Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Но любая точка с, взятая под условием а=тот)), прянадлежит, очевидно, всем промежуткам иц») (при (с= 1, 2, 3,,). Вместе с тем точка с принадлежит каждой системе Л» (при /с = 1, 2, 3, ...); значит, каково бы ни было /с, точка с необходимо принадлежит (если учесть правило построения Л») н некоторой системе Р», где Ь' Ь. Отсюда уже ясно, что точка с принадлежит бесконечному множеству систем Р», ч. и тр. д. йлб. Предельный лерекод под знаком интеграла. Теперь вместо теоремы 6 ь и 436 мы установим следующую теорему, где требование р а в н о м с р н о г о стремления функции у (х) к своему пределу заменено более общим условием ограниченности ее: тип~алкп 1 (Арц~ла).
Пусть дана последовательность ятуггкяий г'п(х) (л=!, 2, 3, ...), интегрируемых (в собственном смысле) в промежутке [а, Ь] и ограниченных в и х совокулностиг [ун(х)[тЕ. (Е=сопз1; атхтЬ; л=1, 2, 3...,). Если длл всех х в [а, Ь] суи(ествует предел ]г(х) = йго у~(х), ч- и грункяил р(х) также интегрируема, то !Ип !р рп(х) г(х= ~[(г(х) ьгх.
и а е Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничимся вначале частным предположением, что функции уп(х) неотрицательны: у'п(х)-О и имеют пределом нуль; 11щ Хп(х) = О. ь В этом предполоягенни нам нужно будет доказать, что (2) ГЯ ХШ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА !526 Взяв последовагельность положительных чисел г) -О, мы для каждого л можем разложить промежуток [а, Ь] на части 4'а ((=-1, 2, ..., Ь„) так, чтобы соответствуюшая нижняя сумма Дар б у '.
а. (а)г((а) удовлетворяла неравенству а О=-~ ('„(х) 6 — „-П„. а Тогда, очевидно, ь !! 1 ] У.а(х) 6 — а~ - О, а г ~ а н для доказательства (2) нам достаточно установить, что !Вп а„=о. а С этой целью, взяв произвольно малые числа а О и 6 О, установим, что найдется такой номер )т', что при ин Ф сумма длин тех из промежутков а( л-го подразделения, которым отвечают нижние гранины га]"'юа, будет 6. Действительно, допустим, что это не так. Тогда для бесконечного множества значений л: я=л„л„..., лю .
сумма длин тех промежутков л(аа), для которых ю(аа? а, была бы 6. К системам ! 2)а, составленным из этих промежутков, применима лемма предыдушего л'. В согласии с ней нашлась бм в (а, Ь] такая точка с, которая принадлежала бы б е с к онечно м у множеству систем 2)к. Таким образом, для бос коне ч ного множества значений л выполнялось бы неравенство а зто противоречит предположению (1), которое должно выполняться и при х= с. Итак, упомянутый номер ]Гг сушествует; пусть же а М. Обозначим через г' и !" номера тех промежутков л-го подразделения, для которых, соответственно, будет т~? а или лг(- и. Сообразно с этим разобьем и сумму: г = ~ гл(')6(') =.~ т(".?г((У?-Ь2 га'.? й?.
а Мы обозначаем через г()~~и самый частичный промежуток, и длину его; га]"~ есть !В( Г(х) в промежутке 4" . 5261 147 ь а. до~и)лпиыиы Теперь легко видеть, что (а)Ща) ~~' д(а) г (6 и) ~ (а)д(а) г 5' д(а) « Е. 6, ибо, конечно, ть м й (по условию теоремы). Отсюда (а) (6- )+Е ), что — ввиду произвольности чисел е и 6 — и доказывает утверждение (3).
