Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Например, желая найти сжатое выражение дпя суммы х= ~соайх, 1 можно снести дело просто к суммированию геометрической про- грессии: л л ) 1 гех1 е(л+1)х1 е х1 е (ле1)х11 ~ ехх1 5 ~ е — хх1 + 2 2~ ),х1 1-е х1 -х1 (л+-)х1 — -«1 — (л+-)ж 1 1 1 1 — м -м -ж — ж аз -ез е — е 1 ( (.+-,')»; -(лез)х) 1 ( -',ю —,е) ~ 1) 1 2 2 на — х 2 1 -'х1 --ж) — (е -е ~з я 21 * При х= — 1, есян не сама степень (1+х)м, то достаточно далекие ее производные терпят разрыв; исключение представляет лишь случай, когда т равно 0 нпв натуральному числу. гл.
хп. етнкционлльныв послвдоватвлыгости и гяды [461 528 3) Целые положительные степени яп х и сох х, а также произведения таких степеней моюю представить линейными комбинациями сявусов и косинусов кратных дуг. Выполнить это легко с помощью тех же формул Э й л е р а, развернув выражения ех! — е-и) и (ах!.!.
е-х!) и з(п" х= ), соз" х= ~ 2! по биному Ньютона. Например, 1 яоз х.= — (ем! — 5еж! 1- 10ех! 10е х!+ 5е зх! — е зх!) = 32! (езх! е-Бж сзх! е — зх! ех! — е — хз) — — — — 5 -!-10 — )= — (ил5х — 5яаЗх ч10яох); 16 ~ 2! 2! 2! ! 16 (ех!.!. е — х!)з )ех! е-х!)з 1 (езх! — е — зх!)з(ех! ! е х!) = 128! ! (езх! Зезх! х-Зе зх! е- зх~Кехг+ е х!) = 128! 1 =- — — (еж! )е'х' — Зе'ж — Зехз+зе хз+зе зх'-е зх' — е ж!) 128! 1 — — (яп 7х-1-зш 5х — 3 яп Зх- 3 яп х). 64 Можно установить я общие формулы: ( — 1)" Г (а) ял'"х= — — соз2зх — 2хсоз(2х-2)х+ 2м 2х(2х- 1) (-П г 2 -Ц...(з+1)) + соя(2х-4)х- ...
+— 1 2 2 1.2 ... х (-1)" (б) япз'ч'х= — !з1л (2х+1)х-(2х+1) яп(2з — 1)х+ 2з (2х61)2з „ (2з+ 1)2з ... (а+2) + ял(2з — 3)х ! ...+(-1)" Яп х) ° 1.2 1.2 ... з 1 ! л(л- 1) (в) соз" х= — — !сохах+лсоз(л-2)х+ — соз(л-4)х";...), 2а-! ( 1 2 "'! ' причем в формуле (в) последний член имеет вид 1 2з(2з-1)... (х-!-1) (2х1-1)2з... (з+2) вли соз х, 2 12...з 1 2 ° ° ° з смотря по тому, будет лн л = 2з или 2х+1. Подобные преобразования выгодны при интегрировании [ср. 287]. 4) На комплексные функции от вещественной вли комплексной переменной распростришются простейшие формулы внтеграпьного исчислеиив (отиосящиеся к разысканию первообразвых). 46Ц 529 1 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРГМП1НОЙ Пусть требуется найти интегралы: еах яп Ьх Ох. аах соз Ьх е(х, Эта залача равносильна нахождению интеграла: еах(соз Ьх+1з!и Ьх) е(х = ~ е(а+ я)х гбг, который — по злементарной формуле — равен 1, созЬх+!япЬх асозЬх-[-ЬзшЬх азшЬх — ЬсозЬх а(а+Ы)х.= аах =.
