Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 77
Текст из файла (страница 77)
М. Фнхтннгсльн, т. Ц К(х) = йр )11- яз зш' р с Е(х) = )Г1 — хз з1пнр г(з . с 1 з. пвиложнння то находим: 2 Е(йз1па) л( 1 1 3 1 3 5 ) л( "(2»-1)й З(Л и 4В --,1+ — йз+ — й + — Л'+... ).=-(1+ ~ й '. 1 — л'ап' О 2( 2 24 246 1 2~ » з 2»й о Сопоставив выражение в скобках с фюрмулой (24) и' 407, получаем значение искомого интеграла даже в конечном виде: Е(й з(п В) л 1 — з)п О ~Ю =— 1 — Ьзойпз О 2 )~1 — )зч с 15) Наконец, рассмотрим вопрос о разложении по степеням х (но и е целым)) фуякцзти т=атсз)п(1 — х) при х 0 Имеем (нспользу» б»номналь»ый р»д): 1 1 1 У )(1-(1 — х)' ~2» )/ 1 ~( 1 — х 2 3 ) 1 — —,' 1 *- 3 = — — '1о — х+ — хз-~-... = — — х т — — --хя — х' — .. )/2х ) 4 32 ) )Г2 4)Г2 32~Г2 причем, если опуспчть первый член, который при х=О обрашается в, сходимосп ряда будет равномерной в любом промежутке [О, х), где 0 х 2.
1 Первообразная функция для первото члена есть — )Г2х', для остального ряда первообразную получаем почлениым интетрироваиием. Так как при х =- О должно быть у= —, то окончательно находим такое разложение по дро бным сге- 2' пеням х (действительно ддя Ожх~ 2): у =- — — 12»к — х — . — х р г б)(2 80)(2 Аналогично получается и разложение атсз)п = '1 2 хч + — х' — — хз — — х' ь, .. ~/1ьх' ! 3 5 7 для Осях 1. ч О разложении обычното типа по целым положительным степеням х здесь неможет быть речи, ибо иначе, потеорсмер;438, наша функция имела бы к о не чн у ю производную и при х =.
О, чего на деле пет. зс 4б8 1Л. ХП. ФУНКЦИОНАЛЬНЫВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [441 441. Примеры иа иочлеввее двфферевниревавие рядов. 1) Вернувшись сиона к функции [ср. 390, б); 439, 3)]: хп у=Е(х) 1+ ~, —,, п=1 л[ мы можем теперь легко установить ее производную; для этого достаточно [438, 8'] почленно продифференцировать этот ряд. Мм получим, что Е'(х) = Е(х), так что рассматриваемая функция удовлетворяет дифферевниальиому уравнению: у' = у.
Отсюда у= Се"; так как при х= О, очевидно, у=1, то окончательно находим, что Е(х) е". 2) Аналопгчный прием применим к определению суммы бииомиального ряда т(т — 1) т(т — 1) .... (т — я-1- 1) у=у(х)=1+тх+ хэ-г...+ х"9... 1 2 1 2. ..л [на этот раз т фиксировано, а х изменяется в промежутке (- 1, 1); ср. 439, 4)].
Дифференцируя его почленио, получим: (т — 1)(т — 2) У(х)=1п 1+(т-1)х-~- х»+... 1-2 (т — 1)(т — 2).... (т — л) ° . ° + хп+..., 1.2.....л Теперь нетрудно убедиться в том, что* (1+х) г"'(х)=т У'(х). таким образоьг наша функция удовлетворяет дкфференциальному уравнению (1 +х) у' ту. Отсюда у = С(1+ х)п'. Так как при х О, очевидно, у= 1, то постоянная С= 1 и, окончательно, у= У(х) =(1+х)'". 3) Мы знаем уже, что сумма ряда Ди риале [385, 3)] оп 9(х) = ~;— »=1 Л» * При умножении у'(х) ва 1+х надлежит воспользоваться свойством биномиальньи коэффициентов; (т — 1Кт — 2).... (1л-л) (л1 — 1)(1п — 2) ... (1п-л+1) т(т — 1).....(т — л+1) + 12 ....л 1 2 ...
(л- 1) 1.2 ... и частным случаем которого является известное соотношение 44Ц Ф 3. ЛРиложенип для х»а (где я — пограничная абсцисса сходвмости, 2 + ) есть иепрерывная фушшпя (439, 2)). Почлеииым дпффереицировапием можио иайтя производную этой фувкция: ян Р'(х) = — .~~ — 1п л (х» 1). н=г лх Пока мы получили этот результат лишь бюрмаяьио. Для того чтобы оправдать его, достаточно удостовериться в том, что последний ряд сходится равном ер и о относительно х для всех хаак„где х, — лю б о е (ио фиксировавпое) число, Облысев 1, Это устанавливается, как и в 439, 2), с помощью признака Абеля, )и л опираясь ва то, что миожители —, начиная с л=2, убывают с возрасталн-н.
