Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Из уже знакомой вам оцеики ГСООС ~ — — -«СС~ с+ (!пх! х явствует, что выражение под звяком подстзвовкв стремится к О вместе с х. С другой стороим, ~ — Сс- — — ) ч-~ —;- Сс, ~~ —,Сс(- —, откуда следует, что упомянутое аыражеиие стремится к О и при х--. Доказательство остальных формул проводится авалогичио, со ссылками ва формулы, устаиовлеивые в 23) (б), (в) и (г), (д). 8 5.
Приближенное вычисление несобственных интегралов 498. Ивтегралы с ковечвымв пределщви! вьщелевве осебеввостей. Вьппе, в 322-328, вами изучены были различные приемы для приближеввого вычислепвя определенных витегралов в собствевиом смысле. К иесобствевиым ивтегралам зги приемы и указанные для ивх оцеюи логрешвостей вепосредствевио вепримеввмы. Иногда удается, путем замены перемеииой или ивтегрироваивя по частям, Я! Г, М. Фихг«шил«и. т. Н [499 ГЛ. ХГГЬ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Интеграл от 8(х) берется легко; с другой стороны, (с(х), очевидно„имеет в (а, Ь], включая в точку хе, л непрерывиык производных. 499.
Примеры. 1) Пусп требуется вычислить интеграл г гуе 1 1 1 т х *(! — х) э г)к=2 ~ х '(1 — х) * г)х; е е в последнем интеграле единственной особой точкой является О. 1 Разлагая (1 — х) э по степеням х, остановимся иа члене, содержащем х', и положим 1 3 5 35 8(х) = х в) ! .<- — х-1- — х'+ — хз.~- — х'), 2 8 1б 128 р(х) = х э ~(! — х) а — ! 1+... -Р— х'! ~ = — ха + .. 128 )! 256 Тогда 1 1 1= 3 х э(1-х) э (к=3 8(х)4(хЧ- У(х) Дх 4 Тг Ч- !э. е "Этот прием был предложен Л. В. Канторовичем.
свести несобствевный внтеграл к собственному. Тогда и приближенное вычисление несобственного интеграла приводится к уже знакомой задаче. Во многих случаях приближенное вычисление несобственного интеграла ь у"(х) Их (с конечными пределами) облегчается путем вмдехеиил огобенлогтеп ь.
Последний прием состоит в подыскании функции я(х) простого вида, которая как бы впитывает в себя все особенности функции ) (х), так что разность (с(х) = =Т(х)-8(х) оказывается уже пашенной особенностей, т. е. интегрируемой в собственном смысле, При этом выбором функции у(х) стараются распорядиться так, чтобы интеграл от 8(х) выражался в конечном виде, а фувкция (г(х) имела нужное число производных, чтобы при приближенном вычислении интеграла от нее можно было использовать существующие формулы для погрешности.
Подбор функции у(х) производится различным образом, смотря по случаю. В виде примера мы укажем общее правило построения этой функции для одного часто встречающегося класса шгтегралов. Пусть подинтсгральная функция имеет вид: $(х) (х-х,)-«Ь(х) (амх,мЬ, О кч1), где Ь(х) для а~хжЬ разлагается в степенной рвд Ь(х)- се (-сг(х — хэ)+с (х — хс)э~-...-ьс„(х-хе)"-'; —... Тогда полагаем «(х) = (х — х,)-". (с, + с,(х — хэ)+... +с„(х — хэ)") н 9(х)=(х — хе) — «(с„е,(х — ха)" +'+...)=(х — х,)л+(г ")(с„ч,+...).
499) 643 1 5. пРиБлиженнОе Вычисленин Значение 1, легко вычисляется: 715801 1, = — [(2 = 1,5691 585... 645120 т(то жекасается11, то его найдем по формуле С и м и со и а, деля промежуток 11 О, — ~ на 2л= 10 частей и ведя вычисление на 6 знаков: 21 2у, = 0,000018 4увй = 0 000225 2ув .= 0,000431 4ув( 0,002496 2у, 0,003017 4у, 0,012901 2у, 0,012632 4ув = 0,046350 у, =0,020239 0,098309~ 60 0,0016385 У .=У И=О 1, .-' 1,5691585 1,='.00016385 1 ее 1,5707970 Произведем оценку погрешности (не пользуясь, разумеется, тем, что мы — из других соображений — можем здесь получить точное значение интеграла).
