Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е. С(2) заведомо отрица- 3 3 тельно. Ввиду непрерывности функции С(х), отсюда следует, что в промежутке (О, 2) действительно лежит корень этой функции. С другой стороны, в том же промежутке функция ( 2 3) 5' ( б 7) очевидно, сохраняет положительный знак, а лроизводнвл С'(х) = -5(х) — отрицательный, следовательно, функция С(х) убывает, когда х растет от О до 2, и обращается в О лишь однажды. л Обозначим теперь упомянутый корень функции С(х) через —, причем л, таким 2 образом, вводится здесь совершенно формально, и отождествлять его с отношением окружности к диаметру п о к а нельзя. Итак, имеем: С~-) =О, 5(-и) =1; последнее равенство следует из (16), с учетом положительности функции 5(х) при О хьа2. л Полагав в формулах (14) и (15) сначала х=у= —, а затем х=у=л, последовательно, найдем: 2' С(л) = — 1, 5(л) = О; С(2л) = 1, Я2л) = О.
Если в тех же формулах, сокр ан я я х прои з вольным, взять у=л или у =2л, то получим: С(х+л) = -С(х), 5(хьл) = -5(х) (18) и, наконец, С(х4 2 ) = С(х)„5(х+2. ) = 5(х). Последние соотношения устанавливают, что функции С(х) и 5(х) имеют не. р и од 2л. Нетрудна было бы вывести и другие гформулы приведеяиям мы предоставляем это читателю. Теперь попьпаемся доказать совпадение рассмотренных функций С(х) и 5(х) с тригонометрическими функциямн совх и ыпх, а также отождествить йюрмальио введенное нами число х с тем числом я, которое играет столь вюкную роль в геометрии.
С этой лелью рассмотрим к р и в у ю, заданную лараметричсски ураинеииями; х=С(г), у= 5(г), где параметр с изменяется от О до 2л. Ввиду (16), все точки ее удовлетворяют урав- 479 1 3. пРилОжения нению: хгЬу*= 1, т. е. лежат на окружности, описанной вокруг начала радиусом! (рис. 61). Покажем, что при этом получится к а ж д а я точка ее и лишь по разу; исключение представит, естественно, начальная точка А, отвечаюпгая значениям г=б и 1=2:г. Мы видели, что 3(г) О, пока О г<2, а следовательно, и подавно при О«к —. Заменяя во второй из формул (18) х на — с, получим 2 Ь(я — Г) = 5(Г); отсюда можно усмотреть, по Я(г)- О и при — 4Н л. В таком случае, функция 2 С(г), производная которой равна — 5(г), монотонно убывает при изменении г от О до:т, проходя по разу через каждое значение от 1 до — 1.
Отсюда ясно, что промежутку [О, л[ изменения параметра взаимно однозначно отвечает верхюш часть нашей окружности. Аналогичное утверждение можно сделать относительно промежупга [:г, 2п[ зиаченнй параметра и нижней части окружности, ввиду того, что [см. (18)) С(г вл) - — С(г), 3(г +а) = — 5(г). Теперь вычислим, по формуле (4) л' 329, длину дуги АЬз", считая, что точка М отвечает значению г параметра. Принимая во внимание (17) и (16), мы получим з(Г ) =- ~~ [С (Г)[' 9 [Зг(Г)[г АГ = Г. е Это показывает, что г совпадает с углом 0 = )А ОМ, выраженным в радианах, а тогда: Рис.
61. С(0)=х=соз0, 3(0)=у=зш0. В то же время, длина в с е й окружности по нашей формуле оказывается равной 2л; следовательно, введенное нами число тождественно с тем, которое рассматривается в геометрии. 444. Пример иеирерьвней функции без прснзводвой. Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом: )(х) = ~ а" соз (Ь" лх) а=О 3 'где О«а 1, а Ь есть нечетное натуральное число причем аЬ 14-л) .
Этот ряд 2 мажорируется сходящейся прогрессией ~ а", следовательно [430, 431, теорема 1[ 3 сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от х. Кропотливым исследованием Вейерш трассу удалась показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной. Мы приведем более простой пример в ан-дер-Ва рдел а (В. 1.. тап бег зт'аегбеп), построенный по существу на той же идее, лишь к о л е б л ю щ и е с я кривые у созезх заменены колеблющимися ломаными. 480 гл. хн.
еункционлльныв нослвдоватвльности н Ряды (444 Итак, обозначим через и,(х) абсолютную величину разности между числом х и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет л и и е й н о й в каждом Гк з411 промежутке вцца ~- 11, где з — целое; оиа непрерывна и имеет период 1. 12, 2 Ее график представляет собод ломаную, он изображен на рис. б2, гб отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент х 1. Положим, затем, длв х=1, 2, 3, ...: и,(4ах) вк(х) = 4" з з41) Эта фувкция будет линейной в промежутках вида 1' —, — 1; она также 1 ~2.4г ' 2.44 ' непрерывна и имеет период †.