' вием л, будучи все вместе ограничены числом 1и 2. Какое бы зпачепие х 1 ни взять, его можно заключить межлу границами х' ~-2 и х" ь х'; к промежутку (х', х") првмеияма теорема 7 [433). Таким же путем можно убедиться в сушествоваиии для фуякцип 9(х) пРоизводных всех порядков и получить ик выражение в виде рядов. Все сказанное, в частности, приложимо к функции 1 их)=~— лх Римана при х~О. 4) Мы уже встречались с разложением б е с с е л е в о й ф у и к ц и и с нулевым зиачком Уч(х) в степепиой ряд х ы У,(х) = 1+ 2' (- 1)» (ь))м рн (395, 14); 440, 12)). покажем теперь, что эта функция удовлетворяет дн(б(йеренянлхьному уравнению Бесселя: хн" ел'+хи = О.
Имеем, полагая и= у,(х), (2й)' хи-.~» (-1)" ' хы ', ((г))' х-и а затем, дважды почлеиио дифференцируя разложение и, 2й н' ~ (-1)" х'" ', (Рй)м 22н 2й(2й -1) хн"= ~ (-1)" хга '. „г (Рб)з.22н Если сложить этя равенства, то коэффвциевт при хм ' окажется равным (- 1)» Р)г(2)г-1)+2/г-(2)г)з) О, (И)'2га что и доказывает требуемое утверждепве.
470 гл, х!!. юункцнонлльные пооледовлтельностн н еяды [441 Аналогично можно убедиться в том, что бесселев а функция с произвольным натуральным значком У„(х), о которой татке была речь выше, удовлетворяет общему урал>миию Бесселя: х*и" + хи'+ (х*- л')и = О. 5) Поучительнее другая постановка задачи: пусть требуется н а й т и функцию, разлагаюпочсся в рял для всех х и удовлетворяющую уравнению Бе сселя. Выполним это, например, для простейшего случая и = О.
Напишем разложение искомой функции в вяде ряда с неопределенными коэффициентамиентами: и =,~~ аюхю и=о н, считая его всюду сходящимся, дважды продифференцнруем почленно. Подстав- ляя все зтн разложения в уравнение, получим: а,+ ~ (адат+ам,)хт — '=О. По теореме 3 [437[; а,=О, ира,льат ь=О (т=2, 3, ...).
Отсюда, прежде всего, коэффициенты с нечетными индексами ан,= О (/с=1, 2, 3, ...), что же касается коэффнпиентов с четными индексами а,н то по рекуррентной 4юрмуле все они выразятся через аь: а, а.ь = (- 1)" (Ы)'2ы Итак, с точностью до произвольного множителя аь мы возвращаемся к Функции У,(х). Что полученный ряд, действительно, всюду сходится, проверяется непосредственно. А из самого способа его получения явствует, что представляемая им функция удовлетворяет уравнению.
[Обращаем внимание читателя на своеобразное использование метода иеалределеииых каэс[аУициеитаа; здесь у иас оказалось уже бесконечное множество этих коэффициентов и првшлось прибегнуть к теореме о тождестве степенных рядов, взамен обычно првменяемой теоремы о тождестве многочленов). 6) Гауссом была введена функция а<ад!)...<аф — П! б<ил41). ° ° Ш+ — !) И=Р(,Р,у,х)=1+2, х" й! и))(у+1)...(у+и — 1) [гююргсрмгиьричгсиия ряд (см.
372, 378, 4)). Дважды дифференцируя этОт Ряд по членно (счнтая [х[ «1), можно установить, что эта функция удовлетвоРяет так называемому г и игр геа м етри ч е с и а му диЫереициалыьамУУРааиеиию х(х-1)и" — [у-(а+(3+1)х).и'+иб и=-О. Предоставляем несколько громоздкие, но нетрудные выкладки читателю. И здесь можно изменить постановку задачи, как зто сделано в упражнении 5. 441) 471 1 з.
пгиложнния 7) Определим для Ожх~! фушщню г'(х) равенством л х г(х)= ~ л=тл л Покажем, что для О х 1 зта ФУнкция Удовлетворяет интересному функциональ- ному уравнению: Г(х)Ч)(1-х)+!пх 1п(1-х)-С-сопы. Для зтого достаточно доказать, что производная по х от выражения слева тождественно обращается в пуль: 1 1 Г(х) - Г(! — х) + — !и (1 — х) — — Ьъ х - О. х 1-х ДиФФеРенциРУя почленно ряд, определяющий функцию у(х), найдем: ХЛ-1 Г(х) ~ — = --)л(1-х); л-1 П Х заменяя х ва 1 -х,получим, что 1 у '(! — х) = — — — 1и х. 1-х Зтнм и завершается доказательство.