Общий случай легко приводится к исчерпанному только что частному случаю. В самом деле, ввиду неравенства ~ ь ь ~ ь 1 ~ )п(х) ь(х — ~ 74х) Ых ~~~на ) / Рп(х) - Ы(х)! дх, 12 а Достаточно пРименить Доказанное к неотРиЦательной фУнкдии ~та(х) — У(х) (, стремящейся к нулю, Слн()сьпВНН. При аыполненан всех условий теоремы, кро,че предполопсенал ор иптегркруемости предельной рзункяин, ао полком с ьучаа момсььо утаермсдать суа(естаоаание конечного предела ь 1нп ( га(х) ь(х. а а Для доказательства достаточно (391 установить, что для любого е 0 найдется такой номер, ДГ, что при п" п' М будет ул" (х) ь(х — ~ уа (х) йх = ~ 1) "(х) — та (х)/ Ых е. Допустим противное. Тогда существует такое число е, 0 и такие лве последовательности неограниченно возрастающик чисел п,„и и (т=-1, 2, 3, ...; п„, пм), что всегда выполняется соотношение (4) Гп-((х)-Д (х)) Их .=еь.
,'а С другой стороны, )Д»(х) — /„'(х)! 2Ь и (ип ()' а(х) — Уа (х)).=.0. Если к функции ) м(х) =Д-(х) — Д„(х) применить предыдущую теорему, то получим: 1Яп ~./„~(х)Ых= !пп ) (1„(х)-)а (х))ь(х=б, а а что противоречит соотношению (4). Это противоречие и доказывает наше утвер- ждение. ! Л. Х!Ч. ИНТЫ РАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [Я7 748 От параметра л, принимающего лишь натуральные значения, легко перейти н к произвольному параметру у [ср. теорему 1 и' 500]: ТИОПалВГТ 3. Пусть !бункция г(х, у) определена для значений х в нромежут. ке [и, Ь] и значений у в области ']], интегрируема по х в [а, Ь] (лри постоянном у) и равномерно огразшчена (.У(х, у) ~м Е (Е= соля!) для всех упомянутых значений х и у.
Если для всех х сущестаует предельная !бункуия (в(х) 1!ю Лх, у) ч, У У также интегрируемая в [а, Ь], гпо ь ь !пп ] Г(х, у) бх ~е(х) г(х. У-У' " ь а Достаточно применить теорему 1 к функции уп(х) =Дх, у„), где [уп] есть произвольная последовательность значений у из ьв), стремяшаяся к у,.
Получаемое таким путем соотношение !пп ]у"(х, у„) бх- ~р(х) бх ч равносильно (5). 527. Днффереипировалне под знаком интеграла. На основе теоремы А р ц е л а легко получается и следующий результат, как аналог и обобщение теоремы 3 и' 507. тиоПиява 3. Пусть сзункция Дх, у), определенная е прямоугольнике [а, Ь; с, д] будет интегрируема но х в [а„б] при люболз постоянном у в [с, д]. Предноложии, далее, что во всей области существует частная производная уу(х, у), также ин гиегрируемая по х.
Если зта производная, как б!ункция двух йеременных, ограничена: 'ьгу(х, у) ]*~А (ь = соим; а х Ь; с уайд), то при любом у из [с, д] для б)ункции Ду) ~ Дх, у) г(х а имеет место Формула !'(У) = ~ /у(х, у) бх. и До к аз а тельство. Взяв любое значение у=ум как и при доказательстве в и' 507 [см. 1(11)], будем иметь ь !(Уь+й)-!(уь) [.((х, уь+й)-Х(х уь) .] бх. ь При этом, конечно, предполагается, что область '$ допускает предельный переход пря у-у,. Ь 4. ДОПОЛНЕНИЯ Гак как, по теореме Лагранжа, /(х, Уьч-lс)-)"(х, У,) 14 '- - уу(х, у,-ь Ой), со подинтегральная фушщия, зависящая от х н )с, будет при всех значениях этих зеременнык ограничена (по абсолютной величине) постоянной Е.
