Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Для того чтобы убедиться в последнем, достаточно заметить, что А ! !(х ЯА 2л [ — =2л1ВА, х 1 вз )с=в х' (по закону Ньютона). Какую работу А произведет сила г при перемещении точии М вдоль оси х из положения, отвечающего х=- г, в бесконечность7 н бА стремится к прн А- 7) Пусть в начале координат О находится масса гл, которая притягивает материальную точку АУ массы 1, иазодящункя на ощг х на расстоянии х от О, с силой 472! ! 1. инте1РАлы с БескОнечными пРеделАми 557 Работа, очевидно, бУдет отрицательной, так как сила направлена против движення. Распространен на этот случай формулу (9) и' 353, найдем: Х' к~а г г При обратном перемещении точки М из бесконечности до расстояния х г гв сила ньютоновского првтяжения произведет и о л о ж и т е л ь в у ю работу Эта величина называется лотелвидлои рассматриваемой силы на точку М н служат мерой, накопленной в точке лотгадидлалой энергии.
5) Для работы, производимой газом при расширении его от объема 1; до объема 1, (Ра 1',), мы имели формУлУ (354 (10)): у» А - ~рАР. у, Пусть дана некоторая масса идеального газа, занимающая объем !'„при давлении ри Предположим, что газ расширяется до бесконечности и притом вдиабатически, т. е. без теплообмена с окружающей средой. В этих условиях, как известно (361, 3)), имеет место формула Пу а с с о на сг рря=с ~где й= — 1~. са Тогда работа, которая могла бы быль выполнена газом при таком распшрении, будет с 1 ! с 1 Амааа= с Р-ъ А Принимая во внимание, что с=рара, и подставляя это в полученную формулу, 1' окончательно .
найдем Рара Амаас й-1 9) В задаче 8) и' 356 мы установили силу Г, с которой иа едвницу амагнитного зарядаа действует конечный прямолинейный отрезок тока: а Р= д1 а(г. (а' + г') И аа Рассмотрим теперь случай б е с к о н е ч н о г о (в обе стороны) проводника, т. е. положим аа = —, г, = + . Тогда + Г= а1 1 г ~+- 21 а (да+та)а!а а )гда газ)-- а Разумеется, бесконечный проводник — это фикпня; тем не менее полу- ченный результат может оказаться полезным: в случае очень длинного проводника его выгодно п р и б л и ж е ни о Рассматривать как бесконечный, ибо этим дости- гается значительное упрощение формулы! 10) Если в электрической цепи с самоиндукцией в момент времени 1=0 ток силы 1„разомхнуть, то в ней возникает экстр а то к р аз мы к ан и я, под- чивяющийся закону".
1=1;е ь [473 558 ГЛ. ХН1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (см. Збч, 4) (з); мы сохраняем здесь прежние обозначения). Предловщм себе Вычислить полное количество джоулева тесла Д, выделяемое этим током. Элементарное количество тепла за промежуток времени (с, г+сй). очевидно, будет .Ь.)~. а как предел предыдущего интеграла при А 2 ° 1 как предел частичной суммы при сч-- остаток ряда интеграл Лаа М-с! ) Ях) ссх л сС22=с'гй дс.
Суммируя зк весь б ее к оке ч вы й промежуток, получим: зе — — с С2= ~!1К.с)!=я)2.~ е Б дс= — уса, з е е Отметим, что хотя практически ток через конечный промежуток времени стевоввтся неошутвмым, все же для определения и о л н о г о количестве энергви тока, переходящей в тепло, прихолится интегрировать по б е с к о в е ч н о м у промежуп!у. 473.
Анвлопш с ридами, Простейшие теоремы. В последующем мы ограничимся интегралами вида (1): все сказанное о них легко пере- носится на случаи (2) и (3). При этом мы всегда будем предполагать, что функция ~'(х) интегрируема в со 6 отвеин ом смысле ме- жду любыми пределами а и А «а, так что вопрос относится только к несобственному интегралу от а до -. Между несобственными интегралами )Ях)бх и числовыми ряа дами ~ а„ существует глубокая аналогия, которую полезно под- 1 черкнуть. Воли процесс с у м м н р о в а н и я по и заменить процессом и н- тег рир о в ания по х, то аналогами будут общий член ряда подинтегральная рсункция а„ у"(х) частичная сумма ряда собственный интеграл ,г,'а„ ~)"(х) ск» 1 сумма ряда несобственный интеграл 4741 ь е интБГРАлы с БескОнечными пРеделАми 559 1".
Если сходится ингпеграл )Ях)бх, то сходится такэасеинтеа грал ~ у(х) с(х (А -а)„и наоборот. При этом А А ~~(х) с1х = ~Ях) ах+ ~ Ях) бх. а а А 2'. В случае сходимости интеграла )'Ях) бх имеем а 1пп 1ЯХ) дх=О. А А 3'. Р(з сходимости интеграла ~ЯХ)бх вытекает и сходимость а интеграла ~с Ях) бх (с=сопз1), причем а ~ с Лх) аух с ~лх) ах. а а Наконец 4'. Если сходятся оба интеграла )Ях) с(х и ~й(х)а(х, то сходится а а интеграл ~(ЯХ)хб(х)) агх, и а ~ (1'(х) ~ й(х)] бх = ) Ях) с(х х ) я(х) бх. а а а 474. Сходвмость интеграла в случае положительной функции.