Самую величину постоянной легко определить, устремляя в доказанном соотношении х к 1. По теореме А б е л я левая часть его будет иметь пределом 1 пл В У(х)=У(!)= 2 -,=- л 1 — О л=1пл б пл [4404)); знапп, С 6 8) В 400, 4) рассматривалось бесконечное пронзведение З1П Р !! соз — „- — (риО). лт 2" р Предполагая О«р —, сначала прологарнфмяруем зто равенство (401, 4'): 2 2 Й соз — „-)пзшр-йгр.
р л=1 2л а затем проднфферевпнруем полученный ряд почленво: 1 р 1 2 — 18 — '= — с(йр. л 12» 2" р Так как ряд нз производных мажорвруется скодашейся геометрической лро. грессвей, то почленное днфференпнрованне оправдано. 472 гл. лть вуикпноыальньтвпослиповатниьнооти н влды 1441 9) В 4бй мы вывели раэлоэпмве мл х в бажовечное произведение эш х-хЦ (1- — ) . Вводя абсолютные величавы, получим отсюда: !э!пх!- !х)Д' ~1 —— и'л'! Если х отлично от чисел вада !гв ()г-О, в1, а 2, ...), то, логарифмвруя, првдем к бесконечному ряду: х' ~ 1п !эшх!-!л (х!+ .~~ !и ~1- — ~ . я'х'! Почленное диффереипированяе дает вам такое разложение: соах 1 2х — =с!ах- — + ~ э!л х х а=э х'-лэлэ Для оправдания его достаточно убедиться а том, что полученный ряд сходится равномерно а любом замкнутом конечном промежутке, ие содержащем точек вида lгх.
Действительно, при юмененвн х в этом промежутке его абсолютная М велячина остается ограниченной: !х!«М, так что, по крайней мере для л л 2х 2!х! 2М 1 х~-ЖгУ~ лэлэ- )х!» в'лэ-Мэ Так как ряд а~— Я сов х 1 ( 1 1 — -с!йх=-+ ~ ~ — + — 1!! эш х х л г !гх-лл х+лл) ' в этом виде оно является как бы разложением с!ах на простые дроб и, отвечающие отдельным корнем О и а лл знаменателя эш х. л) По формуле гйх--с!й(х — ), отсюда мозно получить разложение 2)' !йх на простые дроби: 1 1 2х !йх-- 2' + ч т 2л — 1 2л — 1 «=т (2л-1)твэ — л х+ — л «э 2 2 4 скодвтса„то требуемый результат получается с помощью првзнаэв Вейарштрасса. Разложению шй х можно придап форму: 441) 1 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Точно так же. если воспользоваться формулой: 1 1( х х) — = — ~сга — +10 — 1, ыпх 2~ 2 2) 1 можно получить разложение и для — —: ыпх 1 1 ( 1 1 ) 1 2х ( Пл 4 = .~.
5;"( 1)л З!л Х х л=г ~Х-ПП Х-~-Ви~ Х л=г хз — птп' Продифференцнровав почленно разложение для с10 х (предоставляем читателю убедиться и дозволительности этого), получим еще одно полезное разложение: 1 1 "~ 1 1 — + з(пх х х' л=1 !(х-пп)' (х-~.пп)х1 1О) Если исходить из представления зЬх бесконечным произяелением (408), то аналогично можно прийти к разложениям 1 2х с!ах= — + ~ Х л-1ХХ+ПГЛЗ 1 1 2х ~' ( !)л и т. л.
зйх х л 1 хз+л'и' 1!) Для функций Г(х) мы вывели в п' 402 формулу Ведер ш трасса (см. (16)): х 1 / х! — еСХЛ'. !1. Г(х е 1) Учитывая, что Г(х+1)-х Г(х), и переходя к логарифмам, отсюда легко полу чить (при х, отличном от 0 в от целых отрицательимх чисел) 1и (Г(х)! -)п )х) -Сх+,~', ~ — -(и (1~--!) . я=1(П ~ П~) Дифференцируя ряд почленно, ф о р м а л ь н о отсюда получим Г'(х) 1 " (1 ! — =- — -С+ ~ ~ — — — -1.
Г(х) х, 1~я х+п) ' Покажем теперь, что ряд справа сходится равномерно в любом конечном промежутке (не содержапжм целых отрицательных чисел). Действительно, так как при этом !х! остается ограниченной: )х! М, то по крайней мере для п М, ямеем: (1 1 ! )Х) М и х+п п(пех) п(п-М) 474 гл. хп. оункпноняльныы послдцовятыльности и ряды [442 М ТаК как РЯД лзл сходится, то, по признаку Всйерштрасса, и м н(л — М) равномерная сходимосгь обеспечеыа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