Применяя к !тому случаю теорему 2, мы можем перейти к пределу при /с-О под знаком ин-еграла, что и даст нам требуемый результат. 528. Интегрирование под знаком интеграла. В этом направлении имеет место 1Редложепие, значительно обобщающее теорему 4 и' 888. ТИО[гидягз и. Пусть функция З(х, у), определенная в прямоугольнике [а, Ь; с, д], ттегрируема по х в [а, Ь] (при постоянном у) и по ув [с,д] (при постоянном х). Если, 'верх того, сьункяия у(х, у) ограничена [)(х, у))тЕ (о=сопя!) 1ля всех упомянутых значений х и у, то существу!от оба повторных интеграла ь ь ~ осу~ з (х, у) асх, ~ с(х ~ Г(х, у) с[у равны между собой.
Доказательство. Положим Г(у)= ~Г(х,у)йх, К(х)=~Ля,у)ду. Рассмотрим произвольную последовательность разбиений промежутка [с, д] а части с длинами , (и) ~п) фз) одчиненных лишь тому условию, что шах [Ь(1")] с возрастанием и стремится к О. 1 каждой Ьй части (1 = ), 2, ..., Ьп) и-го разбиения по произволу возьмем значение =у,") н составим интегральную сумму для функции Ду); [ ь ь сы ь,! Г ь. .= ~Г(у(")]4")=2 Ы, (")) х 4"'= 1РУ(, А'] Ь(' ' 1=! ~ =-1 1 1=1 и ч Если положить Л У[к, у(') 4") =.Г.
(х), 1=1 эо„ перепишется в виде; 'зч = [Гп (х) ссх. 750 1529 ГЛ. Х!У. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Так как, очевидно, существует предел а 1пп У~(х)= ~ Г(х, у) с(у=К(х) и с и к тому яи для всех значений х и л ~у'(х)1=2 (а- ), то, по следствию и" 52б заключаем о существовании предела би и (б) Итак, предел этот сушествуетс как бы ии делить промежуток на части (лишь бы наибольшая из длин их стремилась к нулю) и как бы ни выбирать в них значения у(и). Отсюда ясно, что предел этот должен быль одним и тем же во всех случаях, т.
е. что существует иятеграл а ь 7(у) с(у= 1пп и„= йш 17«с(х) с1х. и-- «- и ь ь ) 7О) с(у = !пп ~ Ди (х) с(х = ~ К(х) с(х, т. е. а ь ~ ису ~ Лх, у) с!х -" ~ с(х ~ Дх, у) йу, с а а с ч. и тр. д. Мы ограничились здесь случаем собственных интегралов.
Если положить в основу доказанные для них теоремы, то можно было бы соответственно обобщить и результаты, относящиеся к несобственным интегралам; этим, однако, мы заниматься не будем. й 5. Эйлеровь! интегралы 529. Эйлеров интеграл первого рода. Так называется (по предложснию Лежандра) интеграл вида 1 В(а, Ь).= ~ хи 1(1 — х)' ' г1х, (1) и где а, Ь О. Он представляет функцию от д в у х переменных параметров а и Ь: «)!ункь(аьо В («Ботас). ь Но подобным же образом можно доказать и существование интеграла ~ К(х) с(х, и т. е.
интегрируемость предельной для уи(х) функции [см. (6)]. Тогда, применив куй(х) теорему 1, окон !ательно получаем 5291 751 1 к эилнновы интагнллы В(а, Ь) = В(Ь, а), так что функция Вявляется с иммет р и ч ной относительно а и Ь. 2'. С помощью интегрирования по частям из формулы (1), прн Ь=-1, находим аа хе хл(1 — )ь В(а, Ь)=) (1 — х)' — ' — =- — ! -г ~ х (1-х)"-з)ух=- Г „Г Ь-! Г Ь-1 Г л л = — В(а, Ь-1)- -- - В(а, Ь), откуда Ь-1 В(а, Ь) =,— „-ь — 1 В(а, Ь-!).
(2) Эту формулу можно применять с целью уменьшения Ь, пока Ь остается больше 1; таким образом всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал 1. Впрочем, того же можно добиться и в отношении первого аргумента, так как — ввиду симметричности  — имеет место и другая формула приведения (а 1) В(а, Ь) = 1 — В(а — 1, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
