Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 103
Текст из файла (страница 103)
г А» )2(х) [ л х-хл „, ) д х-х» — л С другой стороны, 1 1 хгад — ел (х-ад)'ч-Рл (х — ~л)'Р()л Ах ~1 з . х — Ю) И вЂ” = » - 1и [(х — ад)з -;- Я л' агс(н — ~ х хл [2 " л ~Ул , („„,.+,„. Ь+ел ~ =-1и,+1)агс(я — +агс1я (д» «)л -рвл ~ рл в 1 * В главе л»111 12741 мы имели подобное же разложение, но там мы старались избежать мнимости и, в случае мнимых корней, рассматривали дроби, знаменателлми которых служили степени квадратного трехчнена уже с вешественными козффнпнептами. Здесь же мы мнимые корни трактуем так же, как там вешественные. При )л + - первое слагаемое в последнем выражении стремится к О, а второе к +п1 нли -и( в зависимости от того, будет ли р»~О или Рл О.
4961 625 З 4. ОСОБЫЕ ПЕИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Таким образом, приходим к результату: Р(х) — — Их=я( ~хА„, Д(х) Их = 2л( ~(4) Ах. Р(х) (б) Что касается вычисления коэффициентов А„, то мы ограничимся указанием, относящимся к случаю простого корня х„, для которого Д(х„)=0, но Д'(х„)~0; ему отвечает в разложении (5) один только член —. Если обе части равенства (5) умножить на х — х„, А4 Х вЂ” Хх ' то оно представится в виде Р(х) — =А,+(х-х„) й(х), Х- Х4 где Я(х) означает группу членов, остающихся конечными при приблюкении х к х,.
Переходя к пределу при х х„, получим Р(х4) А = —. а'(х4) ' (7) Обратимся теперь к примерам применения формул (б) и (7). 1) На первом месте рассмотрим интеграл Ах, где т и л — натуральные числа, причем л4 и. Все условия для применения установленной формулы здесь соблюдены. 40 Г. М. Фнхтевгохьи, т. и где при А стоит знак плюс, если соответствующее р„О, и знак минус в противном случае.
Эту формулу можно несколько видоизменить на основании следующих соображений. Умиожим обе части тождества (5) на х. При х - левая часть будет стремиться к О, так как степень х Р(х) все же ниже степени Д(х). В правой части в пределе уничтожатся все члены с нелинейными знаменателями, так что и предел суммы остальных членов также О. Отсюда ~ А„=О, так что ~(+)А„= -~( )А„, если знаком (4-) и ( — ) обозначить суммы тех А„, которые отвечают рх 0 и )14 О. Теперь полученную формулу можно написать в виде 1496 ГЛ. ХН1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Корнями знаменателя являются числа (22+1)л .. (2ЯЧ-1)л Х,-СОЗ +)ЫП 2л 2л (2=0, 1,2, ..., и-1; п, ...,2л — 1), но лишь первые и из них имеют положительные мнимые части.
Очевидно, хг — — х~ы+1, где Х =СО — +)Б(П вЂ”,. По формуле (7), при 2=0, 1, ..., п-1, А = 1 = — — Хг +'= — — Х(гт+1)('"+') 1 2л.хго — о 2л 1 = 2л а 1 (с учетом того, что х~= — 1). Суммируя прогрессию, получаем: о — 1 1 хат+о х(лл+г) (го+ г) ч'(а)А 1 ч' х штец(ггей . о о 1 2лхо О 2л 1- о +) г=а о или, так как ха = — 1, хат+~ 1 у( а)А о л 1-хо('т+') л хотог — х-Нт"') ' о о о Подставляя Х ( +')=СО — Ы З)П вЂ” — Л, 1 2те1 .. 2ол+1 2зо Ъ~ окончательно представим нужную нам сумму в виде 1 1 2л( 2т+ 1 аш — л 2л Отсюда же, по формуле (б), хгт л — Их=- (и) -и).
1-)хт л 2 +1 ял л 2л 2) Несколько более общий пример; хил — хвл' о(х, 1-хт где т, т' л — натуральные числа и т, т' л. Условия выполнены, за исключением того, что знаменатель имеет вещественные корин З 1. Зто обстоятельство здесь не существенно, ибо зти корни име~т и числитель, так что дробь могла бы быть сокращена на х' — 1. Впредь эти корни не будем принимать во внимание. 627 5 4. ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Остальные корни знаменателя суть Лх Лл Х1= СОЗ вЂ” +гт Ыл — = Х" л л (Л = 1, 2, ° , л — 1; л + 1, ..., 2л — 1) Из ник положительные мнимые части имеют первые л — 1.