еах ье. еах а ЕЬ1 а+Ьг' ае-Ь Ь' а'+Ь' Приравнивая порознь вещественные и мнимые, получим искомые интегралы [ср. 271, б)). Формулу для вычисления интеграла типа р(х) еах 1(л, Р(х) соз Ьх г(х, ~ Р(х) зш Ьх е(х, но и интегралы Р(х)еах сок Ьх е(х, ~Р(х)еа" зш Ьх Ох [271, 4); 289). 5) Связь мяклу логарифмической и обратными тригонометрическими функциями объединяет многие формулы интегрального исчисления, казавшиеся совершенно различными, и позволяет устанавливать новые формулы. Например, интегралы г(х 1 х — а = — 1п хе-аз 2а х+а г е(х 1 х и у! — = — а!с!и— х'+аз а а или Ых г г(х, х -1п(хе-л!гае-';хг) и ~ =агсяп— ~(ае~-х~ [!Р-хз приволятся один к другому заменой х иа хе'. б) Отделяя вещественную и мнимую части в известных комплексных разложениях, можно иной раз просто получить интересные Разложения в вещественной области. (а) Возьмем, при [з[ 1, прогрессию 1 х'ка 1 — з и-1 и полон!ем к= г(соз Оенйп О).
справа получим ряд ~ г" (соз пВ+ ! яп лО), а=1 34 Г. М. Фахгеагахьа, г. Н где Р(х) — целый многочлеи [271, 4)1, можно распространить и на случай комплекс- ного а. Тогда к ней приведутся не только интегралы 530 гл. хп. еункционхльнын послндоватвльности и вялы [401 а слева — выражение г(со5 В+1йп В) гсо50-гз г51п О + 1 (1 — гсо50) — 051п0 ! — 2гсо50+г' 1 — 2гсо50+г соя 0- г =.х~~ Г" 1СО5ИО, 1-2гсо50+гз 51П В = ~ги 151п и0. 1 — 2ГСО50+Гз и=т [ср. 440, 11)].
б) Аналогично поступив с логарифмическим рядом: ги 1п (1-»)=- — 4 — (]г! 1), 5=1 И получим для г 1 [ср. 440, 11)]: 1 соз л — !и (1 -2г соз В+ гз) =- —,~~ г" —, 2 и=1 И гзш0 " 5]пл0 агсгй = ~ г" —. 1 — ГСО50 и=1 И Пусть 0«Веги; тах как прн г=1 ряды справа продолжают сходипся [2(щ, 2)], то можно, воспользовавшись теоремой Абеля [437, б'], перейти здесь к 1, 0 пределу при г-1-0. Слева получим в первом случае: — !л (2 — 2 соз О) = 1и 25!и —, 2 2 В! 1 и — В! и-О а во втором: агс10 ~С!8 — ~ =агсгй ~18 — ~ =-- †. Итак, имеем: г 1 и-В зщиО '. — -2 — (0-0«).
2 ,=1 и О со5 иВ 1П 25!П вЂ” = — ~ 2,=1 и [В третьем томе курса мы встретимся со мнопгми замечательными тригонометрическими разложениями.1 7) В и' 447, 8) мы имели разложение 1 1+ Л Рп(») аи, )г! 2»» !.„5 где Р,(х) — многочлены Лежандра. Изменяя» между — 1 и Г1, положим здесь» = со 5 В: 1 (1-2асо50+аг) ' =1+,~ Р„(со50).а". 5=1 Приравнивая вещественные и мнимые составля1ощке в обеих частях равенства (н сокращая на г), придем к разложениям: 402! 1 г. оввщтывлгощнн и лсимптотичнскнг ряды Замепнм теперь 2 соз О на в»Ч-е "'; мы получим 1 1 1 1 1 — 2исоз В+а»)» = [! — и(еи ! е г!) га»[» =(1 — ив»г)» (1 — иг !в) (-" -- П! 1 ° 3 П 1 1 ° 3 !.! и„,»г ь „зг»»г 1+ „г »»Ч а»р-»~г Ь...) 2 24 )! 2 24 Перемножив этн два ряда по обычному правилу н приравняв козффнцвенты нрн ин в обоих разложениях, мы придем х выражению для У„(соз О): (2и-1)й, .
(2н — 3)11 1 Р„(соз 0) =. (етг+г "»г)+ — (е(н ') в+ в (н»)»г)-ь 2л!! (2н — 2)й 2 (2н -5)й 1 3 (в(н-»)!г ! в-(н — »)»г) !. (2н-4)!! 2 4 Скобки теперь можно заменить последовательно на 2 соя нО, 2 соя(и-1)В, 2 соз (л — 2)0 н т. д. Так как все коэффициенты здесь положительны, то совершенно очевидно, что наибольшего значения это выражение достигнет прн 0 = 0, т. е. прн х — — соз Π— — 1.
