Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Имеем: х х=з 1 уВ хьЧ-Уь х=о 1-Ьуь о 1 1 (у 0), [ ау [уах=агсьау~ = —, о о в то время квк 1 1 а а 4 о о 509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра. Обратимся к рассмотрению более сложного случая, когда не только подинтегральное выражение содержит параметр, но и самые пределы ин. теграла зависят от него, ббб ГЛ. Х)Р. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В этом случае интеграл имеет внд лу) 1(у) = ~ 1'(х, у) дх.
ку) (14) Ограничимся исследованием вопроса о непрерывности и дифференцируемости по параметру подобного интеграла. Теорема 5. Пусть функция Дх, у) определена и непрерывна в прямоугольнике (а, Ь; с, д), а кривые х=а(у), х=)5(у) [с= у~д) иу) ку) ли) 1(у) = ~ Ях, у) дх+ ~ Дх, у) бх — ~ Ях, у) с(х. (15) Фоь) ''ь) Первый интеграл, в котором пределы уже постоянны, прн у у стремится к иу.) 1(уь) — ~ Лх, уь) бх, "Ъ) по теореме 2.
Остальные же два интеграла допускают оценку иу) ) Лх,у)дх(:М 1Р(у)-Яуь)1, ли) Ы ~ 1(х, У) а)х) ~М /а(У) — а(Уь)!, (и) где М=шах (Ях, у)/, н в силу непрерывности функций а(у), Яу)— при у у„стремятся к нулю. Таким образом, окончательно йш 1(у) = 1(у ), У У~ что и доказывает теорему. Теофета 6. Если, сверх сказанного, функция 1(х, у) допускает в прямоугольнике (а, Ь; с, д) непрерывную производную 1у(х, у), а такзке существуют и производные а'(у), р'(у), то ин)пеграл (14) имеет непрерывны и не выходят за его пределы. Тогда интеграл (14) представляет собой непрерывную функцию от у в (с, д).
Если ур есть любое частное значение у, то интеграл (14) можно написать в виде 667 О Ь ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ производную по параметру, которая выражается формулой Жг) Г(у) = ~ 7"з(х, у)о(х + р'(у) 7'(р(у), у) — а'(у) У'(а(у), у). (16) "О') И здесь мы будем исходить из равенства (15). Первый интеграл при у = уо имеет производную, представляемую интегралом от производной ив) ~ у' (х, уо) с)х 'Ь) — по теореме 3.
Для второго интеграла (значение которого при у =уо есть нуль) имеем, по теореме о среднем: Жз) — ) Лх,у)зх= ' Лх,у), Р-Ро яв) где х содержится между р(у ) и р(у). Отсюда производная второго интеграла при у=уо, которая совпадает с пределом предшествующего выражения при у у, будет )5'(уо) ЛР(уо), у ). Аналогично, для производной третьего интеграла при у у, получим а (уо) 'Ла(уо) уо) Объединяя все эти результаты, убедимся в том, что производная р(уо) существует и дается указанной формулой.
3 а м е ч а н и е. Заключения обеих теорем сохраняют свою силу и в предположении, что функция Лх, у) задана (и обладает указанными свойствами) лишь в области, содержащейся м е ж д у кривыми х= а(у) и х=р(у). Возможность рассматривать функцию н вне этой области использована была для упрощения рассуждений.
Поучительно взглянуть на установленные результаты н с такой точки зрения. Интеграл з(у) получается нз интеграла Р(у, и, о) = ) Лх, у) ах, и зависящего от т р е х параметров у, и, о, подстановкой и=а(у), о= =р(у). Вопрос исчерпывается применением общих теорем о непрерывности и о дифференцировании сложной функции. В частности, 1510 ГЛ. ХЬЧ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА формула (16) написана по классической схеме: Ы ду ду ~ И (у) р'( ду ду да да 510. Введение множителя, завясящего лишь от х. Легко получить некоторое обобщение установленных выше результатов, и притом— без привлечения новых идей. Именно, можно вместо (1) рассмотреть интеграл 1(у)= ~Ях,у) е(х)дх, а где я(х) является функцией от х, которая абсолютно интегрируема в промежутке [а, Ь) (возможно, и в несобственном смысле).
Таким путем удается частично распространить изложенную элементарную теорию и на несобственные интегралы. Сформулируем предложения, аналогичные теоремам 1, 2, 3 и 4: Теорема 1*. 11ри предположениях теоремы 1 имеет место форльула ь ь 1пп ~Дх, у) .Р(х) ь(х = ~ Р(х) . Р(х) Ых. у-и " а а Прежде всего заметим, что все интегралы, фигурирующие в этих формулах, существуют. Интегрируемость предельной функции у(х) была уже доказана.
