Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 84
Текст из файла (страница 84)
,Ох~ ° Уал-1 Подставляя эгн значения коэффициентов, зяы приходим к разложению: хз Х. (л-~ г'(У) = Г(а) Ь.т Р(аМ'(а) Ь вЂ” — [9'(а) Г'(а)),'-... и — — [9 л(а) Па)] -Ь..., (29) 2! Иа л1 яал-г которое и называется рядом Лагралхса. Оно замечательно тем, что коэффициенты его представлены в виде явных функций от а. Если у(у) му, то, в частности, получаем х' а' хл йл-г у=аьх р(а)-~.— — [р'(а)[ ь....~- — — [|рл(а))-~- .. 21 Иа л! аал — 1 (29а) Существует тесная связь между задачей, рассматриваемой в настоящем и', и задачей обрапгения степенного ряда.
Если (в предположении, что (г(а) и О) переписать уравнение (25) в виде у — а = —:=Ь,+Ь,(у- )+Ьз(у- )з+ 9(У) то задача Л а г р а н ж а окажется равносильна обращению этого р1ща, расположенного по степеням у-а. Наоборот, если поставлена задача обращения степенного ряда г=а,х-~.а,хе+а„х'Ь... (а,лО), то, переписав это соотношение так: у=х(а,з-а,хча,х'Е...), обозначим сумму ряда в скобках через у (х).
Тогда приходим к уравнению типа (25) 1 х=у — —; й(х) 1 здесь а=О, (г(х) = —, и кроме того, х и у обменялись ролями. Последнее замен(х) чание важно потому еще, что позволяет сразу дать общее выражение для результата 4521 1 4. дополннтлльныл свидания о стштннных видах 507 обращения по формуле (29а): (30) Приведем примеры. 1) Начнем именно с использования формулы (30).
Пусть дано уравнение у = л(а+х) (а и 0) 1 х=у— аох Так как Дл — с 1 ( 1)п-бс,(,.1.1), .(2л 2) (а 1. «)м — с с(хо '(а+х)о то приходим к такому разложению: у у' (2л — 2)1 ул х= — — — 4 ... +(-1)о-с а а' (л-1)бб аю То же разложение получается, если решить квадратное уравнение относительно х„ вмбрав то из его значений, которое обращается в 0 вместе с у.
2) Будем исходить из уравнения типа (25) х у=а+ —, у 1 так что здесь р(у) = †. Полакал с" (у) =-у — ", по формуле Л а г р а н ж а (29) найдем У 1 1 й хт lс(1+3) х' (сбс Ь4)(4-1.5) х' (с((ст5)(Й+6)((с47) уа ак а" + 21 а" +' П ак+ 41 акт' Так как данное уравнение приводится к квадрапюму; у' — ау — х=О, то, очевидно,ч )/,с у= т </ — 4«. 2 )'4 Например, если а= 2, то получается (по умножении на 2«) такое разложение: е Знак плюс перед корнем взят в связи о тем, что при х 0 долзкио быть у = а.
508 | л. Я11. Функг|иоиАльнын послцдонАтильиости и Ряды 1453 3) В теоретической астрономии важную роль играет уравиеиие Келлера: Е=М+е ащ Е, где Е есть эксцентрическая аномалия планеты, М вЂ” ее средняя аномалия, а е— зксцентриситет планетной орбиты. Воспользовавшись рядом Л а г р а н ж а (29а), можно найти разложение Е по степеням эксцентриситета, с коэффициентами, зависящими от М: еэ 4 гв,(в-з Š— — М-| с з|п М+ — — ь!пэ М.|-... 4 — ап" Ме ..
21'4М "' и|'4М.— Здесь представляет важность знать точные размеры промежутка скодимости: Лаплас (Р. Б. |.ар!асс) первый установил, что сходимость имеет место для с 0,6027... 4) Наконец, рассмотрим уравнение и у = х.|- — (уз — 1).» 2 Его решение, обращающееся в х при а= О, будет 1 — ~/1 — 2их4 аз у '= 1-|- ) 1 — 2«х-|-а' Разложение этой функции по степеням и имеет вид1 1 |а)э 1(» |р 1 га)в г( — (хэ-1) у=к ь — (х'-1) э — — ° +....|- — ~ — ~ * +" 2 2| (2! их в| ~2~ * 4х" Продифференцируем обе части этого равенства по х (причем из аналитического характера у как функции от двух переменных и и х, можно заключить, что для ряда допустимо п о ч л е н н о е дифференцирование). Мы получим разложение 1 1 1((х' — 1) 1 с(г(хз — 1)' 1 Р(х' — 1)" =1-ьи — тк' —. ь...+и" — —.
