Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 99
Текст из файла (страница 99)
ХГ11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ННТЕГ'РАЛЫ Особымн здесь будут точка х-1 и (если а 1) конец промежутка х О. Легко показать, что в этом случае г-ч з Ч.р. ~ — Ах йп~ ~+ е э+ч прююдитсл просто к ввтегралу 1 (1 — г)а-г-(1+ г)а-1 Аг г е (при а 1 — несобственному). В заключение рассмотрюг еще одну разновидность чглавного значенняв, которою нередко приходится пользоваться. Именно, остановимся на интеграле, распространенном на бесконечный в о б е с т о р о н ы промежуток (-, +-), причем внутри промежутка мы не предполагаем наличия особых точек. Как езвестно, такой интеграл может быть определен предельным равенством Р(х)Ах- 1пл ~~(х)Ах, А Е А' — А где предельный переход по А и по А' предполагается независимымм один от другого. Может оказаться, однако, что в этом смысле предела нет, во еугцсствует предел, отвечающей частному предположению + А'= -А. Его также называют главным значением интеграла ~ Г(х) Ах л обоэна- чают символом Ч,р.
~ ~(х)Ах 1пп ~ Дх)Ах. Я + Например, если фуакцвя у(х) нечетная, то ее интеграл асимметричном относительно О промежутке (-А, А) будет равен О, так что л Ч.р. ~ г(х)Ах О, котя несобственного иатеграла ~ у(х) Ат может и вовса не существовать (как, скажем, дяя фунющн элъ х).
Всли функцняДх) четная, то А А ~ у(х) ах= 2 ~ Дх) лх, 595 1 х интеГРАлы От неОГРаннченнь|х Функций предел для этого интеграла существует в том и только в том случае, когда сущся ствует предел для интеграла [ г"(х) ых, т. е. существует несобственньш интеграл е + у(х) ~(х, а с ним и интеграл ~ г'(х) Их. Таким образом, для четной функции о главное значение интеграла существует лишь одновременно с несобственным интегралом (н, естественно, равно ему). Любую функцщо у'(х) (интегрируемую в каждом конечном промежутке) можно представить в виде суммы двух функций, четной и нечетной у'(х) +г"( — х) Г(х) -Т"(- х) р(х) =- 2 л р(х) =— 2 (сохраняющих то же свойство интегрируемости).
Из сказанного выше теперь ясно, что Ч. р. ~ г"(х) гул= ~ учх) йх, если последний несобственный интеграл существует. Напрвмер, замечая, что 1ьх 1 х функция — — состоит из четной части и нечетной части — —, сразу 1+ х' 1-~-х' 1ьх" можно написать 1+х Их 485. Замечание об обобщениях значениях расходвшвхса ивтегрвлов. В 4 9 главы Х1 мы занимались суммированием р а с х о д я щ и х с я р я д о в, првписывая такому ряду — по тому или иному правилу — избобщенную сумму». Подобно этому, существуют методы, позволяющие в иных случаях и р а с х о д я щ и м с я и н т е г р а л а м приписывать гобобщенные значенняз.
Собственно говора, мы делали зто и в предыдущем и именно тем, что вносили некоторые упрощающие частные ограничения в предельные процессы, которые приводят к обычным несобственным интегралам. Здесь же мы имеем в виду уже существенно иные процессы, сходные с теми, какими мы пользовались по отношению к расходящимся рядам. Мы ограничимся двумя примерами таких процессов, которые служат аналогами метода Чезаро и метода Пуассона — Абеля для рядов.
1. Пусть функция г"(х) определена для хв О и интегрируема в собственном смысле в каждом конечном промежутке [О, х), но не интегрируема в щюмежутке [О, [, Определим функцию исоставим среднее ее значение х 1 — ~ г(и) йи. х с 1485 ГЛ. ХНГ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 г 1(ю — ~ г(и) г(ц=), к х о то это число н рассматривают как гобобщенное значеннеэ интеграла. Применим этот процесс, для примера, к изнестному иам расходящемуся интегралу з!и х Ых с 1 х — зю х 1й» вЂ” ~ г(ц)Ыц=1цп = 1. к-- х к х с В качестве кобобщенного значенияэ расходящегося интеграла (6) получилось, таким образом, число 1. Естественно, и здесь возникает вопрос о регулярности изложенного метода: приписьгеает ли этот метод ох о дя щем ус я интегралу ~)'(х) Ых, с имеющему по определению и' 470 конечное значение У, и в качестве вобобщеиного значеннкэ — то же число Е Покажем, что это именно так.
По произвольному числу г» О, ввиду сходимости интеграла (7), найдется такое хк О, что для х~хе будет Предполагая х хм имеем к к, к 1 1 г 1 г р(ц),(ц 1 ~ (р(ц) .«г(ц. ( (р(ц) «4цЧ. 1 ' „~()гг у),й, х х х х) х-хе э о о е к так что к к к 1 г 1 1!г ! 1 — ~ г(ц)а — 1 — ~ ~ (г(ц) — Цг(я~ 4 — ' (ц) — «(ц. х х~ х-хц о о Если для него существует конечный предел (472, 4)).
Здесь |(х)=-ил х, г(х)=1 — сох х, и г ) г(х) - « —, где 2 к г(х) = ~)(г) г(г. о 486) 1 3. ПРеОБРАЗОВАнив несОБстленных иь!Тегвялои 597 е Второе слагаемое оправа — (по самому выбору числа х,); первое же тохсе станет 2 е —, при достаточно большом х, и одновременно: 2 х Н 1 г — ~ Е(и) с(и-1! е. х е Таким образом, дейетшпельно х 1 г 1пп — ) г(и) с(и=6 о ч. и тр.
