Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Напишем Е(х) в виде х х' х -' х хьт )нр-х)ч — + — ь... ь-— я(х)=л т з " )=е тогда первая часть утверждения становится очевидной. Вторая же часть докажется индуктивно. Донуствм, что все козффвщиевты Ь» со значком, меньшим и, по абсолютной величине меньше едяницы. Так как в данном случае 1 а»=О при» т и ໠— — (»а»= — 1) при»тт, » то и-е из равенств (8) обнаружит, что и ~ Ьн ~ 1. 4471 1 а дОпОлниТельные сВедения О степенных РядАх 489 (Предлагается применить указанный здесь метод к примерам 1) и 2).) 4) Те же уравнения (8) могут пригодиться и в другом вопросе. Пусть д а н о разложение функции 8(х)=1+Ь,хч-Ь,хтч-Ьеха+ -. +Ьлхлч-... а ищется разложение функции у(х)=1пк(х)=а4хч-азхзчазхзч-...
Ьалхл-и... Легко поюпь, что коэффициенты а и Ь связаны теми же соотношениями (8), но на этот раз подлежат определению коэффициенты а. 5) Показать, что бесконечное произведение Г(х)= !( (1шдмх)=(1+дх)(!ддзх)(1+д'х)... (~д! 1), и=1 при достаточно малых х разлагается по степеням т, опрелелить коэффициенты этого разложения. При !х! 1 произведение сходится и имеет положительное значение; логарифмируя, получим 1 !л Г(х)= ~ 1п(14-дшх) = .5; (дмх---депх14....), л=г и=1 2 В частности, этот ряд сходится при замене всех членов в скобках ик абсолютными величинами.
Отсюда (44б) следует, что 1и г(х) в окрестности нуля разлагается В Р1Щ ПО Ствпсиям х, а с ним (уже по теореме и' 44б) разлагается и выражение Ь(х) — е!и Р(х) Итак, для достаточно малых х, имеем: Г(х) = 14Ь,хч-Ьзх4.1-... -1-Ьлхлч-. ° . где коэффициенты Ьо Ь„..., Ьл, ... еше подлежат определению. Проше всего это выполнить, есля исходить из очевидного равенства: Ь(х) = (1+ дх).
Р(дх), которое, воспользовавшись разложением, можно переписать в виде: 1 4 Ь хи Ьтх 4-... 4 Ьлхл 4-... - (1 1 дх)(1 + Ьздх,'- Ьдзхз 4- .. 4 Ь длхл и...). По теореме о тождестве отененных рядов, ~ сюда Ь,дед =Ь,, 8141 ' Ь1дз=-ьэ, ..., Ь дпдь,д =Ьп, или д Ь1де Ь дл Ь,= —, Ьт=.-- — -, ..., Ьл= д)' ' 1,1л и, окончательно, п(л — 1) д з Ь,= —, Ь,=— Ьл = 1 — д (1- д)(1 — д') (1 — д)0 — дз) (1 — д ) 490 гл. хц. еункцноняльныи послцдоияткльностн и ряды [447 ешх 6) Возьмем разложения функции и бесконечное произведение [408[ и я бесконечный ряд [404) (12)[ и прираеняем их логарифма> [401, 4'): з!их >' х«| >' х' х" |и — -= е., 1и ~1- — ! 1п ~1- —; — — —...) х е=1 ~ л«л«! ~ 6 120 1 1 ! 1 ! ! -л-=-, — Л-= —.
л«1 л«6' 2л' 1 л' 180 откуда л«е 2," — =' — . |п' 6 1 л' Л-=- — ' 1 л' 90 Впрочем, ниже [449[ мы найдем зти формулы из других соображений. 7) если к>уиквия Дх) в лромежупи>е (-Я, )1) рагяагается в стеле>итй ряд (1) и х — произвольная точка этага промежутка, то в ее окрестив«та (буик>«ия разлагается в ряд па степеиям х-х. Действительно, положям а (1) х=хч-у; по обшей теореме (меяяя лишь роли х и у) покуда [к[ « [у[ Я или [у[ай — [х|, можно перейти к разложению по степеням у, т. е. по степеням х-х: ~ А«у» ~', А»(х — х)".
«=Е «=О ВЬШОЛНИИ и рядЕ А, ап(Х+уУ> аСЕ ааэасдсння и Ствлснъ И СОбраВ ПОдОбНЫЕ в 1 члены, легко определить и коэффициенты этого разложения: А, Л апХ г"(х) л 0 и, аообп|е, п,п — 1)...(п - й-|-1) > А»= ~ апхп»= — 1 2.../с 1 у(»!(х) = — ~ п(п - 1)...(п - /с + 1)алхп »! л=> »| Результат этот, аащ|у 438, 9', не шииется неож«шаниым. " Этот результат нам уже известен [см.