Ее график также ломаная, но с более мелкими 4" зубчвками; на рис. 42, 6, например, изображан график функции и,(х). Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны *1. Рис. 62. Определим теперь, для всех вещественных значений х, функцию Дх) равенством Дх) =,~ вг(х). г=о 1 Так как, очевидно, Оввз(х)т — ((г=-о, 1, 2, ...), так что ряд мажорируется 2.4» 1 сходящейся прогрессией ~; — —, то (как и в случае функции В е й е р ш т р асс а) о 2.4" ряд сходится равномерно, и функция 1(х) всюду непрерывна. 1 Остановимся на любом зиачевии х-х .
Вычисляя его с точностью до —— а. 2 4л (где я-О, 1, 2, ...), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида: зе за+ 1 хо 2.4ч 2.4е ' 44б1 1 4, дополнительные сВедения о степенных РядАх 481 где зл — целое. Очевидно, что замкнутые промежутки 12 4« 2 4« 1 оказываются вложенными один в другой. В каждом из ник найдется такая точка хл, что расстояние ее от точки х, равно половине длины промежутка; 1 )~ -хь!= —; 4л+т ' ясно, что с возрастанием и варианта хл х,.
Составим теперь отношение приращений Лх), — Лха) ~ «а(х,) — «к(ха) ь=о Хл Хе Хл Ха 1 1 Но, при Е и, число — — есть целое кратное периода — функции «Нх), так что 4«+ т 4« «а(хл) = ««1ха), соответствующие члены ряда обращаются в о и могут быть опущены. ЕСЛИ жЕ тганв, тО фувиная «К(Х), ЛИНЕИНая В ПРОМЕжутКЕ Иы будЕт ЛИНЕйНОй И В СО- лержащиемся в нем промежутке Ил, причем ««<х ) — ««1Х ) Хл Ха Таким образом, имеем окончательно г"(хл) - Г"(ха) = л; 1з1); хл — ха «=о иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном и и нечетному целому числу при четном и. Отсюда ясно, что при и- отношение приращений ни к какому конечному пределу стремиться ие может, так что нанта функция при х=х, конечной производной не имеет. 8 4. Дополнительные сведении о степенных рядах 445. Деяствня над степенными радами.
Этот и' мы посвятим обзору — в основном уже известных — действий над степенными рядами, что послужит отправной точкой для дальнейшего продвижения. Рассмотрим два ряда: ~ а«Хл.=а„ь а,Х ~. ДЗХЗ+... -;-а«Х" ' ..., л=о (2) ~Ь~Х~=Ье 4 Ьзх+Ьвхз+ ° ° . -1-Ь хл =о Предполагая радиусы сходимостп обоих рядов отличными от О, обозначим через г наименьший из них. Тогда для ~х~ г„ как мы ЗЗ Г, М. Фихте талал, т, П 482 гл, хп. Функционхлъные последоВАтельности и Ряды 1448 знаем 1364, 4'; 389), эти ряды можно почленно складывать, вычитать и перемножать, причем результаты вновь располагаются по степеням х: ~ алхл + ~ Ь хл = л (а х Ь )хл л О л=о л О л алхл ° ,3 Ьлхл= ~ (а Ьл 4 а,Ьл , 4 азбл з + ....~.
алЬ,)х". (3) =О =О л=о Допустим, что ряд (2) тождествен с (1); тогда получится, что внутри промежутка сходимости степенной ряд можно следующим образом возводить в квадрат: с .Л,' алХО1 =.~" (алая 4 а,ал,- ... Ьа,ав)Х". л=в / л=О Если последний ряд, по указанному выше правилу, снова помножить на ряд (1) и повторить это неопределенное число раз, то придем к заключению, что степенной ряд, внутри промежутка сходимости, можно вообще возводить в степень с любым натуральнымы м показателем т, причем результат представляется также в виде степенного ряда: балх"1 =;~ 41л >хл (т=!,2,3,...).
(4) г=о / л=е Коэффициент а1 1 зависит от коэффициентов а„а„а„..., ал исходного ряда и — как это следует из (3) — получается из них лишь с помощью сложений и умножений. Это замечание нам ниже понадобится. Теперь особо остановимся на сложении бесконечного множества степенных рядов, с чем нам часто придется иметь дело ниже.
Итак, пусть дана бесконечная последовательность степенных рядов ,3;"а„хл (т = О, 1, 2, ...); л О из них составим повторный ряд (5) А; алых Если при выбранном значении х сходится ряд, полученный отсюда заменой всех членов их абсолютными величинами, то сходится и ряд 4481 1 л. дополнительные сведения о степенных видах 483 (5), причем сумма его А(х) может быть разложена в степенной ряд просто путем обьединения подобных членов: А(х)3а ~А х", где Ап= ~а„(п=0,1,2,...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