По формуле 17) х'т' — х™ Аа = ' = — (хят'+ 1- хе т л 1) 1 1 — 2л хлл 2л ' 1 так что л — 1 1 л-1 2 1+)Ал= —,~ (хлт'+1-хгятлг)- — ~ (х1<лт'+г)-хг<гт+1)) 2л 1 1 Полученное выражение последовательно преобразуется так *. Гхл (лт'+0-хлт'+1 хл (лт+1)-хлтлгт, г1-~-хлт'+1 1тхлтлг 2л х'т'+' — 1 хлт+1 — 1 ~ 2л [1 — хлт'+1 1 — хгт+1 1 1 1 1 теь1 И+1 я а х, — х, х, х, Окончательно, 1 =[ х""- ' лг 2 +1 2 'ЬГ ах = — [сгй — л — сГŠ— ' л~ 1 — х'л л Г 2л 2л Гт, т' л). Заметим, что из этой формулы легко можно было бы получить и предыдущий результат, если заменить л на 2л и положитыл' = т+ л (при т л). 3) Накопал, рассмотрим интеграл Хгт гух хгл+2хлл соя В+1 где ттл и -л Е«л. " Учитывая, что х = — 1. 4е + 1 х, 4-хг с 2л 1 Г 2т+1 2т'+1 =- — [сгб л-сГЯ л~. 2лГ 1 2л 2л 1496 б28 ГЛ.
ХН1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Вводя угол В' л - 6, 0 6' 2л, перепишем интеграл так: хь'" ЕЕХ. х'"-2х"'-сов В'+1 Для вычисления корней знаменателя положим хьл —" е, тогда е определится из уравне- ний еь-25 соз В +! =О, именно, 5=сов В к ! ь!и В'. для х получаются две серии значений Прн этом положительную мнимую часть будут иметь первые л из первой серии и последние л ю второй. Соответствующие корням х„(» = О, 1„..., л — 1) коэффициенты А„вычисляются по формуле (7)! хьа.ы хьм+ ' 5(ем+ ')" Е ХЕЕ! А» —— 4л(хье ! — х!» ! Еоь ВН 4л хье!хю — соь 6) 4л (соь Вг~вььт В).!зт В' ) Суммируя эти коэффициенты н умножая на 2»и', получим* 1 ЕБЕЕ+! з!и В ли В Для второй группы корней х„(»=л, ль!, ..., 2л — 1) аналогично получится выражение, сопрюкенное с этим; их сумма даст удвоенную вещественную часть.
После элементарных преобразований эта сумма сведется к ам~~1 — — ) В'+ — л) Е еч В' В х„=хе е", где х,=соз — +! з!и— 2л 2л л л Е = СОЗ вЂ” !.! Б!П— л л 6' 6' Н Х =ХЕ'Е, ГДЕ ХЕ =СОБ — — ! 5!П— 2л 2л л л Е = СОБ — — ! 5!П— л л соз ~ — 1) В'+! з!п ~ — — 1) В' 2т41), 1 2т+1) соз 1 — — )  — ! ° 5!и ~! — — ) В' л ! 2л ) ~ 2л х я 2»л+ 1 ь!л 6' ь!и — л 2л (»=О, 1, ..., л-1; л, ..., 25-1) 2т+1 ), 2т+1 ! — сОБ — л) — !. 5!и — л л ) л Е29 4971 1 3.
ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Возвращаясь к углу О л — О', окончательно получим 2т"; И + $]п 1 — — )О ХЗМ 2. ) 6(х = х'"+2х'" соа О+1 л 2ЛЗЬ1 $]п О.нп — л 2л (1л л, — л О л). 497. Смешанные примеры в упражнении. 1) Доказать существование интеграла 3(х 1= ХТ ($1ПХ) !3 Особых точек бесконечное множество: х= ля (л-1, 2, ...).
В любом конечном промежутке их конечное число, и интеграл сходится Вопрос лишь о сходимости интеграла в бесконечном промежутке. Имеем: (3.1-11 л Фх 3(х 1 1Ъ ] =Ъ] х' — + 3 1 1 1 1 (Х+ЛЛ) (51П Х)~/3 2 (51ПХ) 13 ~1ЛЗЛ3 о 2) Если в сходящемся (478, 5) (в)] интеграле $]пг !1ОВС11 ау (2.О) о сделать подстановку Г= е", х=)п 1, придем к интегралу (х)1 иле" 4Х; последний, таким образом, сходится, несмотря на то, что подинтегральная функция при безграничном возрастании (х) колеблется между — н +-. 3) Мы В1щели тОлькО что, что для схОдвмости интеграла ~7'(х) Ох вовсе не необходимо даже, чтобы было (9) 1'(х) = о(1) (при х ). Доказать, что, однако, (а) если существует предел 1лп у'(х), то — в случае сходимасти интеграла (О) — этот предел необходимо равен 0; больше того, (б) если существует предел 11щх у(х), $497 630 ГЛ.
ХП!. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ то и этот предел необходимо равен О, т. е. )"(х)ос ~ — ), (10) (в) если интегрируемая в промежутке [а, ) функция монотонно убывает, то это условие (10) необходимо выполняется. Доказательство [дпя (б) и (в)) сходно с доказательством аналоггегвых предложений для положительных рядов [375, 3)). Отметим еще (тоже по аналогии с рядами), что даже для монотонно убывающей функции г(х) выполнение условия (10) не гарантирует скоднмости интеграла (8): примером может служить расходяпнгйся лнгеграл 4« — (о 1). х 1пх а 1и [2!п «[ я(х) «(х е сходится илн расходится одновременно с интегралом ~ Е(х) аК«, е в то время как интеграл 1и 2[2)п х[.4(х) 4« е сходится во всяком случае.
