Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 116
Текст из файла (страница 116)
с с Таким образом, все условия теоремы 1 здесь выполнены, н наше утверждение оправдано. Несколько проще обстоит дело в случае функции, не меняющей знака. Например, для неотрицательной функции (этим случаем достаточно ограничиться) имеет место Следствие. Пусть для и е о гпр и ц а т е л ь и о й непрерывной функции Лх,у) оба интеграла (17) также представляют собой н епрерывные функции, первый — от у, а второй — от х.
Тогда, если существует один из повторных интегралов (1б), то существует и другой и притом — равный первому. 5Щ 717 1 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 522. Применение к вычислению некоторых интегралов. Применим Вышеизложеш)ую теорию к вычислению некоторых важных интегралов. 1'. Интегралы Эйлера: о (о а .!) ха — ' — хо ' (1х, о (О а! !) ха 'дх х'+ 2х соо !)+1 о (о а 1, — а ) Из результатов и' 496, 1) сразу получается: хо>> х 1 — >7г = — ° — —— 1Е >а 2В 2щ~-1 о Б!и х 2В 1л) л).
1 Положив здесь я=х", найдем первый из эйлеровых интегралов: Ж(.1 — 1 х Ба х Ых= — — --, 1-)х 2 (-1 119) 2о)+ 1 )ри частном значении а= — —. 2х Для того чтобы отсюда получить значение искомого интеграла (ри любом а, удовлетворяющем неравенствам 0 а 1, убедимся в аом, что этот интеграл представляет собой непрерывную функцию >т а для указанных значений параметра. При О<х«+ и 0«а<1 подинтегральная функция сохраняет не(рерывность по обеим переменным. Далее, рассматриваемый интерал сходится равномерно относительно а: при х=О для а~ао-"-О, а (ри х= для а<а, 1.
Действительно, разбивая интеграл ~ на два: + ~, легко видеть, что последние мажорируются, соответственно, 1 штегралами: Хаа' ' х! -1 ~ — (1х и ~ — ((х. По теореме 2 и замечанию к ней явствует, что предположение о непрерывности интегралов 117) равносильно требованию их равномерной сходимости. Остается применить предыдущую теорему, отметив, что в данном случае ~Ях,у)~<Ях,у). Предложения настоящего и' также могут быть перефразированы на случай конечных промежутков; при этом особая точка х= лишь заменяется конечной особой точкой х= Ь, а также (если нужно) точка Р= точкой у =д.
7!8 ГЛ. Х!У, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВНСЯШИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [522 Прилагая к интегралу ~ теорему 2, а к интегралу ) — аналогич- 1 е ную ей теорему для конечного промежутка, убеждаемся в непрерывности обоих интегралов как функций от параметра. К любому значению а, О«а«! можно произвольно приблизиться 2т+ 1 с помогцью значений вида — (лг и и — натуральные, и и). Пере2а ходя в формуле (19) к пределу при а н используя доказанную 2а непрерывность интеграла, найдем окончательно: ха' х — с!х=-.— 1ср. 519, 4)).
1+х и!п па е Совершегшо аналогично, из 496, 2) и 3) получим: ха — 1 хс — 1 Вх=-п(с!вал-с!8 Ьа) 1 — х в ха 'Фх вш(1-а)В х' 2х совВ 1 и!пВ Н а, п е 2'. Интеграл е 1ср. 492, 3']. Рассмотрим интеграл Ув= ~' — "'4х ( -О). х с Вычислим его с помощью дифференцирования по параметру и. Однако непосредственное применение правила Л е й б н и ц а приводит здесь к расходящемуся интегралу СОЗ ИХ 1ГХ.
е Поэтому мы введем чмножитель сходнмостнв е "" ()с О) н станем искать значение интеграла ! = ~ е Ах — Ь (и» О). х е 5221 г 3. НспользоВАНИВ РАВнОмеРнОЙ сходимости 719 Для него дифференцирование по а под знаком интеграла уже дозволительно, ибо соблюдены условия теоремы 3: подннтегральная функция н ее частная производная по а непрерывны по х и а для х= О и а~О, а интеграл, получаемый в результате дифференцирования: е ~асозах4х.= е ез Р/„.2 сходится равномерно относительно а, так как мажорпруется интегралом ~ е хах, не содержащим а. о Итак, для а~О Интегрируя по а, найдем 1= агсгя— е (постоянного слагаемого здесь вводить не приходится, так как оба этн выражения при а =О обращаются в нуль).
Эта формула выведена в предположении, что 1г О. Но, при а= =сопзг, интеграл 1 оказывается функцией от /с, непрерывной и п р и 1с=О; это следует по теореме 2 из равномерной сходнмости интеграла 1 относительно е при /с~О [см. 515, 4'). Иными словами, 1,= йщ 1. 2-+О Если а О, то 1, = йщ агс$5 — = агстя (+ -) ='- . г-+о 2' В частности (при а=1) и 3'. Интеграл Эйлера-Пуассона 1 — ~ е — х' сКх о (ср. 492, 2'). Положив здесь х=иб где и — любое положительное число, получим У=и ~е "' й. о 720 ГЛ. Х<И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [522 Умножим теперь обе части этого равенства иа е "' и проинтегрируем по и от 0 до ,<. ~ е '<[и=Р=- ]Ге О'ие<и]ге "ч*й.