2 +ай 2 4х 2|21 Нхз в(2" 4х' Его коэффициентами, как мы вэтом случае н си о средственно усматриваем (ср. 447, 8)), являются многочлены Лежандра: 4л(хэ 1)с л!2в с(тс З 5. Элементарные функции комплексной переменной 453. Комплексные числа. Хотя иаш курс целиком посвящен в е щ ее т асиным переменным и вещественным же функциям от них, настоящий параграф — отступая от этой основной линии — мы посвятим элементарным функциям комплексной переменной. Изложение этого вопроса примыкает к теории степенных рядов и„в свою очередь, проливает свет на некоторые принципиальные моменты этой теории. Кроме того, знакомство с функциями * Здесь х играет роль а, а и — роль х.
509 1 5. Функции комгглпкспой пнуеменпой комплексной переменной оказывается полезным для вещественного анализа и в вычислительном отношеняи [ср. примеры в 461, а также главу Х1Х, посвященную ракам Фурье, в третьем томе курса[. Мы предполагаем, что читатель Уже знает комплексные числа из алгебры. Поэтому мы ограничимся здесь люль кратким обзором основных свойств этик чисел. Комплексное число г имеет вид: х=х+уг', где ! есть мним а я еди ница, г=-~ — 1, а х ну — вещественные числа. Из нвкхназывается во шест вен ной, а у — м н н м о й составляющей или частью числа г, и обозначаются так; х = Л(г), у = !(г).
Два комллекснык числа хьуг и х'+у'г равны тогда (н только тогда), когда порознь х=х' и у=у'.в Сложение и умножение комплексных чисел производятся по Формулам: (х+уг)+(х'+уг)= (х+х)+(уву)г, (х+ у!)(х'+ уй) = (хх' — уу') ь (ху'+ х'у) 1; легко проверить существование разности и частного, выражаемых так: (х+у!) — (х'+ у !) = (х — х ) 4 (у — у ) б х4 у! хх'Ч-уу' х'у — ху' -! х'+у'! х'Ьу' х'ьу (последнее — в предположении, что х'-Ьу'!яО, т. е.
что х'ау' 0). При этом для комплексных чисел соблюдаются все обычные свойства действий, не связанные с понятиями б о л вше и меньше (эти понятия для комплексных чисел пе устанавливаются). Точнее говоря, имеют место свойства П 1'-4' и' 3 и 111 1' — 5' и' 4. У Возьмем на плоскости прямоугольную У вЂ” — — !( систему координатных осей хОу (рис. 63). Тогда каждое комплексное число х = х 4 у! может быть изображено на этой плоскости ! точкой М(х, у), координатами которой яа- ! лаются вещественная и мнимая составляю- 6 .т шие этого числа. Очевдцно, и обратно ! х каждой точке )Гг плоскости отвечает вполне ! определенное комплексное число.
В связи с этим рассматриваемую плоскость называют плоскостью комплексной перемен но й г илн просто к о м пле к спой плоскостью. Вещественные числа х = х; — 0 г' изобра- Рис. 63. жаются точками на оси х (ибо для ник у=О), а чисто мнимью числа уг О+уг (х=О) — точками на осн у. Этя оси п называют первую — вещественной осью, а вторую — мнимой. Важную роль играют также полярные координаты г, 0 точки, служащей изобРажением числа я= х+у! (см. чертеж). Неотрицательное число г называется модулем нлн абсолютной величиной комплексного числа г и ч Иными словами, и здесь для нас равенство сводится к простому тождеству [ср.
и' 2[. 510 гл. хп, еункциональнып послвдоватпльности и вяды [463 обозначается так: г = [г [. Модуль однозначно определяется комплекпвым числом в: [г[ -~- [(хв+ув и обращается в нуль в том и только в том случае, когда в = О. Угол 9 называется аргументом комплексного числа в, 9=Атлг. При гяо, оп определяется вз равенств х у сов 9=-, яп 9 = —, г ио лишь с точностью до слагаемого вила 2)гл ( — целое).