Существование же интегралов от у' я и чз я (вообще говоря, несобственных) следует из и' 482. Теперь, задавшись числом е =-О, найдем, ввиду равномерного стремления Ях, у) к Ч(х), такое число д О, что имеет место (3)*. Тогда при 1у — уь~ д справедлива будет такая оценка: ь ь ~Ях, у) «(х) ьгх — ) Р(х) у(х)ь(х)*а а а ь ь т) (Ях, у) — Р(х)! ° (у(х)! Их е ~ )фх)) ьй, а а что и доказываетнашу формулу, ибо справа произвольно малое число ь умножается на постоянное конечное число ~ фх)~ агх. а В частности, подобная теорема имеет место и для последовательности функций (Ях)) с п в роли параметра. Мы а Мм н здесь, как всегда, дпв дрвмерв рассматрвввем случай конечного уа1 РЗСВРССТраНЕНЬМ аа СПУЧай Уа — +а' ПЕ ПРЕДСЗВВПВЕГ ТРУДНОС™ 669 51Ц 1 ь элимнитянняя твовия сформулируем этот результат хна языке бесконечных радова, так как в таком виде он чаще применяется. Следсупвие. Если 1) члены ряда ~и„(х) я=1 " — интегрируемые в !а, Ь'! (в собственном смысле) функции, и ряд сходится равномерно, 2) 5(х) — а б с о л ю т и о интегрируемая в !а, Ь! функция (хотя бы и в несобственном смысле), то ряд ~и„(х) к(х) ь=! можно интегрировать п о ч л е н н о.
Далее, совершенно так же, как и теоремы 2 и 3 (но лишь со ссылкой на теорему 1Я вместо 1), доказьвается: Теорема 2*. При предположениях теоремы 2 интеграл (1*) будет непрерывной функцией от у в промежутке !с, д). Теорема 3". При предположениях теоремы 3 функция (1*) будет дифференцируема по параметру, и имеет место формула: а Наконец: Теорема 4*. При предположениях теоремы 4 справедливо равенство повторных интегралов д ь ) У(у) а!у= ) бу)Ях,у).я(х) бх= ) я(х) ох~лх, у)а)у. Доказательство буквально воспроизводит доказательство теоремы 4 (лишь со ссылкой на теоремы 2Я и 3* вместо теорем 2 и 3).
Многочисленные примеры применения этих (равно как и предшествующих) теорем читатель найдет в следующем и'. 511. Примеры. Используя разложение в ряд функции е", представить в виде суммы ряда иатетрал ьвх (а) ~ е"!и х ~1х, (6) ) — дх. )!дЭ б70 Гл. хгж интеГРАлы, злнисяшие От пАРАметРА !511 По следствню нэ теоремы 1 ° имеем: 1 1 - хт1 (а) ~ех!пхо(х- ~!их ~1+ .~ — ) 4х= тт1 гд! о о 1 1 = ~!и хо(х+ ~ — ~ хт 1и х4х= — ~1+ ~ т = 1 (лг-~-1)!(лг Ч-1)! 1 1 гех — 1 г 1 1 (б) ~ — 4х=~ ~ —,х ог(х 2 ~ )Гф т г т! т т (2гл 1) гл! о о 2) Разложением в ряд вычислить интеграл Х ~ 1и х 1и (1ьх) о(т. о По теореме и' 437, 5; ряд -( Пл — г !и (1 4х) ~ хл 1 и равномерно сходится в промежутке [О, Ц. Так как 1пх абсолютно иатегрн- руема в этом промежутке, то, по тому же следствию из теоремы 1', т ( 1)л-г г ( цл 1= ~ ~ хл 1и х4х=~ —.
1 л л(в+ 1)' о Ввиду тождества 1 1 1 1 а(л+ 1)' л л 4 1 (и+ 1)з выражение для 7 можно представить в виде: г1 1 1 ло — ( 1)л . ~ — 2 2 !и 2 «.=г л л+1 (я+1)о 12 Здесь для 1 получилось значение ов конечном видео. Разумеется, зто удается не всегда. * 405 (18); 440, 8), учитывая притом известные разложения . =1п2, «=г т ( !)» — г пй о л о' 12 5Щ 671 1 ь элементАРнАя теовия 3) Обозначая через Ря(х) и-ый многочлен Л е ж а н д р а, доказать, что соя~а+ — ) рЫР Ря(соз 0) =— ~2(соя р — соз О) о соз ~и 6 — ~ р Фр г- ~ ~ 21 ая и =-е Г ](2(созе — созб) е (17) установить, что сумма его равна указанному выражению при х = соз О.