Имеем: 6397531 уш(х) — — — — — ха+ ° .. О, 256 2 2 2 2 1 и 91Ч возрастает вместе с х, так что наибольшего значения д~ктигает при х= —. Отсюда легко получать, что шах(Р1ч(х) = 288. 2 Погрешность формулы Симпсона выражается по известной формуле [327)1 (() Я 10' 180 Таким образом, ~2) 288 5 А О, [К[ 10' 180 105 С другой стороны, погрешность полученного для 1, значения, проистекающая 5,10 — в вз округленвй, абсолютно меньше — 10-'. Такова же абсолютная по- 60 5,2 0,2 грешность значения 1,.
Обпия погрепшссть лежит между — — и —, так что 101 10в 1,5707918 1 1,5707972 или 1,570791 1 1,570798. Истинное же значение 1 равно [как зто вытекает из теории функции вбетав 529 (5а)), — 1,5707963... 2 ГЛ. Х!И. НЕСОБЕТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (499 Окончательно„ 1= 1,57079+о,еюоз . 1 1 2 2) Длв интегРала 1= ~ х ' (1 — х) а г(х обе точки 0 и 1 являются особыми; соо ответственно этому разбиваем его на два: 1 2 1 1= ~ = ~ Е ~ -1,+1,.
Полагаем для вычисления 1, о о 2 3 31 77 1155 Е(х)=х 28! !+ —. Π— х'+ — . 4 — х')~, 4 32 !28 2048 1155 (о(х) = х 2 ~(1 — х) а — ~1+... 4 — х') ~, 2048 так что 1,= ~8(х) бхе ~ (о(х) г(к=унт1м. о а Сразу получаем 57б293 1н = ~(2 =' 1,б581248. 491520 Интеграл1, вычисляем по формуле Симпсона, 2л 10, ва шесть знаково 1мкн0,003813. Отсюда 1,ГБ1,бб1938. Оценивая погрешность, как в только что, найдем: 1, = !,бб! 93+о оопп . Аналогично, 2 1, 1 х) 1 г(х= ~ х 1(1-х) 2 г(х о 1 35 = 1! х а ! 1->- х+...
+ — ха) 1(х+ 2 128 о ог 1 .1- ~ х Т~(1-х) 2 — (14-...)~бх 1 -11 о Найдем, что 1и РЕ 3.580291, 11ЕЕ0002033. 12 =' 3,582324. 499[ 1 5. Нвиелиженное Вычисление Если оценить погрешность, как вьппе, то получим Г, = 3,58232+е еиаез . Таким образом, 1-5,24425;епюеш или Г=5,24426эеиют. 1 г 1пх 3) Пусть предложен и1пеграл Г= ~ 4х; особенность при х=0. 1-х е Для выделения ее прибегнем к приему, сходному с примененным выше.
Положим: 1 1 г хЧпх Г= ~ (1+х+х'+хнах)!пхс[т+~ нух.=Г1+Гн. 1-х е о Легко найти (с помощью интегрврования ло частям): Г,= — 1,46361... Интеграл же Г, вычисляем по формуле Симл со на (2л=-10, на пять знаков); мыполучим1 Ге 10,18135. Таким образом, Гэь — 1,64496. Истинное звачеяие искомого интеграла хн [519, 1) (бЯ есп — — - — 1,644934... 6 При оценке погрешности производная 91У(х) вЫЧИСлястся пО фОрмулЕ Л е й бн и ц а [117[. При этом удобно воспользоваться легко доказываемой формулой: !и !и+1)( = — ГО+1)(с) х-а 1141 (где с лежит между а и х), взяв Г(х) =1п х, а=1.
