Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 96
Текст из файла (страница 96)
2 л+1 Итак, интеграл снова расходится. (в) Пус1ь а !5 !. Представим У в виде суммы «1+2„где 2 л(х Ул У л1 ..--..". о 42 «'1= У л~ о ~ 1-Е(ли+2)" 5!пР2 о так что члены последнего ряда оказываются ббльшвми соотаетствуюших членов расходящегося р1ша 1 2.
интеГРАлы от неоз РАниченных Функций 577 Затем, для О«х — и лм-1, 2 --1 где с = 2чР /2 !В !пз-Ря) В!лкав (лл) ~ — 2~ =и'саха, откуда 1 !' Гй где со = — ~— с3 !+го о ая г Лх 1 ! Лг со 1-Р1ллех)«ашк я 3 1-Рв свае 3 1+Ге о Таким образом, л "1 Узки — Фс' ~ — --. 2 о 1 й 2. Несобственные интегралы от неограниченных фувкпвй 419.
Определение интегралов от неогравичеввьгх функнвй. Рассмотрим теперь функцию у(х), заданную в конечном промежутке [а, Ь), но неограниченную в этом промежутке. Предположим более определенно, что в любом промежутке [а, Ь -2)1 (О 2)«.Ь -а) функция ограничена и интегрируема, но оказывается неограниченной в каждом промежутке [Ь-т), Ь] слева от точки Ь. Точка Ь носит в этом случае название особой точки. о-ч Предел интеграла )у(х)ах при т) О (конечный или бесконечнгяй) о называется (несобственным) интегралом функции !'(х) от а до Ь и обозначается как обычно: ~ у'(х) ах = 1пп ) у"(х) ах. а ч о о Зт Г. М.
Фохтеитолоя, т. П Авалогвчно и уз, так что интеграл сходится. (г) К случаю «»р 1 приводится и облюй случай, когда одновременно «1 и «!5. Действительно, в этом случае легко найти такое б'а:Р, чтобы было «)5' » 1. Так как при уменыпении !5 сходимость лишь усиливается, то и в упомянутом общем случае налицо сходим ость. Резюмируя все исследование, видим, что интеграл у сходится при одновременном выполнении условвй «1 и «мб и расходится во всех прочих случаях. Монне сказать и короче: если «шах (1, !5), интеграл сходится, а при «тшах 0 р) — расходится.
[479 57В ГЛ. ХП1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) с х одится, а функцию у(х) называют интегрируемой в промежутке [а, Ь). Если же предел (1) бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят„что он расходится. 1 П р и м е р. 1) Функция — ограничена н интегрируема в любом промежутке )с1 — ха [О, 1-о[ (О и 1), и 1 — ч с ссх, 1 о =агсип х =агсош (1-г)). )г1 — х' Н точке х=1 функция обращается в бесконечность. Напомним, что под этим 1 раэуиеется лишь то, что при х-1 функция — стремится к бесконечности.
[(1- хх' Очевидно, в любом промежутке (1-ч, 1) функция неограиичена, т. е. точка х= 1 является особой. На практике обыкновенно приходится иметь дело именно с такого рода особыми точками. так как вычисленный интеграл при с) 0 стремится к пределу агсо!и 1= —, 2 то существует несобственный интеграл Лх г л — =11 )([-ха ч-о а 2 о о Р'(х) агх= 1пп ~ Дх) а(х. „-о а а+ ч' (2) В общем случае, в промежутке (а, Ь) может быть конечное число ОСОбЫХ ТОЧЕК СО,С1, ...,С„, „Сас, ВбЛИЗИ КОТОРЫХ ФУНКЦИЯ ЯХ) неограничена, между тем как в каждой части этого промежутка, не содержащей особых точек, функция ограничена и интегрируема.
Пусть (для простоты письма) таких точек три, причем две из них совпадают с концами а, Ь промежутка, а третья, с, лежит между ними. Тогда определение интеграла от а до Ь дается равенством с-;с О-Ч )Дх)Ых= [ип( [ + а а+а с+„ Пусть теперь функция Дх) ограничена и интегрируема в любом промежутке [а+о[',Ь) (О о)'~Ь вЂ” а), но оказывается неограниченной в каждом промежутке (а, а+ о)') справа от точки а (о с о б а я точка). Тогда (несобственный) интеграл функции Дх) от а до Ь олределлетсл равенством 479] Ь 2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕО1"РАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 579 Взяв в н у т р и каждого из промежутков [а, с), [с, Ь) соответственно по точке сс, е, будем иметь с- „ е ь-ч, ае 1, аось а сс- Ь с-~-с е Легко видеть, что существование предела (3) равносильно существованию порознь пределов для всех четырех этих интегралов, так что определение (3) можно заменить таким: ь с с ь Р(х) с]х= )л(х) с]х+ )Лх) ссхч- [л"(х) сгх-е ) 1'(х) сгх, в предположении, что все несобственные интегралы справа существуют а.
Это определение не зависит от выбора точек аг и е. По отношению к несобственным интегралам (2) и (3) сохраняется та же терминология, что и выше. Примеры. о г ссх г) ~", б ,] [ — хс' о о ссх, г ссх л — =1пп 21 — = 1!п» [-агсзга (-1+с')]- —; ]»1-хс с'"о ]»1-хе,'-о 2 -1 -1оч г Их Э) ~, две особые точки — 1 и 1, )»1 — хс -1 1 О сгх л л .ь~= — + — -. 2 2 о 4) Исследуем, при каких значениях показателя Л»О схолв»СЯ нсеабственяый интеграл с[х (х-а)» а (Ь а). (4) При ЛР1 интеграл ь с[х 1 — = — [(а-а)1»-с)1 В (х-а)" 1- Л * За исключением случая, когда два из зтнх интегралов равны бесконечности разных знаков. 580 [479 ГЛ.