Так как (ср. 461, 2)], при ] л] «1, 1 соз — (я 1) 2 ,х' ~" ~~ ~~+ — ] и=-(1-~) ,=о ~ 2) 1 — 2асозрЧаз и ряд сходится р а в н о м е р н о относительно р (ибо мюкорируется геометрической прогрессией,~~]и ~"), то рял (17) — снова по тому же следствию — можно о преобразовать так: соз — е 1-а~ 2 йр 2 "ЗГХ 9- Я'- 9 "' е Прибегая к тем же подстановкам, что и в задаче 9) 497 (где, собственно, был установлен частный результат, для я= 0 и 1), последовательно получим: 1 — и] 1 Иг 2 с(г 1 л ] ]/(х- х)П х) 1-2аг+Яз л 3 (1-а)гг'+(1 — 2ах+и ) ]11 -2тхЧ.а) П -и)] х е что и завершает доказательство.
4) Воспроизведем один из приемов, с помошью которых Э й л е р получил свой результат; 1 л' Л вЂ”,=-. «=г я' 6 Вычислим интеграл г г лх г лз Е= ~агсз!п х. = ~ агсз]п х данию х=— ](1хз 8 е е Если вспомнить происхождение многочленов Л е ж а н д р а Р„(х), как ко- 1 зффипиентов разложения по степеням и выражения ]447, 8)], то достаточно, рассмотрев ряд ГЛ. ХГУ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЛПГИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [511 672 еше иначе, воспользовавшись известным разложением арксинуса (2л-1)П хм+' агсвп х = х+ ~ 2лй 2л+1 которое в промежутке [О, Ц сходится равномерно.
Будем югеть ф 1 =-~' л Их ~ х Их (2л — 1)П г хзаг5 ! [(1 хз З [/1 хз =52лП(2лф1)З '[/1хз е Так как 1 2 х'"+з г 2лв Ых —. ~ 5!пз"+зфИТ=- [(1хз (Тлф 1)П 5 Е то получается, что л' 1 1 Š— = 1+Д вЂ” = ~; 8 я=1(2л-1-1)Я л з(2л-1)* откуда уже легко прийти к упомянутой вначале формуле. 5) Показать, что прием Лобачевского, с помощью которого в 14) и 15) и' 497 баши выведены формулы ащ'Х Дх) — — 5(х = ~ДХ) 5(х, хз ~ Т(х) — 5(х= ~ДХ) 4х, применим и в том случае, когда фуикдия у'(х) в промежутке ~0, — 1 интегрируема 21 в несо б с твена о м смысле (при сохранении прочих условий). С помощью этих формул получаются, например, следуняцие иитегральс 5!ПХ Г и (а) [ 1и !5!и х[ ° Нх= ) !и 5!и х Их.= — — !и 2; х 2 !и [соя х[ Г 1п [со5х[ 5!и х (б) 5(х= [ .— - Их= х' 5!пз х х' е с (интегрирование по частям); (то же).
1и [со5 х[ (в) х' е 2 Г1пз со5х ~(х= 1, Ь= -л1п2 5!пе х а 2 !П СО5Х Л 5(Х = —— 5!Пз Х 2 е 673 51!) 1 Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ б) Установить непосредственно, что для интегралов (где у О) 1 1 (а) ~ Ок, (б) [ — е у г(х 2ху' хо о о предельный переход при у-0 ве может быть дровзведеи под знаком интеграла. Удостовериться в нарушении условий теоремы 2, 7) Применить правило Л ей б ниц а к вычислению производной по параметру от интеграла !(а)= [ 1п(аз-з!пзО) ЫО о (а 1).
Легко провервтгч что условия теоремы 3 здесь соблюдены. Имеем 2а г(О л Р(а) = ао-о!поО [г,р о Отсюда, интегрируя ла а, восстанавливаем значение Ла): Г(а) = йз(а+ ! — 1) +С. Для того чтобы определить постоянную С, представим интеграл 1(а) в виде з 1 !(а)=в 1и а+ ~1п [1 — — з!по О) г(О, а' о так что, если использовать и найденное для Ра! выражение, з 1 а+ )газ-1 С = ~ 1и (! — — ыпо О) г(Π— л 1п аз а о Перейцем здесь к пределу прн а-+; так как (!и [ 1 - †, з!пз О) ) м 1п ~1 — †) (, то интеграл стремится к нулю, и находим: С -лЬ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