Если функция Лх) положительна (неотрицательна), то интеграл Ф(А) = ~ У'(х) бх а (4) Мы перечислим п р о с т е й ш и е теоремы о несобственных интегралах, сходные с теоремами и' 364 о рядах. Доказательство их— с использованием указанной аналогии — предоставляем читателю. 560 ГЛ. Х«Н. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ представляет собой монотонно в о з р а с т а ю щ у ю фуикшпо от переменной А. Вопрос о существовании для нее конечного предела прн А-- решается очень просто — на основании теоремы о пределе монотонной функции [и' 571: Для сходимости несобственного интеграла (1) — в случае и о л ожительной функции Лх) — необходимо и достаточно, чтобы интеграл (4) при возрастании А оставался ограниченным сверху: ~Ях) а«х ь (з. = сопз1).
а Если же это условие не выполнено, то интеграл [1) имеет значение - [ср. и Збб). На этом основана следующая «теорема сравнения« для интегралов от положительных функций: Теорема 1. Если хотя бы при хыА (А а) ил«еет место неравенство Лх)тя[х), то из сходимости интеграла ~ е[х) бх следует схоа диз«ость интеграла ~Ях) бх или, что то же, из расходимости ) Ях) бх а а следует расходимость ~ я[х) бх. а Доказательство можно скопировать с доказательства теоремы 1 па Збб Часто полезна следующая теорема, являющаяся следствием первой: Теорема 2.
Если суи«ествует предел з"(х) йш — =К (О«К~+ ), „,„е(х) то из сходимости интеграла ~я[х) Ах, при К«+, вытекает схоа димость интеграла [Ях) бх, а из расходимости первого интеграла, а при К»О, вьнпекает расходимость второго. [Таким образом, при О«К«+- оба интеграла сходятся или оба расходятся одновременно.) Доказательство такое же, как и для аналогичной теоремы 2 и' Збб [см.
473, За1 Выбирая конкретную функцию для сравнения, можно отсюда получить часгиые признаки сходимости или расходемости интеграла 56! 4751 1 1. интеГРАлы с еесконечными пРеделАми 1 1'(х)дх. Практическое значение имеет сравнение с функцией пг Б которая иитегрируема от а=.О до - при 2 1 и ие интегрируема при 2~1 (и' 470, 2)1. На этом построены следующие признаки К о щи: Пусть для достаточно больших х функция 7'(х) имеет вид Тогда: 1) если 2~1 и 1р(х)м-:с~+, то интеграл)з"(х)г(х сходится, а 2) если эБсе 2БЕ1 и р(х)-е О, то этот интеграл расходится.
Для доказательства надо воспользоваться теоремой 1; функцией сравнения является †, (и' 473, 3'). Если при х- - функция у(х) является бесконечно малой порядка П 2 О (по сравнению с -~, то интеграл )у'(х)Б(х сходится или расх)' ходится в зависимости от того, будет ли 2 1 или 2 1. 1 Здесь следует сослаться иа теорему 2; роль функции 5(х) играет — „. Примеры: хт дх 1) — дх, Б 1 Подяитегральиыс выражения при х - представляют собою бесконечно малые, соотвстстяевео, порядка ЧБ И 2.
Следовательно, первый интеграл расходится, а второй — сходится. Г Р(х) 2) ) — лх, где РОО есть целый миогочлси степени ль а (2(х) — целый много- (2(х) а член степени и т, ие имеющий корней в промежутке (а, ). Для достаточно больных х подиитегральеое выражение сохраняет определсяюяа знак. поэтому (изменяя в случае надобности знак) можно применить изложевиыс выше признаки. Подиитегральеяя фуекция является (при х ) бесконечно малой порядка л-ю. Поэтому при л=т+1 юпеграл расходятся, а при ль т+2 сходится.
(При льБю ои, очевидно, расходятся.) 475. Сходимость интеграла в общем случае. Вопрос о существовании несобственного интеграла ~ 7'(х) 1гх, согласно определению (1), п ЗБ Г. М. Фихтьвгалью т. и [475 562 ГЛ. ХПЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ приводится к вопросу о существовании конечного предела при А для функции от А: А Ф(А) = ~Дх) с(х. 0 (4) Для сходимости несобственного интеграла ) Ях) т(х* необходимо а и достаточно, чтпобы каждому числу е О отвечало такое число Аь=- ~а, чтобы при А~АВ и А'~Ас выполнялось неравенство А' А А' ) Ф(А ) — Ф(А) ) =- ! ) у'(х) бх — ~ Дх) сКх ! = ) ~у'(х) Ах ! е. Этот критерий позволяет с легкостью установить такое предложение: Если сходится интеграл ~ (Ях)~ Их, пю * и подавно сходится в ~Ях) Их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
