Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 114
Текст из файла (страница 114)
- (-Ь) Уй ~Я Ответ: — в — в'. 2 (б) Аналогично получается разложение: 1 в — х'з1п2Ьхв(х=Ь~ ( — 2Ьз)' ', „=1 (2х — 1)й е г х'"' хх= ~ — Ых "вмх 1 е (Ь = 1, 2, 3, ...). Решение. Разложив вмх — 1 1-в ах в прогрессию, получим положительный ряд хх" ' — ~~ ххаГ М в — ХВХХ в' " — 1 в=-1 ' Мы воспользовались очевидным преобразованием: 2х! =-2х!!(2~ — 1)1! —. 2" в!(2» — 1)В но на этот раз к зконечиойх формуле оно не приводит. Впоследствии, другим путем, мы выясним характер нов ой (уже незлементарной) функции, которая нужна была бы для выражения нашего интеграла [523, 5) (б)).
7) Найти значение интеграла 519[ 1 к исполыювянин глвномщ ной сходимости 703 " (2/2-1)! (2)е — 1)! 1 15 ~ '[ хы 12 -" " 2(х= л 1 л=г (2лл)'" (2л)2" 2=1 л"1' в Вспоминая, что lс-е число Бернулли Ва имеет вырщкение 2 (2/е)! " 1 Ва = (2 ),х 2~ „†,„ [449), окончательно получим Вх 471 8) Найти выражение для интегралов (Лежандр): е яптх 1' яп тх (а) [ 2(х, (б) [ — 2(х (т 0). 1,-+ е с Р е ш е н и е. (а) Разложение яп тх Š— 2 лХ 51Л тХ ее'х-1 тоже сходится равномерно в любом промежутке [2), А), его частичные суммы )5!и тх ! мажорируются фушщией .
Поэтому допустимо почленное иитегриро- 52 Х наине! е е "'Хяп тх2(х= е т 1[' 1 1 1 1ет+1 1 + ,=1 те+422ле 2 [ет — 1 т 2) 4 ет — 1 2т (б) Аналогично получаем (пользуясь той же мялсораитой): 51п 1лх т 1 1 1 — Их=,~(-1)" ' Фл ек'х+1 е —.1 т'+42'пе 21л 2 еяж — е — еж е 3 а м е ч а н и е. Естественно было бы также искать значения предложенных интегралов путем разложения 5!и тх в ряд.
В случае (а), например, мы пришли л Мы пользуемся здесь (и в следующей задаче) сразу и теоремой 1 и теоремой 1' предыдущего и', примененными, скажем, к промежуткам [1, + ) и [О, 1) порознь. ** Эти результаты получаются нз разложений иа простые дроби Функпнй 1 с1)2 х и — — [441, !О)). 5Ь Х который сходится равномерно в любом промежутке [1), А) (О 2) А + ), Так как сумма ряда интегрируема в промежутке [О, + ), то почленное интегрирование оправдано *: [519 ГЛ. Х1Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАЕИЕЯП]ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА бы к интегралам, рассмотренным в 7), а для получения результата в конечном виде могли бы использовать известное раътоженне Вя ~~ [ 1)к-2 щга-г ел1 — 1 кч 2 1 1 2)с] [449] и т.
д. Но этот метод имеет принципиальный недостаток — он требует предположения л1 2л, в то время как результат верен для любого нь 9) Если в элементарной формуле [ср, 492, 2'] 4х [2л — 3)!! л Пь 2). [г -г)й 2 о положить х= —, то получим: ]111 1]к (2л-3)й л 2Н" (2л — 2)й 2 1" ! о 1 Функция, монотонно убывая с возрастанием и, стремится к пределу ("Г е-~-'. Опираясь иа следствие л' 518 (которое сохраняет силу и для монотонно убываюгцей функции), моясно здесь перейти к пределу при л- под знаком интеграла.
Если для определения предела правой части воспользоваться формулой В а л л и с а 317, то окончательно получим результат [Ср. 492, 2'.] 10) Известный интеграл Фейс р а [309, 5) [б)] о Х если положить здесь 2=- —, может быть переписан в виде л п— 2 1Л— л Переход к пределу при и-~ здесь затруднен тем обстоятельством, что от параметра л зависит не только подинтегральиая функция, но и верхний предея интеграла. 5191 705 5 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСГИ Полагая, однако, (гсп Х')г Л Ях)= ~ — -1 х ) х 5(ив л для 0 х~я— 2 Ул(х)-0 для пРочих значений х, можно написать и так: л поэтому для О«х~л— 2 (5!и х)г яг Ул(х)~'( х, 4' это неравенство тем более выполняется при х л.—, ибо тогда Я~(х) =О.