440 (4)ф Разложив левую и правую части по степеням х [445, 446) и отождествив коэффи- циенты, придем к равенствам з л, дополнитвльныы свыдыния о стыпынных видах 491 Нз (из 2 и)[ 2 '1'1-2за-~ из по степеыям и, при произвольыо фиксированном х. Возможыость такого разложевия гараытируется нашей теоремой, если только ~и[зз-2[к[ ° [а[ 1. Легко усмотреть, что коэффициентом при и" (н~1) будет некий мыогочлеы Р„= Рп(х) степеии н, так что 1 1З.Риз Р,з 1. ~ Р ипл ~1 — 2хи+и' (9) Для определеыия этих коэффилиеытов, продиффереыцируем равенство (9) па и: =Р +2рив...-~-нрпип '+...
(~/1-2хи-~-из)' Сопоставляя этот результат с (9), легко получить: (1 — уха(аг)(Р 4 2РР+...+пРпип '+...)=(х-а)(11 Ри-',РМ+...+Р ап+...). Приравниваем теперь коэффициеыты при одинаковых степенях и в обеих частях. Мы найдем, прежде всего, Зкз-1 Р,-х и 2Р,-2хР, - — 1-ЬхР„откуда Р, = 2 Затем, вообше, (и+1)рп+, -2нх Рп+(п-1)рп, «Рп-Рп (и+1)Рп+з-(2н+1)хРп+нРп-з О. Злая первые два миогочлеиа, по этой рекурревтяой формуле последовательио молла вычислить остальные, Бросается в глаза, что мыогочлеыы Р, и Р, совпавают с первыми двумя много- членами Л е ж а ы д р а, а упомянутая только что формула тождествеыиа с алалогичыой формулой (П) и' 320, по которой вычисляются мыогочлеыы Л е ж а ы д р а.
Отсюда заключаем, что нозинриягмнтами разложения (9) лвлнютсл именно многочлвнм Лежандра. В свюи с этим фующыю от двух перемеивых и и х ° Этот ряд, иеобходимо, будет ее рядом Т е й л о р а [438, 9). Мы лишь длк простоты взяли исходыый ряд расположенным по степевям х — дело ые измеыилось бы, если бы фувкция Дх) была дана разложеыиой по степеням разности х-х,.
Напомним, что функция у'(х), которая в окрестиости точки х=х разлагается в ряд по степеням х-хвв, называется а иалвтыческ ой в этой точке. Мы доказали, таким образом, чта гйункчин, аналитическая в какой- тбо нючнв, будет аналитической и вв всех точках некоторой вв окрестности. Это упюрждеиие расщюстраияется и ва случай фующии от вескольких перем сивых. 8) В качестве последнего примера рассмотрим разложеыие фуыкции 492 гл. хп. еункционяльнын послндовятнльности н вядьз 1448 называют епроизводящей функциейе дня многочненов Л е ж а н д р а.
Разная:ение (9) с успехом может быть использовано дяя изучения свойств этих много- членов. 448. Делеипе степенных рядов, Важным примером применения теоремы о подстановке ряда в ряд является вопрос о д е л е н и и с т епенных рядов. Пусть свободный член ае ряда (1) отличен от О; представим этот ряд в виде ае(1; — 'хч"— 'х'+... 4 — "х".~-...) =а(1 еУ), ае ае ' ' ' ак полагая а~ а ак у= — х+21 х'1 ...
+ — 'х"+ ае ао 'зо Тогда 1 ! 1 а,-(а,х у... -~-а„х" ь... а,1-~- Послсдннй ряд играет роль ряда (б), причем р здесь есть 1. Согласно общей теореме„это выражение может быть разложено по степеням х: 1 =се-Усзх+... +скх 4 ..., аз+а,х-';... +акхк-~-... е по крайней мере, для достаточно малых значений х, например для тех, которые удовлетворяют неравенству ! — '( ° (х/ 4 (~! ° (хР е...
-~- ! — "! ° (х/" 4... 1. Рассмотрим второй степенной ряд ЬееЬ,хч-Ь х'+... +Ь„хкч-... с отличным от О радиусом сходимости. Тогда частное Ь,+Ь,хя... +Ь„х" + ае+агх-'-" +акх"-'; °" для достаточно малых х может быть заменено произведением (Ь, Ь,Х ... — ' Ь,Х" 4...)(Г, Ь С,Х 1-... + Склк -к...) и, следовательно, снова представимо в виде некоторого степенного рзща Иовд,Х+ИтХХЗЧ-... +Е(кяке... Коэффициенты этого ряда проще всего определятся ио методу неопределенных коэффициентов, исходя из соотношения (ая-У а,Х - ...