О О О Нетрудно видеть, что перестановка интегралов ведет здесь весьма быстро к результату. В самом деле, после перестановки получим ,<О= ]Гй]ге <'+'!Оеи«<и= — [ — =- —, 27' 1+<' 4 ' О О О откуда (так как, очевидно, < 0) Х=]е "Их=— Г, ]Я 2 О Для оправдания произведенной перестановки интегралов попробуем прибегнуть к следствию из теоремы 5 и' 521. Но в то время как интеграл е <'ым*иИИ.=- —.— 1 1 2 1+<' О есть непрерывная функция от < для всех < О, интеграл е <ы' !ы и й = е "' у О непрерывен лишь для И=.О, а при И=О обращается в О, терпя в этой точке разрыв. Поэтому применить следствие непосредственно к прямоугольнику [О,; О, -] нельзя! Мы его применим к прямоугольнику [ИО„-; О, -], где ЛО- О, пользуясь тем, что интеграл е << <ЧО'и Ни=, е <<+< !О 1 1 2 1+<" Оу является непрерывной функцией от < для всех <~0.
Этим оправдывается равенство <Ь ~ е <'"Р!ОРИ й=. ] й Г]е «О<'!О'и йь О О О 5221 5 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СКОДИМОСГИ 72) Остается лишь, уменьшая ии перейти здесь к пределу прн ио О, что в правой части можно выполнить под знаком интеграла — на основании следствия и' 518. 4'. Интегралы Лапласа (Р. Б. 1лр1асе): ГО05 РХ ГХ'5!П фх о о Полагая в первом из иих 1 — "е-Н 'о«в в)Г Х«+Х' о получим У= ~СОВ)ЗХ ЫХ~ Е Д«'+х') й. о Переставим здесь, по теореме 5, интегрирования по х и по в у= ~ Е "'515 ~Е )х'СОВ)ЗХИХ. о о НО внутренний интеграл нам известен (519, б) (а)) )ЗГХ --' Е' 'х'СОВ)ЗХО)Х= — 1) — Е 55 4 Г о так что 57Й «х 55 2 )ГГ о о Н=н) Вспоминая 497, 8), окончательно находим у= — е «к Х 2х взп хв х)х„ о ~ сов х' 51х.
о Второй интеграл Л а и л а с а получается из первого дифференцированием по параметру р: х)у х в= — — =-е *в. о)з 2 Применение правила Л е й б н и и а оправдывается тем, что интеграл сходится равномерно относительно )5 для )зи)зо=О [517, 16)). 5'. Интегралы Френеля (А. 1. ггевпе1): 722 ГЛ. ХГЧ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 1522 Полагая х'= г, получим: гйп к' йх = — ~ — й, ~ соз хз г)х = — ~ — й; 1 гз!ВГ Г з 1 гсозо о о о о станем искать первый из этих интегралов в преобразованной форме. Заменяя (под знаком интеграла) выражение 11')гг равным ему интегралом 1 2 г.ш —.= — ~~ е о'о1и, ) М о приведем искомый интеграл к виду: .---- й= — ~ Гйпгй ~е '" йе 2 о )гг )ггл.) о о о Перестановка интегралов здесь сразу привела бы к окончательному результату: =.й= — ~ ди~ е Вайа гй= — ~ (Ф ~л )Гл 1+"' )гл 2)Г2 о о о о Так как непосредственное обоснование такой перестановки требует кропотливых преобразований и оценок,мь1предпочтем и здесь (ср.
2') прибегнуть к пиножителю сходимостио е "' (й. О). Имеем — е Йг= — ~ е Гйп1й~ е " йи= з)аг и 2 г и. г )гг ул) = — ~ Ии ~ е 1" оп' з(п 1 й = — ~:: о о о На этот раз возможность перестановки интегралов устанавливается с помощью теоремы 5. Остается, наконец, перейти к пределу при )Г-О, что — как легко проверить — может быть проведено под знаком интеграла. о См. 472, 2) ВЯВ 491, 7).
523) 1 з. использовании вянномнрной сходимости Итак, окончательно гсоз с То же значение получается н для интеграла З! й. Отсюда е з!и х' Ых = ~ соз х' гзх = — !! '- . 21' 2 о е 523. Примеры иа дифференцирование под знаком интеграла. 1) Исходя из известных интегралов (прн а О) (а) ~е "х'Их= — !! —, 2 о е Ых 1 л „и-1-х' 1. 1 (в) ~ х" 'г(я=-, а е путем последовательного дифференцирования их по параметру вывести новые интегралы. (а) Решение. По правилу Лейбница, после л-кратного дифференцирования, найдем: (2в-1)!!!!т е-ах'хзл а|х=- 2в+з,.
е Так как получающиеся при этом интегралы все равномерно сходятся относительно а, для а~аз 0 (например, написанный интеграл маиорируется ннтеграо ох 1 (2л-1)!! 1 л (б) Ответ. З (а+хе)л+з 2 2ли оо зГ' о )о 1 и! (е) Оглвегл. ~ хо з)оявхг!х=(-1у1— в+Т ' е Гл. игу. иитБГРАлы, ЗАвисяпгин от ПАРАметРА 2) Дифференцированием по параметру вьгчислсиь ингегралы (а, //, /сьб): г1-соз«х (а) У- /1 е "«с/х, х о г яп ах яп Рх (б) Н=/1 — — е Ксс/х. х х о (а) Р е ш е н и е. Производная з по «выраясается интегралом (сходящимся равномерно относительно «) с/у г « — = /1 е ""яп«хс/х с/« «'4/с' о отсюда 1 У- — 1п («с.~-/сс)РС, 2 1 Так как при « = О интеграл У обращается в О, то С= — — !п /с' и окончательно 2 У--1п 1(1+ — ~. 2 ( /сз,1 (б) Дссффересщируя Н по а под знаком интеграла, получим: с/Н г япбх совах — =~с гх с/х с/«х о Применение правила Л е й б н и ц а законно, ибо условия теоремы 3 соблюдены, как в этом легко убедиться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