2' Применяя теорему 1, и' 510, можем в равенстве (7) перейти к пределу при л под знаком интеграла, что приводит нас к результату ~ ~ — — ) г(к= —. с [Ср. 494, 4); 497, 15) ) 1!) Другой пример того же рода. Известно (см.
440, 10)), что соз тх гт г(х=л 1 — 2г соз х-~- г' 1 — г' с Ь где т — натуральное число и ~ г( 1. Положим здесь х= — и г=1- — (где Ь 0); считая ги й, получим: лг лг ( йзт СО5 г(5 СО5 Г Л '+2тг ~1-соз — ~~1 — — ~ )г ял— 2т ( )г) Ьг->гг — ~ 1- — ( с 5, т, 2т й 2-— т У,(~) сЫ~=.—. 2 (7) е Очевидно, каково бы ни было х О, ~5П! х!г йю,ЯХ) = ~- — ~, г Х причем приближение функции ул(х) к своему пределу в любом конечном проме- жутке (О, А) будет равномерным. с другой стороны, известно, что для 0 г:— 2 яог 2 л' Гл.
хгж иитеГРАлы, 3АВисящие От ИАРАметРА [519 70б ПеРеходя здесь к пРеделу при ги- глод знаком интегралаэ, не стесняясь тем, что и нерхвий предел здесь растет вместе с т (его мы заменим на ), получим: сваг ж — Их = — е-и. )22+2' 2Ь с Но верно ли зго7 Постараемся обосновать выполненный предельный переход. Введем и здесь функцию сох х Ь(с)- х прн 0 -г и!22 ащ— 82.!. 22 2щ 2222(з)=0 ЩЗЯ г Л2н так что левая часть интересующего нас равенства перепишется так: ~ Ь (х) 212. Очевидно, Сват 1!щ З2и(х) = —, )222 22 причем в конечном промежутке стремление происходит равномерно. Наконец, мажорантой может служить функция 1 ль —,, ° ~ — — ) если ть 12 и рассматривать только значе2щя т~ть.
Остается сослаться на теорему 1 л' 518. 12) Необходимость обоснования предельного перехода в примерах 10) и 1!) подчеркивается следующим сходным с ними примером, где, однако, такого обоснования дать нельзя; результат же не подкрепленного обоснованием предельного перехода оказывается н е в е р н ы и.
Рассмотрим интеграл и и (и=~" . " иенх' с !!щ1и = ~ 0 2(х=-О. с На деле же (как легко убедиться с помощью замены переменной) интеграл Л, сои храняет постояаное значение — ! 4 если с внм поступить, устремляя и к, как в предыдущих примерах, то полу- чится, что 707 ! 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ Приведем еше два нешаблонных примера, интересных, как увидим, в другом отношении. 13) Вычислить интеграл (где а - любое число) «(х ( — ~ епсппхаш (авш х) х е [ср.
478, 8)(а)), считая известным интеграл "Ял1 л ) — Аг-— 2 с [см. 492, 3'! 494, 5). Удобно ввести комплексную переменную я=а (свах.!.!а!л х)," тогда [457, (6)) ег еп'"" [соз (а з!л х) + 1з(п (а з(л х)) разлагается в ряд ап(СОЗ ИХ+ 1' ЯЛ ИХ) 1+ 2' Пз и! ап еп"'"з!п(аяпх)= ~ — яллх, «=1 И! отсюда г а" ялих 1= ~,~~ — — ггх. п=1 И! Х е Если бы можно было здесь произвести интегрирование почленно, то сразу получили бы: "а" гаших л ап л У= Л вЂ” !' — А =- Л вЂ” --("-1). п.=г и! х 2 п=з л! 2 а По обосновывать право на зто в данном случае приходится своеобразно. Так как ряд, стошций под знаком интеграла, мажорируется настоянным рядом а" а~ «=а и! то в конечном промежутке [О, А) интегрирование можно произвести почленно: А пА ап а!и их ап гзт лх ап г и!лг г ~~ г 1И! Х и=1 И! Х п=-1И! Г (8) Приравнввая мнимые части, мы н получим разложение того выражения, которое стоит первым множителем под знаком интеграла; ГЛ.