+ а„Хк 4...)(Ц, +ИЗХ+... + Ы„Хк+...) = =Ь,+Ь,х+... 4Ь„х" ч 4481 е о. дополнитяльныв свидания о стипинных рядах 493 в которых коэффициенты а и Ь предполагаются известными. Перемножив ряды слева по общему правилу [44б), мы затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Таким путем получится бесчисленное множество уравнений: ае(,+а,4,=Ьт, а~4)-азс(г' асс(о=Ьз ...,аетн+атоз„,-, ьаа зг)зиа„г)е=-Ь», (10) Так как коэффициент ар предположен отличным от О, то из первого уравнения сразу получим: с(о= —, затем второе даст нам: г(т= Ьо Ь,— аЩ аоЬг-а,Ь, ао — ' — ' и т. д.
В общем случае, если н коэффициентов ао ао с~„, г(„..., а1„з уже найдены, то (и+ 1)-е уравнение, содержащее единственную неизвестную ь„, позволит установить се значение. Так, п оследовательно, уравнениями (10) определяются все коэффициенты частного н притом вполне однозначно. П р и м е р ы . 1) Найти несколько первых членов частного х 1 хо хо хо х хо хо йз — — т-!- — -~ — Ь вЂ”.1- ... 1 Ь вЂ” ! — 4 — -1- 1-х 2 3 4 2 3 4 Уравнения (10) здесь принимают вид: 1 1 1 о!о=), А-~- — до=о о(оЬ вЂ” о(ое — ао= о 2 2 3 1 1 1 о(+ — 4+ — о(,+ — 4 =-О, 2 3 4 1 1 1 и т.
дл отсюда но — — 1, о(з= — — о(о= — о(о= — —, ... Итак, 2 12 24 х 1 1 1 — =1- — х — — х'- — х'- .. 1 2 12 24 1и— 1-х 2) Найти разложение !8х в окрестности нуля, рассматривая !их как частное з!и х и соз х, разложения которых известны 1404, (12) и (13)1.
Существование такого разложения наперед известно - по общей теореме. Так как !8х есть функпия нечетная, то зто разложение содержит только не чети ы е степени х, Козффипнент при хоо ' в искомом разложении удобно Тп взять в форме —. Итак, имеем (2и-!)! Tо 18х= ~ — хач ' и з(2л — 1)! Очевидно, Т, = 1. Для определения остальных чисел Т„, приравнивая коэффициенты при х'" ' слева л справа, получим последовательность уравнений нида: ус 7л-1 1 Тл — э + ...
— (-1)" '— (2л — 1)! (2л-3)! 2! (2л-ээ! 4! (2л — 1)! <~=аз, ...) или, по умножении на (2л-1)!, Тп Сеэп-ьТл-г+Сэп-гТл-з '''=( 0" Так как все числа Стая, суть целые, то последовательно убеждаемся, что н коэффи- циенты Т„все целые. Вот значения несколькнк первых нз ннх; Тэ 1 Т 7 Тэ=14 Тч 272 Тэ=793б Таким образом, 1 2 17 б2 !8 х= х-! — хз.~- — хэ+ — хгЧ- — хе+ .. 3 15 315 2835 В следующем и' будет указан другой способ вычисления коэффициентов этого разложения и точно установлена область его применимости. 449.
Числа Бернулли и разложению, в кото)иш евв ветре'шются. Рассмотрим еше один пример деления, который будет иметь важные приложения: х х 1 ех 1 хз х х+ — -1-... -1- — -!-... 1-!- — +... 9 2! я! 2! л! Согласно обшему утверждению и' 448, это частное, по крайней мере для достаточно малых значений х, представляется в виде степенного ряда " () =1+ 2 — хл.
е"-1 «=э я! (12) Коэффициенты его мы взяли в форме: ()„/л1, что (как увидим) сделает более удобным их последовательное определение. Исходя из соотношения: ( б, 5, 14 — 1- — -Ь ". Ь вЂ” +... ~ к ~1+ — ' х+ — ' хз+... + — ' х +... ) = 1, г. 3. " л. "'~ ~ И 2. "' гй приравняем нулю коэффицненты при различных степенях х" (я = 1, 2, 3,,) слева. Мы получим уравнения вида 1 1 1 1 1 - — !5„+ ()„,ч-" + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