ХН1. НЕСОБСТЕЕННЫБ ИНТЕГРАЛЫ 1 при о-0 имеет пределом - вли конечное число — (Ь-а)'-" в зависимости 1 — Л от того, будет ли Л 1 или Л 1. Нели Л = 1, то Ах — =1п(Ь-а)-1пе (при») О). х — а а.1. 1 1 Итак, интеграл (4) при Л 1 сходится и имеет значение (Ь-а)' ", а при 1 — Л Л~1 расходится [ср. 470, 2)).
6) Аналогичный результат может быть установлен относительно интеграла (Ь~а, Л О), (Ь вЂ” х)» О который несущественно разнится от предыдущего. Замечание. Полезно заметить следующее: если функция [(х) в промежутке [а, Ь] интегрируема в собственном смысле (так что ь интеграл ] Л(х)»[х уже определен), то предельное равенство (1) [(2) или (3)] для нее все же имеет место.
Оно непосредственно вытекает из непрерывности интеграла по переменному верхнему (нижнему) пределу [305, 1[']. Таким образом, для несобственного интеграла мы приняли за определение то равенство, которое для собственного выполняется само собою. Наконец, рассмотрим функцию Ях), заданную в бесконечном промежутке, например в [а, +-), и имеющую в ием конечное число особых точек*, вблизи которых она перестает быть ограниченной. Предположим, что в каждом конечном промежутке [а, А] интеграл Ях)»хх существует, как собственный или как несобственный, соа гласно данному выше определению.
Тогда, переходя еще раз к пределу при А -, можно равенством (1) [470] определить несобственный интеграл в промежутке [а, »- ]. В случае бесконечного промежутка точка х играет ту же роль, что и особые точки, требуя подобно им дополнительного предельного перехода. На этом основании и точку ~ - также называют о с об о й, независимо от того, будет ли функция у'(х) при безграничном возрастании х оставаться ограниченной или нет. ' Особых точек может быть и бесконечное множество, лишь бы в каждом конечном промежутке [а, А[(А а) их было лишь конечное чясло(которое может расти до бесконечности вместе с А). й З.
ИИГЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУИКЦ««Й 581 480, Замечание относительно особых точек. Рассмотрим фушщию Т(х), определенную в конечном промежутке [а, Ь], и предположим, что она в этом промехсутке в собственном смысле не интегрируема. Тогда в нромежу»нне [а, Ц необходимо найдется такая точка с, в и а ж д о й окрестности которой «булкино оказывается не интегрируемой (в собственном смысле). Действительно, если бы подобных точек не было вовсе, то каждую точку х промежутка [а, Ь) можно было бы окружить такой окрестностью о, чтобы в ее пределах функпия была интегрируема. Применив к системе ~ [о), покрывающей промежуток [а, Ц, лемму Бередя [88], легко в таком случае разложить промежуток [а, Ц на конечное число частей, в которых порознь фушщик ннтегрируема.
Но отсюда вытекала бы се интегрируемость во всем промежутке [а, Ь], вопреки предположению. Упомянутую точку с и естественно назвать о с о б о й: в ией ках бы ктулшется» свойство функции не быть интегрируемой. Особых точек может быть несколько, даже — бесконечное множество; в случае функции Д и р и х л е [300, 2)], например, особые точки заполняют сплошь весь промшкуток [О, Ц. Ограннчвмся случаем конечного числа особых точек с„с„с„..., ст. В этом случае природа»особенности», осуществляющейся в названных точках, легко вскрывается: в окрестности каждой из них функция попросту н е о г р а и и ч е н а (так что именно неограниченность и является причшюй неинтегрир у е м о с т и в собственном смысле).
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай, когда единствешюй особой точкой будет Ь. Итак, пусть прн любом») О (») Ь-а) функция Лх) интегрнруема (следовательно, необходимо — и ограничена) в промежутке [а, Ь-з)], но не интегрируема в промежутке [Ь вЂ” гь Ь). Нужно доказать, что при этих условиях вблизи точки Ь й[унн«ия не может осок«виться ограниченной. Допустим противное: пусть для всех х в [о, Ь] имеем: ]Т(х) [т(, (Ь = сопз«). Задавшись произвольным числом е О, возьмем») —.
Для промежупса 6Х [а, Ь вЂ” »)], в котором функция Дх) интегрируема, по числу — можно пайп«такое 3 д О, чтобы прн разделении этого промежутка на части с длинами г«ху.сб было тгг«х« « —, Л" 3 где он означают, как всегда, соответствующие колебания функции [297). Можно предположить сверх того, что д»). Разобьем теперь весь промежуток [а, Ц на части с длинами г«х«б, и пусть Лхк будут отвечать тем частям, которые не выходят за пределы [а, Ь-й], а г«х«- — остальным частям; нз них только одна может выходить за пределы [а, Ь-»)] — если точка Ь- ») сама не входит в состав точек деления.
Тогда по-прежнему 2' Е со«'Лхр 3' с другой же стороны: 2 ~ т«"г«х«" 2Ь . ~, г)хг 22(»)+ б) 4»,з) — с, 3 [481 ГЛ. ХП!. НЛСОБСТВВННЫВ ИНТЕГРАЛЫ н окончательно А этим обусловливается [297[ ннтегрнруемосгь функции Дх) ас всем промежутке [а, Ь[, н точка Ь оказывается не особой, вопреки предполсженному о ней. Этим н завершается доказательство. Таким образом, в случае конечного числа особых точек, нх можно характернзоаать именно тем, что вблизи ннх функция перестает быть ограниченной; это мы н возвели а определение особых точек а предыдущем л'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