Грубая оценка дает [рш(х)[ «200, отсюда 1 200 [Я[ и — — ЕЕ0,00011. 10' 180 Общая погрешность Я 0,0001 3. Окончательно, [Г[ = 1,645яе,аюз. 4) Рассмотрим, наконец, пример другого типа Г= ~ 1ойзшх 1[к, е с особой точкой О. Естественно сопоставить подинтеграпьную функцию с функцией 8(х) !ойх, для которой ивтеграл вычисляется легко '. 2 2 ! х / л Г = ~!ой хг[х=М. ~!пх1[х= Мх (1и х — 1) ~2 = — ~!ой — — М)=' — 0374123. г~ г е е ' Буквой М няне обозначен модуль переходя от ватуральнык логарифмов к десятичным. ГЛ. ХПЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ яш х Интеграл же 1е от функции р(х)=1ой —. вычисляем по формуле С им п с о на, х при 2л= 18, па шесть знаков. Имеем: з 1 = — ~ [1ой х — !ок зш х[ 4х Гь — 0,098733. о Позтому 1= 1, + 1, ='.
— 0,472856. На деле интеграл 1 лишь множителем М отличается от известного уже нам [4Р2, 1') интеграла: л !п зш х г(х — — 1и 2 2 с н, следовательно, 1= -- 1ой 2= — 0,47285б8... 2 мы видим, что в полученном выше значении все шесть знаков верны. Не зная истинвого значения, мы вынуждены были бы пользоваться оценкой погрешности формулы С и м п с о н а. Здесь б(х'-ып" х) -4х'з!пз х е(х) М(1п х-[вял х), рю(х) = М х'зш' х лг Можно показать, что 0 дю(х) — М 3,6, откуда Я«О и [Я[ 0000002. Учвты- 12 вая и погрешность от округлений, мы могли бы лишь установить, что [1[="0,47285ч-сосот. 500.
Замечание по поводу приближенного вычяслеюю собственных аитегралов. Метод выделения особенностей может оказаться полезным и при вычислении с о б с т в е н н ы х юпегралов, если подинтегральная функция, даже будучи непрерывной, не имеет нужного числа непрерывньж производных (что затрудняет оценку погрешности). Поясним это на примере. Рассмотрим интеграл 1 ~ !п х 1п (1+х) Ых. с Легко вюгеть, что при х-0 подинтегральная фующия стремится к О. так что зту функцию можно считать непрерывной во всем промежутке интегрирования.
Но ухе первая производная подвнтегральной функции обращается при х= 0 в бесконечность. Воспользовавшись разложением логарифма, представим нашу фуншале в виде суммы двух функцвй хз хз к<1 у(х)=1п х ~х- — + — — — ) 2 3 4 хз хз хг) р(х) = [л х. ~1п (! + х) — (х — — + — — — ~ ~ ° 2 3 4 50Ц 1 5.
пРиБлиженнОе Вычисление Интеграл от первой функции берется легко: его значеыие есть -О,а)528... Интеграл же от второй фуякции (имеющей уже четыре непрерывных производыых() вычислим по формуле Симпсона, 2л=10, на пять знаков. Мы получим — 0,00348, так что общий результат будет — 0,20876. Так как ~у'ч(х)) 36, то ф! 0,00002. Окончательно, Щ = 020876те ипсз = 0 2087 оо сап. (На деле же в полученном приближенном значении все знаки будут верны, так как истинное зыаченне 1 будет — 0,2087618...) Любопытно отметить, что если формулу Симпсон а (при том же 2и= 10 и по-прежнему вычисляя на пять знаков) применить к ыодвнтегральной функции без предварительного выделеевя особенности, то получим 7 е — 0,2080, т. е. всего три верных знака.
Таким образом, если не прибегнуть к еыделегшю особенности, то ми не только иснынюем эатрудгюние о оленке носреюности, ью можем столкнуться и с (дактическим понижением точности реэультагна) 501. Приблшкевыое вычислсиве несобственных внтегра лов с бесконечным пределом. Редко удается вычислять интеграл ~)(х)с)х, на освове его определения, как а предела собственного интеграла ( 7'(х) дх, приближенно полагая (при достаточно а А большом А) ~ =-'. ~, причем последний интеграл вычисляется уже изученными о а приемами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
