — и а -(и-!) дается множителем (-1)». При приближении а к — и или -(и-1) (т, е.
при приближении и к 0 или к 1) Г(а) обращается в (первого пор|шла!). 9) Предлагается, основываясь на 8), обобщить на случай любых нещественных значений аргументов формулы (7), (9), (15), (20), (20), (30) (избегая лишь целых отрицательных и нулевого значений аргументов). У к а з а н и е. При распространении формулы [30[ учесть равенство (33). Если воспользоваться распространением Г(а) иа случай отрицательных и, то и формула Г а у с с а, о которой речь была в 7), окажется верной прн един. ствэпном предположении: у — а — (3 О, котороо необходимо для сходимости самого раца Р(сс, |9, у, 1) [378, 4).
10) Основываясь на формуле (34), доказать, что, при изменении а от 0 до 1, Г(а-и) однажды (скажем, при а=а„) проходит через О, меняя знак (-1)"+' на (-1)". При соответствующем значении а= а„— и функщш Г(а) имеет, таким абра. зом, положительный минимум (при п четном) либо отрицательный максимум (при и нечетном). См. график фупхции Г ыа чорт.
64, Предлагается доказать также, что (при возрастании и) как а„, так и Гп )Г(ап — л) [, монотОВВО убьщщс, стремятся к О. У к аз а н и е. Основанием для этих заюпочений служат равенства (О«а 1); 53й) ! 3. эйли овы интнглллы аргумента (исключая нуль н целые отрицательные числа) — мы установили некоторые простейшие свойства этой функции (см. также 408). То же можно сделать и по отношению к другим изученным свойствам. Точно так же отправной точкой для изучения функцви Г(а) при любых вещественных а (за теми же исключениями) может служить ряд 1 (Эз !и Г(а) = .~~ =о(аьл)' лрв дополнительных условиях Г(1) = Г(2) = 1. 13) Наконец, отметим, что функция Г(а) может быть определена, как однозначная аналитическая функция, во всей плоскости к о м п л е к с н о й переменной а *. Это может быть сделано, исходя нз самого интегрального определения (6), если разбить на два ~ ч- ~ -Р(а)+О(а). о ! Тогда функция естественно распространяется на всю плоскость комплексной переменной как мероморфная функция, с простыми полюсами в точках О, — 1, — 2, °, — л, 1 1 которым отвечают вычеты 1, — 1, —, ..., (-1)" —, ...
Фуякция же 2! л! ' ''' яа)= ) хо 1е тих 1 имеет смысл н прн комплексных значениях а и представляется целой функцией. Свойства функции Г(а), доказанные для положительных вещественных значений аргумента, автоматически распространяются на всю плоскость, по известной теореме об аналитических функциях (мы имеем в виду свойства, выражаемые равенствами между аналитическими функциями). В частности, нз формулы дополнения (15), которую можно написать так: 1 1 1 = — зщ ач Г(а) = — з!и ал[Р(а)+Д(а)! *», 1'(1 — а) л л явствует, что 1/Г(а) голоморфна во всей плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