5) Вычислить интегралы (а) [ х.)пэ)лха(«, (б) ~ 4«, (в) ~ )г1 — 2 '1'ее« вЂ” 1 е е У к а з а н и е. а) Подстановкой х=л-г убеждаемся, что интеграл приводится а а/2 к [ 1п 2[п х 4« = 2 ~; :1п 2(л С 41. агз 1 (б), (в) Интегралы приводятся к ~ йгэ(п г г[г подстановками х=эщ г, 1в— ипг е 4) Распространить утверждение, доказанное в 6), 478, на случай, когда функция г" (х) в промежутке [л, а+ в) внтегрируема в н е с о б с т в е н н о м смысле (при сохранении прочих условий). С помощью этого установить, что — в предположении, что е(х) монотонно стремится к 0 при х, — интеграл б3! Ь 4. ОсОБые пгиемы Вычисления б) Вычисллть интеграл 1 У= ~ ~Г1 — х' 1п 1 — — ~ ййх. хй Имеем (полагая х=вш В) У = 2 ~ сове 0 1п сйй В йГВ- ~ сов 20.
1п с!й 0 ВВ. а 2 1 1 г 1 у — з!п20 1п с!80 9 — ~ 21п2В— 2 о 2 сгй о 7) Найти интеграл К= ~1п!зшйВ-ай!еВ о ГеймЦ. Положив а=яп аа и использовав тождество вшй В-япй та=в!п (В-оз)яп(бои), получим, что 2 и К= ~ 1п~зшВ(470=~1пвшрйуб--л1п2. а о 8) Вычислить интеграл Ь -ай'— й* Е ~е йух (о, Ь»В). о Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой 1491, 13)), имеем — вуаь Г 1 )Гл — 21аб е а! е УйВУ- — 1! — е 2 л о 3 соз — 9 2 г 2 У 2(сов 9 — сов О) о Интегрируя по частям, затем получим: 2)Га8 Г -1)ах- — ( Е=-е ~ е * йух=— !См.
492, 2'). 9) Вычислить интегралы 1 о сов — 9 г г ай= 09, л а ~Г2(совр — сов В) 2 ВВ= ~" ГВ= —. 1 г л В яп'В 2 о [497 б32 ГЛ. ХНЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Решение. Обозначим сооб через х и сделаем подстановву к=сокр; тогда 1(1+к 3 )(1+ сов — р ~1 соо — р = ) †. (2к — 1) 2 " 2 2 " 2 и 1 1 1 1 г(г 1 (2к-1)Ж " К~:)(1:) 3 У(*- Н1- ) к х Вводя еше раз новую переменную г по формуле 1(к-х)(1 — к)=г(1 — к), получим: 2 г Й Уа-- )" — -1, '.1 +1 а 2 Н+ 2х — 1 2 111 г(г о Итак, Ха= 1 и аг = соя Ь. Нюке (511, 3)) мы установим более общий результат. 10) Интегрированием по частям установить следующие результаты: совах-сообх л (а) а(х = — (Ь вЂ” л), ха 2 о а Е-аи'-Π— а'Н (б) ~ Нх= 11л(Ь-л), х' о (в) 1л (1+лоха)-1п(19Ьаха) — г(х = л(а — Ь).
ха о 11) Легко видеть, что (492, 3', 494, 5)) — при гг О, 2 о1л ях — г(х= 0 при и=О, х а л — при л О, 2 Отсюда, так как кш кх ! г го(п(лазу)х го1л(в-Ях — сов 1)х а(т = — Ц ~Хх+ ~ а(х~, х 2 х х а о а то, очевидно (если считать для простоты и н г)» 0), — прн р«и, 2 — 1)х ( = х — прн 5=я, о 14 1 0 при () я. 497! 633 1 в. ОсОБые пРиемы нычисления Этот интеграл многократно применялся Д ирихл е и известен под назвавием разрывного множителя Д и р и х л е. К нему приводятся многие другие интегралы. Например (если а, ф, у 0 и и— наибольшее нз нвх): л — при а 6+у, 4 51п ах зш фх 51п ух г(х = Х вЂ” при а =!3+у, а 8 0 при и «13+у (замена произведения двух синусов разностью косинусов) нли (снова считая а, ()-о): — Д при фти, 2 з!пах з!и!3х — — г(х = х х е л — а при !3г«и 2 (иятегрнрование по частям).
Последний результат может быть обобщен следующим образом. Волна, а„и„..., ин 0 и а ~аг, то 1 Гз!Пах 5!Пагх тйпанх л х х х 2 е Доказательспю проводится по методу математической инлукпии (интегрирование по частям!). 12) Вычислить интеграл агх (5!и ах — 51п Ьх) хз о У к а з а н и е. Прошпегрировать по частям; использовать разрывной множитель Дирихле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