ХСЧ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [519 108 Остается перейти к пределу при А - . Но„как нетрудно ыщетьп ввнсйс самого с ГЗШ С Гз!и С существования интеграла с! — с(с, интеграл с! — с(х при в с е х значеввяк * С О О Слв 0 будет равномерно ограничен: 1 О Тогда ряд (8), члены которого зависят от переменного А, мажорнруется постоянным рядом " !а!и ь 2'— п=с л! и, следовательно, сходится равномерно относительно А. В таком случае, по известной теореме [433), в нем можно перейти почлевио к пределу при А чем и завершается доказательство. 14) Друтой пример того же рода.
Пусть ряд с х о д и т с я, и положим для х 0 хл Р(х) = ~ а . —; л=е Л! этот ряд также сходится, и притом — в любом конечном промежутке [О, А)— равномерно относительно х [по признакам Абеля — Дирихле, см. 430), так как множитель хпСВ1, по крайней мере для л А, убывает с возрастанием л. Доказать, что тогда е «Р(х) с!х = с. О (9) Результат получается с р а з у, если проинтегрировать почленпо хп сзл е — «,з ап, с(х — Д ге — «.«п Осх ~ ап п=е Л..=Е Лс 1 л=е О О А А хп 1 е « ~ асс — с(х= 2; ап — [ е «хп с(х л=е Л),.=О а! .1 (10) ибо ~ е «х" с(х=л! [489, 4)).
Обратимся теперь к обоснованию права на это. б Как и только что, в конечном промежутке почленное интегрирование долу ствмо: 5191 1 з. использование гавиомв ной сходимости Интегрируя по частям, легко показать, что 1 Г 1 — [е «хпс(х 1 — "- А-1, л! (я — 1)! С так что множители 1 Г ) е — «.«П с(т л! с зависюцие от А и л, монотонно убывают с возрастанием л (при А =солю), оставаясь равномерно ограниченными.
В таком случае (по только что указанному признаку) ряд в (10) справа сходится равномерно относительяо А, а значит, в аем можно перейти к пределу при А- по ч лени о, н т. д. Приведем два примера применения полученной нзюцной формулы (9). (а) Рассмотрим так называемый ни те г р а льный синус Гзшг л х' х' — з!х= с! — Ас= — -хе — — — +... * С 2 3!3 5!5 « Этот ряд составляется по типу у(х), исходя из ряда и 1 1 — -1+0+ — ";О- — +... 2 3 5 По формуле (9) тогда л С 1 1 ) л л л — ~ е «з!«г(х= — -[1 — — + —— 2 ~ 3 5 ~ 2 4 4 е (б) другая интересная функция — функция Бесселя с нулевым значком Уч(х) имеет разложение [441, 4), 5): которое составляется по типу у(х), если положить (2« — 1)!! ее=1, ам=(-1)", а,,=О.
2И! * Это разложение легко вьп1естя, если написать: ГЗ1П С ГЗ1П С вЂ” ы х= ) — — г(С вЂ” ~ — АС С - С и во втором внтеграле заменить синус его разложением в ряд, а затем проинтегри- ровать почлрннс,. 710 (бго ГЛ. Х|У. ИНТЕГРАЛЪ|, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Тогда, в силу (9), (гэ - 1)!1 1 в " Уь(х)бх=,~~ (-1)"— ,=о 2и| )сг о окончательный результат получается здесь, если вспомнить разложение функции 1 в биномиальвый ряд (407 (24)] и положить в нем х = 1. ]г] ч-хх Замечание. Поучительно разобраться, в чем состоит особенность примененного в двух последних примерах метода рассуждения — по сравнению с прочщяи примерами на почленное интегрирование рядов в бесконечном промежутке. Ясли вернуться к общему вопросу о предельном переходе под знаком интеграла с бесконечным пределом (эза], то он оказывается равносильным вопросу о существовании н равенстве обоих и о в т о р н ы х пределов для некоторой функции Г(А, у) двух аргументов (см.
(3)]. Согласно общей теореме л' беб достаточяым условием в этом случае является — при наличии обоих и р о с т ы х пределов— равиамврпсс стремление фуппчии к одному из иих, (4) или (5), и притом все равно к какому. Обычно мы предполагали такую равномерность в отношении предела (5), что и отвечало |равномерной сходимости интегралаь с бесконечным пределом. Оа заключспив оставалась бы в паллад силе, сали бы вместо этого равномерным было приблитсиис фу1твии с к пределу (4)! В случае ряда л„иа(х) с частичньп|и суммами Д(х) можно, таким образом, 1 либо устанавливать равномерное (относительно и) приближение функции Рп(А) = ~ Уп(х) с(х а при А - к пределу ~ Ях) дх, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