Таким образом, воспользовавшись соображениями нз области функций комплексной переменной, мы нашли интересный результат, всецело относящийся к вещественной области: нри и»мгнгнии х в нромвлгутке [ — 1„ч Ц всв много»вени Л ггю андр а своего наиболыиего значения достигают на коняг х=1. О б. Обвертывающие и аснмптотические ряды.
Формула Эйлера — Маклорена 462. Примеры. В $9 предыдущей главы мы позяакомнлн читателя с некоторымн важнейп»нмн определениями»обобщенной суммы» для расходяшнхся рядов, причем сами частичные суммы ряда всего менее были пригодны для првблнженного вычисления такой»суммы». Сейчас мы вновь займемся расходяшямнся рядами, но совсем в другом плане: мы покажем, что при н а ля чн в определенных условий я в известных границах именно ч а с т н ч н ы е с у м м ы расходящегося ряда могут служить превосходными прнблнже»пшмн для числа, в том нлн ином смысле»породнвшего» этот ряд.
Лля того чтобы читатель ошутял наперед практическую важность применения расходящяхся рядов в прнблшкенных вычислениях, достаточно упомянуть о том, что этнм методом привычно пользуются астрономы для предвычнслення положения небесных тел, причем точность получаемых результатов оказывается вполне удовлетворнтельной. Мы постараемся сначала выяснить нужные нам идеи на двух простых прнмерах. 1) Рассмотрим логарифмический ряд х» х» хн хл.!-1 х — —.!.— — ... +( — 1)н — » — +( — !)н — — -[- 2 3 и и+1 Хорошо известно [4Щ что этот ряд сходится н представляет функцию 1п(1-!-х) лишь для — 1 хис1.
Вне этого промежутка (напрнмер, для х 1) ряд будет расходящвмся н лишен суммы. Однако н для значений х 1 функцня !п(14х) продолжает быть связанной с отрезками этого расходящегося ряда, нбо, по !Вор»»уне Тгйгвра, хз х» хн 1л(1-1-х) =х — — 4 — —...-[-( — 1)" ' — +гн(х), 2 3 и 532 гл. хн. оункционкльныг: послндовктгльностн н ряды (462 где »дополнительный член» го(х) может быть взят, скажем, в форме Л а г р а н ж а [126) 1 хн+! хи+! с„(х)= (-1)" — =О (-1)" — — (О О, О, 1). (16б,х)" с ! л61 и+1 Оказывается, что дополнительный член абсолютно меньше первого отбрасываемого члшса рида и имеет одинаковый с нкм знак (как и в случае сходящегося ряда лейбнипевского типа!). Итак, если заменить значение 1п(1-1-х), прн х 1, отрезком расходящегося ряда (1), то мы имеем удобную оленку погрешности (и даже знаем се знак).
Этого достаточно длл того, чтобы можно было восиользоватьел усюлсннутым отрезком длн лриблихеенного вычислении числа 1и (1 6 х)! Конечно, при О«хик1, с возрастанием л до бесконечности погреллюсть стремител к О, а при заданном т но х О, будем иметь даже г„(х) — -О, т. е. гн(х) = о(хл), -сн т. е. погрешность будет, по сравнению с х, бесконечно малой тем более высокого порядка, чем болыие н. При любом фиксированном х ! опеночный член сам растет до бесконечности с возрастанием и, и не может быть речи о том, чтобы— для д а н н о г о х — за счет и сделать погреппгость ироизвольно лсалой.
Однако, как показывает сама оценка хл+! ) гн(х) [ л+1 при х, до с тосно ч но близком к 1, все же можно сделать погрешность нр оизвол ь но малой! Если х фиксировано, но бл»с»ко к 1, то члены ряда (1), даже при х 1, будут сначала убывать по абсолютной величине, именно, покуда отношение х" +! х" л 1 : — = — — х 1 или и« вЂ”, нд л л1-1 х — 1 а затем лишь начнут возрастать. Выгоднее всего оборвать ряд на члене с номером и =Е ~ 1 ! так — при данном х — получается наилучшее приближение для числа !х — !! !и (1 фх). В юложенном примере рассматриваемый ряд (1) все же для — 1 х ! был сходящимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