Для в=о аргумевт остается вовсе ие определепвым. За исключением етого случая для кщкдого числа ." существует один и только един аргумент О, удовлетворяющий неравенствам — л«рт;л; его называют г па в в ы м з качением аргумента и обозначают через агйт. Если О и, то О вшВ гвшВ у ти 2 1+совВ г+гсовВ х+'[Гхв+ув и угол агй в мовно определить равенством У агй т = 2 агсви х+ [(ха+уз оио годится для всех комплексных чисел, кроме веществеииых отрицательных (и нуля). Отметим, что для модулей комплексвых чисел г=х+у( и в' х'+УО теклю выполвяегся перавенство: [г+в'[т[в[4 [в'[, столь привычное для абсолюциях величин веществелпых чисел.
Действительно, в настоящем случае оно приводится к известному иервленсзву: гвтотв ът г' Р гв' Р, которое представляет частный случай неравенства М и п к а в с к о г о [133 (7)[; см. также сноску па стр. 346 1-го тома. Справедливы и вытекающие из него следствия [см. 17[. Если в обозначении комплексного числа в=к+у[ положить х г сов 9, у= в.яп 9, то получим так называемую тригонометрическую форму комплексного числа: в = Г(сов 9-~-(в[п 9). Возьмем второе комплексное число в' также в тригонометрической форме: в'= г'(сов 9'+(вш О'). Тогда п р а из в е дев и е вв' в трпгопометрической форме нипппется так: гв' гг'[сов (9+ 9')+! яп (9+ 9')[; зто испосредствепло следует из теорем сложения дпя косвнуса и синуса. Отсюда [вв'[= [т[ ° [т'[, Ахи тг'=Агав+Авив'. 5П 454] В 5. Фун!гции кОмплекснОЙ пеРеменнОЙ Аналогично, для частного чисел г н г' (г' л О) находим: — — — Агй — = Агн г — Агй г'.
Из формулы произведения получается формула для степени с натуральным показателем п: г" = ги(сов я!д+ ! в!л пО), в частности, при г - 1, приходим к формуле М о а в р а (А. де Мо!чге): ( О+!в!Еб) = впб+(вш О. Наконец, для к о р н я и-й степени нз г имеем и )ге= з(г ~сов — +1'ып — 1, и п/ и где ]Гг есть арифметический корень из г.
Полагая здесь поочередно, например, В=О, 042л, 0.1-4л,..., О+2(н — 1)я, п мы получим и раз ти чвых зяачения корня )гг (конечно, считая гпО)! при других значениях б! будут уже лишь повторяться зги же значения корня. 454. Комплексная варианта и ее предел. Рассмотрим последовательность (гп], состоюпую из комплексных кисел«„=-х„ч-уи!(п=1,2,3, ...),ипеременаую г, принимающую зти значения в порядке возрастания номеров. Предел такой комплексной варианты определяется в тех же терминах, что и в случае вещественной варианты [23]: Постоянное число с а+Ьг называется пределом варианты г=г„, если сколь мало бы ни было число г О, для него существует такой номер АГ, чгпо все значения г„с номерами и Рг удовлетворяют неравенству ]гп с! г.
1!пзги=с нли г„с. При атом пишут [х„-а[! т ]гн — с! .=]((хи — а)в+(Унййзт]хи - а]+ ]Уи-Ь!. !)'и-Ь! ! Точно так же переносятся на рассматриваемый случай определения бе с к оне гно малой и бесконечно большой величин. Отметим, что теперь не может быть речи о стремлении варианты к бесконечности определенного знака, поскольку комплексным числам знак вообще не приписывается. Если ги есть бесконечно большая, т. е. ]ги! -4, то говорят, что г„- (без знака!). Рассмотрим, например, варианту г„=г', где г есть комплексное число. Если при зтом ]г! 1, то г„О, если же ]г! 1, то ги-; легко видеть, что при ]г! 1 (ио го 1) двя варианты г„предела вовсе нет.
Для комплексной варианты легко непосредственно лередоказать основные утверждения теории пределов, почти дословно повторяя прежние рассуждения. С другой стороны, все эти утверждения автоматически переносятся на шипучей комплексной варианты на основании следующей простой теоремы: Комплексная варианта ги = «„+у„! стремится к пределу с ад Ытогда и тольхо тогда, когда веществетзые варианты «„и у„стремятся соответственно к пределам а и Ь. Ее доказательство сразу следует нз неравенств: 512 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