д. 11. На этот раз по зацанпой функции г(х), для которой интеграл (7) не существует„введем в рассмотрение другой интеграл е-сх/'(.т) Нх. о Если последний интеграл при /с О сходится и еущеетвуег конечный предел 1!гп ~е-сх)(х) с(х=1 е-е и е то этот предел и принимается за еобобщенное значениее расходящегося интеграла (7). Чтобы дать пример, рассмотрим вновь интеграл (6). Так как 1 е — ее за х с(х = /се -~- 1 е (472, 1)) стремится к 1 при /с- -(-О, то и здесь в качестве «обобщенного значению интеграла (6) получается 1, К вопросу о регулярности второго метода мы вернемся ниже (520). 5 3.
Свойства и преобразование несобственных ннтегралов 486. Простейшие свойства. Мы будем рассматривать функции, интегрируемые (в собственном или несобственном смысле) в конечном или бесконечном промежутке (а, Ь), Таким образом, а и Ь могут означать не только конечные числа, но также и х . Простейшие свойства несобственных интегралов, которые мы лишь перечислим, вполне аналогичны свойствам собственных интегралов 1302-306~ и получаются из них единообразным приемом.
Так как несобственные интегралы суть предельг собственных, то обычно достаточно написать для этих последних равенство или неравенство, выражающее требуемое свойство, и перейти к пределам, (вйб 598 гл. хгп. несовстиенные интеГРАлы Здесь, прежде всего, также можно ввести понятие о б и н т е г р а ле по ориентированному промежутку и установить: 1 . Если Дх) интегрируема в промежутке (Ь, а], то она интегрируема в промежутке (а, Ь], причем ь а ~ Лх) асх = — ] Лх) сбс. а ь (Можно принять это просто за определение интеграла ь для случая, когда а Ь]. а Далее: 2'. Пусть Ях) интегрируема в наибольшем* из промежутков (а, Ь], (а, с] и (с, Ь].
Тогда она интегрируема в двух других, и имеет месгпо равенство с ь ~Дх) 4х = ~у'(х) сгх+ ] Лх) йс. 3'. Если Дх) интегрируема в (а„Ь] и с=сонат то и с у(х) также ишпегрируема, и ь ь ] с.Ях)ссх = с ] у(х) сгх. а а 4'. Пусть функции у(х) и я(х) — обе интегрируемы в промежутке (а, Ь]; тогда шопегрируема и функция Лх) ~8(х), и Ь Ь ь ~ (Ях) х я(х)] 4х = ~/'(х) Их+ ] е(х) Йс, При доказательствеаа этого (и следующего) свойства следует иметь в виду замечание и' 479. Пусть, скажем, Ь будет единственной особой точкой для той или другой нз функций у'(х), е(х). Тогда, написав равенство ~ (У'(х) ~фх)] акса ~Дх) асхш ~ я(х) асх (а х, Ь), а Точнее: в том из промежутков, хоторый содержит в себе оба других.
аа По отношению к шпегрвлам с бесконечным пределом свойства 3' н 4' уже упоминаиись в и' 473 и даже использовались в последующих п', Здесь они приводвтск в более обшей формулировке. 4661 Ь 3. ПРБОБРАЗОБАНИБ НБСОБСПЗБННЬГХ ННТБГРАЛОБ 599 можно из него получить предшествуюшую формулу, переходя к пределам при хь Ь, как в том случае, когда все интегралы от а до Ь несобственные, так и в том, когда один из ник собственный.
5'. Если для двух интегрируемых в (а, Ь] функций Лх) и я(х) выполняется неравенство 1(х)~й(х), то при а -Ъ ь ь ~ Дх) Ых~ ~ к(х) Ых. б. Если функция Дх) в промежутке (а, Ь] абсолютно иньпегрируема, то (при а Ь) ь ь )] Дх) Ых ~ ~ ~ 11 (х) ! Бсх. а 7". Если функция ь"(х) интегрируема в [а, Ь], то пыль любом х из эпюго промежутка суьцествует интеграл х Ф(х) = ~Л1) й а и представляет собой непрерывную функцию от х. Пусть а- х мЬ; докажем, например, непрерывность функции Ф(х) пРи х =х, слева.
ВзЯв с междУ а и хь так, чтобы в пРомежУтке 1с, хь] не было особых точек, исключая разве лишь х„имеем для с .хатха х с х ]3(1) а1 = ]У(1) Й1 + ] Я1) а1 а а с (2) и достаточно установить, что 11ш ]Д1) 41= ]Д1) 41. х х,-е с с 11ш Ф(х)=Ф(+-)=~Я1)й. х-+ а А это равенство имеет место (см. замечание Б' 479] как в случае, когда интеграл справа — собственный, так и в случае, когда он несобственный. Если х,=Ь=+-, то непрерывносп функции Ф(х) при хсс+ понимается в том смысле, что Гл. хп1. ИББОБсп$Бнные интБГРАлы 8'. При тех же предположениях, если в точке х=х функция Дх) непрерывна, су1цествует производная для функции Ф(х) [см. (1)] в этой точке, и Ф'(хе) =Лхе) Для доказательства используется разложение (2), с ссь1лкой на аналогичное свойство собственного интеграла. Легко перефразировать свойства 7' и 8' для случая, когда переменным является нижний предел интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
